Hydrostatik Mechanik von Fluiden im statischen Gleichgewicht. Fluide: Stoffe, die sich unter Einwirkung von Schubspannungen fortlaufend deformieren

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Georg Kappel
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1 Hydrostatik Mechanik von Fluiden im statischen Gleichgewicht Fluide: Stoffe, die sich unter Einwirkung von Schubspannungen fortlaufend deformieren in ruhendem Fluid können keine tangentialen Spannungen auftreten

2 Hydrostatik die Summe aller angreifenden Kräfte verschwindet die Fluidelemente bewegen sich nicht oder mit konstanter Geschwindigkeit es existieren nur Normalspannungen, keine Schubspannungen τ Normalspannungen sind immer Druckspannungen (keine Zugspannungen, da innere molekulare Kräfte zu klein) 2

3 Hydrostatische Grundgleichung da dz z g Alle Größen (Druck p, Dichte ρ,...) sind Funktionen der Koordinate z p(z),ρ(z),... Gleichgewicht der Kräfte Fz = p(z)da p(z + dz)da G = G = ρ(z + dz 2 )g dz da 3

4 Hydrostatische Grundgleichung Taylorreihe von p und ρ: p(z + dz) = p(z) + dp dz dz + d2 p dz 2 dz2 2 + ρ(z + dz dρ 2 ) = ρ(z) + dz dz 2 + d2 ρ dz 2 dz2 4 + p da (p + dp dρ dz dz (ρ + dz dz 2 )g dz)da = dp dz dρ dz 2 dzda ρg dz da } dz 2{{ g da } = dp dz = ρg 4

5 Druckverteilung Integration für inkompressible Fluide (ρ = konst und g = konst) dp dz p + ρgz = konst = ρg dp = ρg dz Hydrostatische Grundgleichung 5

6 Druckverteilung Integration für kompressible Fluide Annahme: perfektes Gas: ρ = p RT isotherme Atmosphäre: T = T = konst dp dz = ρg dp = ρ(z)gdz = p(z) RT gdz p p dp z p = z g RT dz lnp lnp = ln p p = g(z z ) RT p = p e g z RT 6

7 Druckverteilung.2 p(z).8 barometrische Höhenformel

8 Hydrostatischer Auftrieb Ein Körper, der teilweise oder vollständig in einem Fluid untergetaucht ist, erfährt einen scheinbaren Gewichtsverlust. Auftrieb Parallelepiped in einem Fluid mit der Dichte ρ F p a z ρ F h p(h) g l p(h+l) A 8

9 Hydrostatischer Auftrieb Resultierende Kraft in F p in z-richtung: F p = (p(h) p(h + l))a Hydrostatischer Druck: p(z) = p a + ρ F gz F p = (p a + ρ F gh p a ρ F g(h + l))a F p = ρ F g la }{{} Volumen = ρ F g τ = F L (ARCHIMEDES) Auftriebskraft resultierende Druckkraft 9

10 STEVIN sches Erstarrungsprinzip ρ A p a g G Die Kraft auf eine beliebige Fläche A im Fluid entspricht dem Gewicht der Flüssigkeitssäule oberhalb der Fläche plus dem Oberflächendruck multipliziert mit der Projektionsfläche. F = G + p a A

11 STEVIN sches Erstarrungsprinzip ρ A p τ A A l u τ τ τ u l Gesamtkraft auf einen Körper mit dem Volumen τ F L = p a A p + ρgτ u p a A p ρgτ l = = ρg(τ l τ u ) = ρgτ F L = ρ g τ

12 5.2 Ein Behälter ist mit einem Fluid der Dichte ρ gefüllt. Der Abfluss des Behälters ( Füllhöhe h ) ist durch eine Halbkugelschale ( Radius R, Gewicht G ) abgeschlossen. Gegeben: h, ρ, R, G, g Welche Kraft F ist notwendig, um den Abfluss zu öffnen? Hinweis: Das Volumen einer Kugel ist: V k = 4 3 π R3 2

13 5.2 G F F p F = F G + F p = F = G F p F p = V HK ρ w g ρ w g ha HK Die Halbkugel ist nicht vollständig benetzt. F p = π R3 ρ w g ρ w g hπ R 2 F = G ρ w g π R 2 ( 3 2 R h) 3

14 5.5 Das unten skizzierte Wehr der Länge L trennt zwei Wasserbecken mit unterschiedlicher Wassertiefe voneinander ab. Bestimmen Sie den Betrag der Kraft, die das Wasser auf das Wehr ausübt. Gegeben: ρ, g, L, a 4

15 5.5 F = d F = p (z ) L ds Koordinatentransformation : mit S = z cosα ; ds = d z cosα F x = F cosα 5

16 5.5 = F x = 2a F z = F sin α cosα p(z ) L d z cosα = 2a ρ g z L d z = 2 ρ g a 2 L 2a F z = sin α p(z ) L d z 2a cosα = tanα ρ g z L d z = 4 3 ρ g a2 L mit tanα = 2 3 6

17 5.5 2 F 2x = ; F 2z = 2ρ g a 2 L 4a 3 F 3x = + F 3z = 2a 4a p(z ) L dz = + 2a 4, 5, 6 ρ g z L dz = 6 ρ g a 2 L = F 45z = 2 ρ g a2 L ; F 6z = 7

18 5.5 F 456x = ρ g 5a 2 5a L = 25 2 ρ g a2 L F x = i F ix = 9 2 ρ g a2 L F z = F iz = ρ g a2 L i F ges = Fx 2 + Fz 2 = 4.65 ρ g a 2 L 8

19 Beispiel: Ballon in der Atmosphäre z z F Α Nutzlast g p(z) ρ(z) Atmosphäre Gas ρ = ρ(z) barometrische Höhenformel p = ρ = e R gz L T p ρ.2 p(z).8 Druckverteilung

20 Beispiel: Ballon in der Atmosphäre typische Werte z = m Dichteänderung in z T = 29 K R L = 288 Nm kg K ρ(z + z) ρ(z) ρ(z).2 3 = e g z R L T Dichtegradient über der Ballonhöhe kann vernachlässigt werden. 2

21 Verschiedene Typen von Ballons.) starr, offen (hot air balloon) p a p i τ mg offen p i = p a starr τ = konst offen m konst 2.) ideal schlaff geschlossen (Wetterballon) p τ i mg keine Kräfte p i = p a geschl. mg = konst schlaff τ konst 2

22 Verschiedene Typen von Ballons 3.) starr geschlossen (Zeppelin) p i mg τ kein Druckausgleich p i p a geschl. mg = konst keine Deformation τ = konst 22

23 Beispiel Ein starrer, geschlossener Ballon mit der Masse m N (einschließlich Nutzmasse) enthält die Gasmasse m G. Das Gasvolumen τ und der Innendruck im Ballon ist p i. Das Volumen der Nutzlast τ N sei gegenueber τ vernachlässigbar. Der Ballon befindet sich in einer isothermen Atmosphäre mit der Temperatur T o. Die Temperatur des Gases (R G ) ist gleich der Temperatur in der umgebenden Luft (R L ). Gegeben: g,τ,τ N << τ,m g,m N,ρ o,t i = T = T = konst,r L,R G p, i mg τ p a g m N z ρ o 23

24 Beispiel a) Wie groß ist die maximale Steighöhe des Ballons, wenn der Ballon am Boden festgehalten werden muss? b) Nach einer Kollision mit einem Vogel hat der Ballon auf der Unterseite ein Loch. Wird der Ballon nun steigen oder sinken? c) Bestimmen Sie die neue maximale Steighöhe h max für p i > p a (h max ) a) F = F A F G F N = F A = ρ L gτ F G + F N = (m G + m N )g ρ L gτ = (m N + m G )g ρ L = m G+m N τ ρ L (z) = ρ o e gz R L To 24

25 Beispiel ρ o e gz max R L To = m G+m N z max = R LT o g ln τ ( ) τρo m G +m N gz max R L T = ln o b) 2 Fälle: p i > p a m G sinkt z max steigt p i < p a m G steigt z max sinkt c) F A F GLOCH F N = F G = m G g ρ g = ρ gloch = ρ gloch = R L R G ρ L p i R G T = m G o τ p a R G T o mit p a = R L T o ρ L ( ) mg +m N τρ o 25

26 Beispiel ρ L gτ ρ gloch gτ m N g = ρ L ( R ) L R = m N G τ h maxloch = R LT o g ln mit ρ L = ρ o e gz R L To ( ) τρo R G R L m N R G 26

27 5. Ein Wetterballon mit Masse m und Anfangsvolumen V steigt in einer isothermen Atmosphäre auf. Bis zum Erreichen des maximalen Volumens V ist die Hülle schlaff. p = 5 N/m 2 ρ =, 27 kg/m 3 m = 2, 5 kg V = 2, 8 m 3 V = m 3 R = 287 Nm/kgK g = m/s 2 a) Mit welcher Kraft muß der Ballon vor dem Start festgehalten werden? b) In welcher Höhe erreicht der Ballon das Volumen V? c) Wie hoch steigt der Ballon? 27

28 5. a) vor dem Start V F A F G Fh F z N Fz = = F A F G F N F H F H = F A (F N + F G ) = = ρ L (z = )V g mg = = (ρ V m)g) =.6 N 28

29 5. b) z für V = V ideal schlaff für V < V die Ballonhülle kann ihr Volumen verändern m G = konst = ρ G V = p i = p a p G R G T G V Die Bewegung ist äußerst langsam: T i = T a Annahme: isotherme Atmosphäre barometrische Höhenformel V = m GR G T G p G p G = p L 29

30 5. V V V z = V = V V (z) = V e gz R L T z z V = V (z = z ) = V e z = ln V R L T V g gz R L T p ρ = R L T z = p ρ g ln V V =. km 3

31 5. c) z z : F A = ρ L V g = p L m g R G T G g R L T p G = konst Die Auftriebskraft, die auf einen schlaffen Ballon wirkt, ist konstant. (T L = T G,g = konst) F A (z z ) = ρ V g = ρ L (z )V g F A (z > z ) = ρ L (z)v g F A (z > z ) = F A (z z ) ρl(z) ρ L (z ) = = F A (z z ) e g(z z ) R L T 3

32 5. F A z z max z 32

33 5. maximale Steighöhe: F z = mg = F A = mg ρ(z max )V g ρ e gz max R L T = m V z max = R LT g ln V ρ m = p ρ g ln V ρ m = 2.8 km 33

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