2.3 Potenzen (Thema aus dem Bereichen Algebra)

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1 . Potenzen Thema aus dem Bereichen Algebr Inhaltsverzeichnis 1 Repetition: Potenzen mit natürlichen Exponenten Potenzen mit ganzzahligen Exponenten 4 Potenzen mit rationalen Exponenten 8 1

2 Potenzen Theorie und Übungen 1 Repetition: Potenzen mit natürlichen Exponenten Definition 1 Das Produkt von gleichen Termen wird folgendermassen zusammengefasst: a a a... a = a n Wir erhalten sofort das erste Potenzgesetz: Satz 1 m,n N, a R. Dann gilt: a n a m = a n+m R1) Beweis a n a m = a a a... a a a a... a = a a a... a a a a... a = a n+m m mal n+m) mal Weiter gilt: Satz m,n N, n > m, a R. Dann gilt: a n : a m = a n m R) Beweis a n : a m = an a m = Das dritte Gesetz: Satz m,n N, a R. Dann gilt: a n ) m = a n m R) a a a a... a = a n m a a a... a m mal Beweis m mal a n ) m = a n a n a n... a n = an+n+n+...+n = a m n m mal Es folgen noch zwei Potenzgesetze zu Potenzen mit gleicher Basis. Satz 4 n N, a,b R. Dann gilt: a n b n = ab) n R4) Beweis

3 Potenzen Theorie und Übungen a n b n = a a a... a b b b... b = ab ab ab... ab = ab) n Satz 5 n N, a,b R. Dann gilt: a n : b n = a : b) n R5) Beweis a n : b n = an b n = a a a... a b b b... b = a b a b a b... a = b ) n a = a : b) n b Übungen 1. Schreibe als Potenz der Form a b. 1 5 = b) a 1 a = c) x 5 x = d) x+1) x+1) 9 = e) = f) x n+1 x 11 n = g) 5 1 : 5 9 = h) 40 6 : = i) a n : a n 1 = j) a+b) 7 : a+b) 4 = [ 7,a 15,x 6,x+1) 1,5 6,x n+1,5, 17,a,a+b) ]. Schreibe als Potenz der Form a b. 15 = b) = c) 1 = d) 5+1 ) ) 4 = e) 6 9 : 9 = f) g) 4abc) n : ac) n = 8 7 : 7 = [0,10 6,6,4 4, 9, 7,b) n ]. Schreibe als Potenz der Form a b. a ) 8 = b) x 6 ) 6 = c) x ) n+1 d) n n ) n [a4,x6,xn+,nn ] 4. Schreibe so um, dass im Schlussergebnis nur ein Exponent und keine Klammer vorkommt. a 4 ) = b) 4 ) = 5. Schreibe als Dezimalzahl. Die Variable n steht jeweils für eine natürliche Zahl. 1) 1) 1) 5 = b) 1) 4n [ a 1,a 1 ] c) ) n x 1 = 1 x

4 Potenzen Theorie und Übungen 4 [ 1,1,1] 6. Finde mit Hilfe der Potenzgesetze heraus: Welcher) Zahl/Term muss für x eingesetzt werden, damit die Gleichung erfüllt ist? 6 = n b) = n c) = 5 n d) a+4 8 a = x e) 5 ) 4 : 5 ) 5 = 5 x f) ) 100 = 10 x [8,11,,a+,,0000] 7. Entscheide, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind und begründe Deine Entscheidung. 500 < [r] b) 1000 < [f] c) < [f] d) = 10 77) [r] e) 99 ) 101 = 101 ) 99 [r] f) 5 5 ) 5 = ) [f] 8. Berechne ohne TR: Wieviele Sekunden benötigt ein Lichtstrahl von der Sonne zur Erde, wenn die mittlere) Entfernung der Erde von der Sonne m und die Lichtgeschwindigkeit 10 8 m/s betragen? [500s] 9. Aus wievielen Ziffern besteht die Zahl ? [01] b) ? [001] 10. Beantworte mit ja oder nein und begründe: Ist 18 eine Quadratzahl? b) eine Kubikzahl? Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Wir haben die Potenzgesetze bis jetzt erst für die natürlichen Zahlen definiert. Wir haben allerdings den Anspruch, ein Gesetz so weitreichend wie möglich zu formulieren, d.h. die Zahlenbereiche so weit wie möglich auszudehnen. Wenn wir den Bereich nur schon auf ganze Zahlen ausdehnen treten sofort Potenzen mit negativen Exponenten auf, wie z.b. 4, 1, usw. Da 0 auch eine ganze Zahl ist, können auch Potenzen der Form 0, 0, usw. auftreten. Wir müssen uns also mit der Frage beschäftigen: Wie gehen wir mit diesen Exponenten um? Frage: =? Der naheliegendste Weg: 4 : 6 = 4 6 = 1 = 1 ) 9 Das Potenzgesetz würde liefern: 4 : 6 = 4 6 = Wir schreiben bewusst: Das Potenzgesetz würde liefern. Wir haben die Division von Potenzen nur für den Fall behandelt, dass n > m ist, eben um keine negativen Exponenten zu erhalten. Einerseits ist 4 : 6 = 1, andererseits =. Wenn das Potenzgesetz ausgedehnt werden soll, müssen wir definieren: Definition a R\{0, n N. Dann legen wir fest: a n = 1 a n

5 Potenzen Theorie und Übungen 5 Jetzt noch der Exponent 0. Frage: 4 : 4 =? Der naheliegendste Weg: 4 : 4 = 4 4 = 1 Das Potenzgesetz würde liefern: 4 : 4 = 4 4 = 0 Definition a R\{0. Dann definieren wir: a 0 = 1 Wir können unsere Regeln erweitern: Satz 6 Es seien a R,b R\{0;z 1,z Z. Dann gilt: a z1 a z = a z 1+z R1) a z 1 : a z = a z 1 z R) a z 1 ) z = a z 1 z R) a z1 b z 1 = ab) z 1 R4) a z 1 : b z 1 = a : b) z 1 R5) Die Sätze lassen sich mit den gleichen Ideen wie die Sätze 1-5 beweisen, jedoch aufwendiger. Wir verzichten an dieser Stelle auf diese Beweise. Übungen 11. Schreibe als gewöhnlichen Bruch oder, wenn möglich, als ganze Zahl. = b) = c) = d) ) = e) ) = f) 0 = g) ) 1 = h) ) 1 = [ 1 8, 1 9, 1 8, 1 4, 1 7,1,8,9] 1. Schreibe als Potenz mit einer möglichst kleinen natürlichen Zahl als Basis und einem Exponenten aus Z. 1 9 = b) 1 7 = [,7 1 ] 1. Gib die Wissenschaftliche Darstellung der Zahl an. Ein Beispiel: = = b) = c) = d) = e) = f) = g) = h) =

6 Potenzen Theorie und Übungen 6 [ , , , , , , ,. 10 ] 14. Ordne die Zahlen,10, 4, 10,10, nach aufsteigender Grösse. 15. Berechne für x =, 7 x b) x + x [ 4 < 10 < 10 < < 4 < ] [, 1, 4.5, 8.15] 16. Das Produkt aller Zahlen jeder Zeile, jeder Spalte und beider Diagonalen ist gleich 14. Fülle die Tabelle aus [, 5, 6, 4,, 9, 4 ] 17. Bringe die folgenden Terme auf die Form a b. 5 8 = b) = c) 6 6 = d) a a n = e) n+ = f) x n x n = g) 4 5 : 4 1 = h) 5 4 : 5 = i) a n : a n 1 = j) d : d n = [,5 10,1,a n, n,x n,4 6,5 1,a,d n+ ] 18. Bringe die folgenden Terme auf die Form a b. c) e) g) ) = b) 6 ) = 5 ) = d) 7 0 ) 7 = a ) n = f) b n ) = c ) n 1 = h) d n ) = [ 6,6 6,5 6,1,a n,b n,c n,d 6n ] 19. Forme so um, dass im Schlussergebnis keine Klammer und nur ein Exponent vorkommt. c) 10 4 ) 5 = b) 10) 4 ) 5 = 10 5 ) 4 = d) 10) 5 ) 4 = [ 10 0,10 0,10 0,10 0 ] 0. Bringe die folgenden Terme auf die Form a b = b) x 10 = c) 1 x : 6 x = d) 18 n : 6 n = [10 6,7x) 10, x, n ]

7 Potenzen Theorie und Übungen 7 1. Forme so um, dass im Schlussergebnis nicht mehr weiter zusammenfasst werden kann und dass keine Klammern und keine negativen Exponenten vorkommen. 4a 5a ) : 10a = b) 10a + 4a ) a = c) 10a + 4a ) : a = d) 10a : 5a ) a = e) 10a : 5a ) : a = f) a n+1 a n ) : a = g) a n+1 : a n 1 ) : a =. Schreibe als gewöhnlichen Bruch. [ a 4,8a+0, 5 a 6 + a 5,4a, 1 a 4,an 1,1] x ) : ) x = [ ] b) ) 4 x : ) 4 x = [ ]. Schreibe als Dezimalzahl. Begründe jeden einzelnen Schritt mit einer Potenregel oder einer Definition. a b) 10 : b 10 = [1] b) a b) 7 b 7 = [-1] 4. Forme so um, dass im Schlussergebnis nicht mehr weiter zusammengefasst werden kann und dass keine Klammern und keine negativen Exponenten vorkommen. 1+x ) = b) x+x 1 ) = c) x 4 + x 1 ) = [ x + 1 x 6 + 1,x + x+ x + 1 x,x 1 + 6x 7 + 1x + 8 x ] 5. Entscheide, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Begründe Deine Entscheidung! N [w] b) < 11 [f] c) > 0.5 [w] d) π 100 < 9 50 [f] e) = [f] f) = 15 [w] g) R [f] h) + ) 0.5 ) 0.5 = [w] i) + 7) 1 = ) 1 [w] 7 6. Löse die Gleichung x 4 = 10 in R mit Hilfe des TR ohne solve-befehl). Gib die ersten 4 Ziffern der Lösung an. [1.54] 7. Löse die untenstehenden Gleichungen in R mit Hilfe der Potenzgesetze und nicht mit ausprobieren. x 5 = 5 b) x 6 = 16 c) x 4 = 4 d) x = 8 e) x 5 = 10 f) x 5 = Löse die untenstehenden Gleichungen in R. x = 5 b) 1 64 = x c) 1 x = 6 d) ) x = 1 [,±4,±0.5,, 4, 0.5]

8 Potenzen Theorie und Übungen 8 e) x) = f) x) = g) x ) = 1 16 h) x = 0.5 i) 6 = 4x j) 10 5x.5 = 10 4x 1 k) 4x = 9 x+5 l) 0.1 x = 1000 m) 5 x+ 5 x = 15 n) 4 x = 4 x [ 5, 6, 18,0,0,±1,, 1,,1.5,5,, 1,7] 9. Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Begründe Deine Entscheidung = [w] b) 4 ) = ) 4 [f] c) 10 < 0 [w] 0. Die Kante eines sehr kleinen Würfels misst 10 4 mm. Berechne dessen Oberfläche S und dessen Volumen V. Gib Dein Ergebnis in der Form a 10 b an. [ mm,10 1 mm ] 1. Das Volumen eines Würfels beträgt m. Berechne ohne TR die Würfelkante k. [ 10 4 m]. Gegeben sind das Volumen V P = m eines Protons, das Volumen V E = 10 1 m der Erde und das Volumen V U = m des Universums. Wie oft ist das Volumen des Protons in demjenigen der Erde enthalten? [ ] b) Wie oft ist das Volumen des Protons in demjenigen des Universums enthalten? [10 1 ] c) Wie oft ist das Volumen der Erde in demjenigen des Universums enthalten? [10 57 ]. Ein 10 4 m dickes Papier hat eine Fläche von 1km. Es soll, wenigstens in Gedanken, 41 mal so gefaltet werden, dass sich die Dicke bei jeder Faltung verdoppelt. Berechne die Höhe des so entstandenen Papierturmes in km. [ km] 4. Ein Würfel mit 1cm Kantenlänge soll vollständig mit Protonen V P = m,m p = kg) gefüllt werden. Berechne ohne TR: Wie gross ist dann die Masse dieses Würfels Hinweis = 4.5)? [ kg] Potenzen mit rationalen Exponenten Wir können nun schon mit recht vielen Potenzen umgehen, nebst denen mit natürlichen Exponenten haben wir auch negative ganzzahlige Exponenten und den Exponenten 0 im Griff. Im Sinne der Erweiterung drängt sich die Frage auf: Gibt es auch Potenzen mit rationalen Exponenten, bzw. macht es Sinn, solche zu definieren? Wir repetieren noch einmal kurz die Wurzelausdrücke: 64 = 8, weil 8 8 = = 4, weil 4 = 64 Die allgemeine Definition für die Wurzel lautet: Definition 4 Für a R + 0 und n N n a = b b n = a Übungen

9 Potenzen Theorie und Übungen 9 5. Berechne ohne Verwendung eines TR = b) = [10, 4 9 ] Frage: Welchen Exponenten sollen wir der Wurzel zuordnen, welcher Exponent macht Sinn z.b. bei =? )? Überlegung: = = 1 x x = 1 x = 1 x = 1 x = 1 Wenn die Potenzgesetze auch für Wurzelausdrücke gelten sollen, erhalten wir: = 1 Nehmen wir noch ein zweites Beispiel: = 4 = 1 4 x 4 x 4 x = x = 4 1 x = 1 x = 1 Wenn wir davon ausgehen, dass die Potenzgesetze auch für Wurzelausdrücke gelten sollen, erhalten wir: 4 = 4 1 Allgemein definieren wir: Definition 5 Für a R + 0 und n N definieren wir: n a = a 1 n Es folgt bereits die nächste Frage. Frage: Welchen Exponenten sollen wir z.b. dem Wurzelausdruck a zuordnen? Überlegung: a a a = a a x a x a x = a x Einerseits erhalten wir a, mit dem Potenzgesetz erhalten wir a x. Gleichsetzen ergibt: = x x =. Wir setzen also a = a Allgemein: Definition 6 Es sei a R + 0 ;m,n N. Dann definieren wir: n a m = a m n Wir erweitern unsere Definition für negative Exponenten:

10 Potenzen Theorie und Übungen 10 Definition 7 Es sei a R + ;m,n N. Dann definieren wir: a m n = 1 n a m Übungen 6. Berechne ohne Verwendung der Wurzelfunktion des TR b) 7 1 c) d) 64 1 e) = f) = 7. Berechne ohne Verwendung der Wurzelfunktion des TR. 8 = b) 5 = c) = d) 15 4 = [7,,10,0.5,1.,0.5] [4, 0.5, 11, 65] 8. Ordne die Potenzen 64,64 0,64 1,64 1,64 1.5, ohne Hilfe des TR nach aufsteigender Grösse. Überprüfe Dein Ergebnis mit dem TR. Mit den oben getroffenen Definitionen können die Potenzgesetze noch einmal erweitert werden, nämlich auf den Zahlenbereich der rationalen Zahlen. Satz 7.Erweiterung der Potenzregeln). a R + 0,b R+, q 1,q Q. a q1 a q = a q 1+q R1) a q 1 : a q = a q 1 q R) a q 1 ) q = a q 1 q R) a q1 b q 1 = ab) q 1 R4) a q 1 : b q 1 = a : b) q 1 R5) Übungen 9. Schreibe als Potenz mit rationalem Exponenten bzw. als ganze Zahl wenn möglich = b) = c) = d) = e) = f) = g) = h) 4 16 = i) = j) = k) 10 : 15 = l) 4 50 : 4 = [10 1,7 7, 81 0,5 10, 8 15, 1,,16,50 4,0.1,,5 1 ] 40. Berechne ohne TR. Schreibe Dein Ergebnis als Potenz mit rationalem Exponenten bzw. als Zahl wenn möglich.

11 Potenzen Theorie und Übungen 11 c) ) 5 6 ) = b) 1 4 = ) 10 4 = d) 10 ) = [65,,10,10 4 ] 41. Berechne ohne TR. Schreibe Dein Ergebnis als Potenz mit rationalem Exponenten bzw. als Zahl wenn möglich. ) : = b) a 4 : a : a = c) : 5 8 = d) 5 5 ) 5 6 : 40 5 = [5 1 4,a 11 1, 15,5 1 0 ] 4. Ermittle mit Hilfe der Potenzregeln und ohne TR die Lösungmenge der untenstehenden Gleichungen in R. x.5 =.5 b) x 0. = c) x 0.5 = 7 d) x 4 = 10 4 e) x 0.75 = 8 f) x 0.8 = 1 16 [ 1,, 1 49,±0.1,16,± 1 ] 4. Ermittle mit Hilfe der Potenzregeln und ohne TR die Lösungmenge der untenstehenden Gleichungen in R. 9 x = b) 8 x = 4 c) 1000 x = 0.1 d) = x [0.5,, 1, 0.75] 44. Ermittle die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen in R mit Überlegen oder Probieren. x 0 = 0 b) 0 x = 0 [{,R + ] 45. Ermittle die Lösungsmenge der untenstehenden Gleichung, indem Du die Gleichung mit Hilfe der Substitution in eine Gleichung.Grades überführst. 4 x + = x ) b) 4 x + = 4 x c) 9 x + = 4 9 x d) x + 18 x = 9 [L = {,L = {,L = {0,0.5,L = {] 46. Fülle die Zelle der Wabe nach folgender Regel aus und berechne p. [p = 4/] x x p x 1.5

12 Potenzen Theorie und Übungen Schreibe als Potenz mit rationalem Exponenten. Überprüfe Dein Ergebnis anschliessend mit der TR. = b) 4 = c) = d) 1 = [ 1 6, 1 1, 7 8, 1 6 ] Wir definieren den prozentualen Fehler eines Ergebnisses E F folgendermassen E E bezeichnet das exakte Ergebnis): F pr = E F E E E E 48. Ein Schüler erhält als Resultat seiner Berechnungen. Er rundet es und schreibt hin. Wie gross ist der absolute Fehler Differenz)? [ 7404] b) der prozentuale Fehler? [ 5.89%] 49. Wie gross ist der prozentuale Fehler, wenn ein Resultat von auf gerundet wird? b) auf gerundet wird? c) auf 10 4 gerundet wird? [ 99.5%, 1.0%, 10.87%]