Lösungsmethoden gewöhnlicher Differentialgleichungen (Dgl.)

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1 Lösungsmethoden gewöhnlicher Dierentialgleichungen Dgl) Allgemeine und partikuläre Lösung einer gewöhnlichen Dierentialgleichung Eine Dierentialgleichung ist eine Gleichung! Zum Unterschied von den gewöhnlichen Gleichungen sind aber die gesuchten Unbekannten nicht spezielle Zahlenwerte, welche die Gleichung zur Identität machen, sondern Funktionen, und zwar Funktionen von einer Veränderlichen bei den gewöhnlichen Dierentialgleichungen und Funktionen von mehreren Veränderlichen bei den partiellen Dierentialgleichungen n) gewöhnlichen Dgl n-ter Ordnung: F,,,,, ) Beispiele: - gewöhnliche Dgl zweiter Ordnung höchste Ableitung), - lineare Dgl Funktion und Ableitungen nur in erster Potenz und auch nicht miteinander multipliziert) - Dgl erster Ordnung, aber nicht linear Lösung Integral ) der Dgl ist jede Funktion ), die in die Dgl eingesetzt, diese zu einer Identität macht So ist e eine Lösung der Dgl, aber auch e und 3e sind Lösungen Alle Lösungen der Dgl kann man hier zusammenassen in der Form: Ce C Konstante) Die einparametrige Funktionenschar Eine einzelne Funktion dieser Schar zb Ce ist die,,allgemeine Lösung der Dgl e oder ) heißt partikuläre Lösung Das Finden der allgemeinen Lösung einer Dgl bezeichnet man als deren Integration Denkt man an ein Integral im ursprünglichen Sinne, so spricht man von Quadratur Wir betrachten eine Dierentialgleichung als gelöst, wenn wir die Lösung au Quadraturen, dh au das Ausrechnen von Integralen, zurückgeührt haben So ist die Dgl ) au eine Quadratur zurückgeührt, wenn man statt ihrer schreibt ) d C Dr Hempel / Mathematisch Grundlagen - Dierentialgleichungen/Einührung Seite 1

2 Die Integrationskonstante plegt man bei der Lösung von Dgl ausdrücklich hinzuschreiben, um deren Rolle zu unterstreichen Die allgemeine Lösung jeder Dierentialgleichung erster Ordnung ist eine einparametrige Kurvenschar oder, analtisch gesprochen, Funktionenschar Bei Dierentialgleichungen höherer Ordnung gilt etwas Entsprechendes Es gilt der allgemeine Satz: Jede n-parametrige Funktionenschar Kurvenschar) lässt sich durch eine Dierentialgleichung n-ter Ordnung analtisch wiedergeben, und umgekehrt lässt sich jede Dierentialgleichung n-ter Ordnung durch eine n-parametrige Kurvenschar geometrisch deuten algebraische Gleichungen höheren Grades können mehrere reelle Lösungen haben, Dierentialgleichungen höheren Grades mit höheren Ableitungen) können mehrdeutige Lösungen haben, z B zwei einparametrige Kurvenscharen statt nur einer Wie kommt man von der Gleichung einer Kurvenschar zu ihrer Dierentialgleichung? Austellung der Dierentialgleichung: Für jede Kurve der einparametrigen Schar ϕ, gilt ϕ, Eliminiert man aus diesen beiden Gleichungen den reien Parameter C, so bekommt man eine Beziehung zwischen, und ; sie heiße F,, ) Dies ist die Dierentialgleichung erster Ordnung der Kurvenschar, ϕ Beispiel: Die Schar der Geraden durch den Nullpunkt hat die Gleichung: C Dierentiation nach ergibt C Die Eliminierung des Parameters C aus diesen beiden Gleichungen lieert die gesuchte Dierentialgleichung / oder in impliziter Form geschrieben Bei einer zweiparametrigen Kurvenschar ϕ, C 1, C ) muss man außer der ersten Ableitung ϕ, C 1, C ) auch noch die zweite Ableitung ϕ, C, C 1 ) nach bilden, um die beiden Konstanten C 1 und C eliminieren zu können; das Ergebnis ist eine Dierentialgleichung zweiter Ordnung F,,, ) Man sieht: eine n-parametrige Kurvenschar ührt au eine Dierentialgleichung n-ter Ordnung Dr Hempel / Mathematisch Grundlagen - Dierentialgleichungen/Einührung Seite

3 Beispiel: zweiparametrige Kurvenschar: alle Geraden der Ebene C1 C Zweimaliges Ableiten nach ergibt C1 und Hier enthält die letzte Gleichung keinen der beiden Parameter mehr; wir müssen keinen Parameter mehr eliminieren ist die Dierentialgleichung der Geraden der -Ebene Beispiel: Dierentialgleichung der zweiparametrigen Schar aller Kreise vom Radius a 1 ρ ρ a 1 Die Krümmung einer Kurve beträgt, ) 3/ Kreise vom Radius a haben eine konstante Krümmung ) 3/, dh ür sie gilt 3 a 1 Die Dierentialgleichung aller Kreise der Ebene könnte man hieraus inden, indem man diese Gleichung nach dierenziert und dann aus beiden Gleichungen den Parameter a eliminiert Die 3 Dierentialgleichung der Kreise der Ebene ist dann dritter Ordnung: 1 ) 3 ) Es kann gezeigt werden, dass auch die Umkehrung gilt - dass einer Dierentialgleichung n-ter Ordnung eine ganz bestimmte n-parametrige Kurvenschar zugeordnet ist Singuläre Lösungen Es kann vorkommen, dass es neben der n-parametrigen Schar von Kurven, die wir allgemeine Lösung der Dierentialgleichung genannt haben, noch andere Kurven gibt, die von der allgemeinen Lösung nicht erasst werden, die aber dennoch Punkt ür Punkt der Dierentialgleichung genügen Das sind dann natürlich auch Lösungen der Dierentialgleichung Solche Lösungen werden singuläre Lösungen genannt Beispiel: Die Kurvenschar aller Kreise mit dem Mittelpunkt au der -Achse und dem Radius 1 lässt sich ausdrücken durch: C ) 1 1 Implizit abgeleitet ergibt das C1 ) bzw C1 ) Aus der Kreisgleichung olgt: C1) ± 1 und damit m bzw 1 1 und 1 Kreise mit dem Mittelpunkt au der -Achse und dem Radius 1 Diese Dierentialgleichung steht also ür die Schar aller Dr Hempel / Mathematisch Grundlagen - Dierentialgleichungen/Einührung Seite 3

4 Ein Blick au die Abb zeigt, dass außer den Kreisen auch die sie berührenden Geraden 1 und 1 Lösungen der Dgl sind, was man durch Einsetzen bestätigen kann Diese Geraden sind in der Kreisschar nicht enthalten - es sind singuläre Lösungen Eine genauere Betrachtung zeigt, dass nicht nur die Kreise und die sie einhüllenden Geraden Lösungen der Dgl sind, sondern auch noch viele zusammengesetzte Kurven, die au das Richtungseld passen siehe Abb) Ist die n-parametrige Kurvenschar, die wir als allgemeine Lösung bezeichneten, also keine geometrischer Repräsentation der Dierentialgleichung n-ter Ordnung? Denn es gibt ja oensichtlich auch andere Lösungen, als die hier enthaltenen! Das ist richtig, solange man in jener Kurvenschar nur die Gesamtheit der 1 n ausgezogenen 1 n Kurven sieht und nicht ein Feld von Linienelementen, aus denen diese Kurven bestehen Als Feld gesehen bedeutet die allgemeine Lösung die vollständige Lösung der Dierentialgleichung, als Kurvenschar gesehen, dagegen nicht Alle Lösungskurven einschließlich der singulären, sind im Linien-Feld wirklich vorhanden, passen au das Feld, und jede Kurve, die sich aus den Elementen dieses Feldes natürlich zusammenügt oder künstlich zusammensetzen lässt, ist eine Lösung partikuläre oder singuläre) der Dierentialgleichung In diesem Sinne ist die vollständige Lösung - einer Dierentialgleichung erster Ordnung ein Feld von Richtungselementen 3 - einer Dierentialgleichung -ter Ordnung ein Feld von Krümmungselementen Dierentialgleichung erster Ordnung: Liegt eplizit vor:, ),, ) ist im interessierenden Gebiet eindeutig und beliebig ot dierenzierbar ) ist dann Lösung der Dgl, wenn gilt: ), )), ) ), usw Das bedeutet: Wenn man ür irgendeinen -Wert, sagen wir ür, den zugehörigen Funktionswert vorschreibt, ) so ist durch die Dierentialgleichung zunächst ) und durch die aus ihr abgeleiteten Identitäten weiter auch ), ) usw estgelegt, so dass durch den einen Parameter die Lösung der Dierentialgleichung in Form ihrer Talorschen Reihe vollständig bestimmt Dr Hempel / Mathematisch Grundlagen - Dierentialgleichungen/Einührung Seite 4

5 ist, vorausgesetzt, dass es eine analtische Kurve ) gibt, die durch den Punkt, ) hindurch läut und Lösung der Dierentialgleichung ist Diese Lösung heißt dann ) ) ) L worin ) ) ),, ), ) ) L, ) ) Die Dierentialgleichungen sind als Identitäten anzusehen und düren daher nach der unabhängigen Veränderlichen dierenziert werden! bedeutet eine Funktion von, die gesuchte Funktion, die aus der Dierentialgleichung eine Identität in macht, wenn man sie anstelle von dort einsetzt Dr Hempel / Mathematisch Grundlagen - Dierentialgleichungen/Einührung Seite 5