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1 Abiturprüung Mathematik 010 Baden-Württemberg (ohne CAS) Wahlteil - Augaben Analysis I 1 Augabe I 1.1: Au einem ebenen Gelände beindet sich ein geradliniger, 500 m langer Lärmschutzwall. Das Proil seines Querschnittes wird beschrieben durch die Funktion mit 10 () = und () 0 ( und () in Meter). + 0 a) Wie breit ist der Wall an seinem Fuß? Zeigen Sie, dass der Wall einen symmetrischen Querschnitt besitzt. Der Wall soll begrünt werden. Um Erosion zu vermeiden, sollte das maimale Geälle der Böschung nicht größer als 100% sein. Ist dies beim gegebenen Querschnittsproil der Fall? (4 VP) b) Berechnen Sie das Volumen des Lärmschutzwalls. Es ist geplant, den Wall au 3 m Höhe abzutragen, um darau einen Fahrweg anzulegen. Welche Breite hätte dieser Fahrweg? Das abzutragende Material soll dazu verwendet werden, den abgelachten Wall zu verlängern. Um wie viel Meter würde er länger? (6 VP) c) Statt der Planung aus Teilaugabe b) wird am ursprünglichen Wall die Erde so abgetragen, dass der Fahrweg seitlich geneigt ist. Sein rechter Rand liegt 0,4 m höher als sein linker Rand. Die Breite des Fahrwegs beträgt 4 m. Bestimmen Sie den Winkel, um den der Fahrweg gegenüber der Horizontalen geneigt ist, au zwei Dezimalen genau. In welcher Höhe beindet sich der linke Rand des Fahrwegs? (5 VP) Augabe I 1.: Hinweis: ab der Abiturprüung 01 nicht mehr prüungsrelevant Gegeben ist die Funktion mit () = e. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass ür die n-te Ableitung gilt: ( + n) e () = ; n 1 (3 VP) 1 Zuletzt aktualisiert:.1.011

2 Abiturprüung Mathematik 010 Baden-Württemberg (ohne CAS) Lösungen Wahlteil - Analysis I 1 Augabe I 1.1: a) Eine erste Skizze des Schaubildes von () mit dem GTR ergibt: Da () 0 vorausgesetzt ist, stellt nur das Schaubild oberhalb der -Achse den Querschnitt dar. Mit dem GTR können die Nullstellen von () ermittelt werden: Das Schaubild schneidet die -Achse bei 1 6, 3 und 6, 3. Damit beträgt die Breite des Walles an seinem Fuß 6,3 = 1, 64 Meter. Nachweis der Symmetrie: Das Schaubild von ist symmetrisch zur y-achse, denn es gilt: ( ) = = = () ( ) Maimales Geälle: Da das Schaubild zur y-achse symmetrisch ist, genügt es, nur eine Seite des Walles zu betrachten. Das heißt, bei der Berechnung beschränkt man sich z.b. au den Bereich 0. Gesucht ist nun die Stelle, bei der die Steigung des Schaubildes von maimal wird. Mit Hile des GTR wird die Ableitungsunktion () skizziert: Zuletzt aktualisiert:.1.011

3 Die Ableitungsunktion nimmt an der Stelle = -,58 einen maimalen Wert von 0,871 an. Das heißt, dass die maimale Steigung 0,871 = 87,1% beträgt. Damit ist die Bedingung erüllt, dass das maimale Geälle nicht größer als 100% ist. b) Das Volumen des Walles wird ermittelt mit der Formel V = A 500m mit Querschnitt 6,3 A Querschnitt = ()d = 5, 97 (GTR) 6,3 Das Volumen des Walles beträgt V = 5,97m 500m = 1985 m³ Um die Breite des Fahrwegs in 3 m Höhe zu bestimmen, werden die Schnittstellen von () mit der Gerade y = 3 mit dem GTR ermittelt: Die waagrechte Gerade schneidet () bei = - und bei =. Der Fahrweg ist somit 4 Meter breit. Berechnung des Volumens V* des abzutragenden Materials: Querschnittsläche A* des abzutragenden Materials: Für das Volumen gilt V* =,57m 500m = 184 m³ Es müssen 184 m³ abgetragen werden. A * = (() 3)d =,57 (GTR) Die übrige Querschnittsläche beträgt A A* = 5,97,57 3, 40 m² Querschnit t = V * 184m³ Berechnung der zusätzlichen Walllänge: d = = = 54, 9 m 3,40m² 3,40m² Der Wall würde um 54,9 Meter länger werden. 3 Zuletzt aktualisiert:.1.011

4 c) Skizze: Neigungswinkel α Hinweis: Das eingezeichnete Dreieck entspricht nicht dem gesuchten Dreieck mit den tatsächlichen Maßen. 0,4 Berechnung des Neigungswinkels: sinα = α = 5, 74 4 Bestimmung der Höhe des linken Randes (Höhe des Punktes A): Es gilt AB * = 4 0,4 = 3, 98 Meter (Satz des Pythagoras) Von den beiden Punkten A und B ist bekannt, dass sie 1.) au dem Schaubild von liegen und deren Funktionswerte einen Abstand von 0,4 besitzen..) Einen waagrechten Abstand (Dierenz der -Werte) von 3,98 besitzen. Berechnung des -Wertes A vom Punkt A: Ansatz: ( ) + 0,4 = ( 3,98 ) A A ,4 = + 0 ( A A ,98) Zuletzt aktualisiert:.1.011

5 Die Gleichung wird mit dem GTR gelöst: Es gilt A =, 31 und daraus olgt ( A ) =, 8 Meter. Der linke Rand der Fahrbahn liegt au einer Höhe von,8 Meter. Augabe I 1.: 1.) Induktionsanang: Es ist zu zeigen, dass die Aussage ür n = 1 gültig ist. Mit () = e gilt ür die erste Ableitung () = e + 1 e = ( + 1) e Setzt man n = 1 in die gegebene Formel ein, erkennt man, dass dies stimmt..) Induktionsschritt: a) Formulierung der Induktionsvoraussetzung: Es gibt eine natürliche Zahl n, ür die die Funktion () = ( + n) e besitzt. () b) Formulierung der Induktionsbehauptung: Die Aussage gilt ür n+1, das heißt die (n+1)-te Ableitung lautet c) Beweis des Induktionsschrittes: (n+ 1) () = () = ( + n) e = 1 e = e die n-te Ableitung (n+ 1) ( ) ( ) + ( + n) e = e ( + n + 1) Damit ist die Ausssage ür alle natürlichen Zahlen gezeigt. () = ( + n + 1) e 5 Zuletzt aktualisiert:.1.011