Mathematik Name: Klassenarbeit Nr. 2 Klasse 9a Punkte: /30 Note: Schnitt:

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Mareke Roth
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1 Aufgabe 1: [4P] Erkläre mit zwei Skizzen, vier Formeln und ein paar Worten die jeweils zwei Varianten der beiden Strahlensätze. Lösung 1: Es gibt viele Arten, die beiden Strahlensätze zu erklären, etwa: Variante 1, d.h beide Parallelen sind auf derselben Seite des Schnittpunktes der 1. Strahlensatz: Das Verhältnis der Abschnitte auf dem einen Strahl ist gleich groß wie das Verhältnis der entsprechenden Abschnitte auf dem zweiten Strahl. 2. Strahlensatz: Das Verhältnis der Abschnitte auf den Parallelen ist gleich groß wie das Verhältnis der entsprechenden Abschnitte auf den Variante 2, d.h. der Schnittpunkt der Strahlen ist zwischen den Parallelen. 1. Strahlensatz: Das Verhältnis der Abschnitte auf dem einen Strahl ist gleich groß wie das Verhältnis der entsprechenden Abschnitte auf dem zweiten Strahl. 2. Strahlensatz: Das Verhältnis der Abschnitte auf den Parallelen ist gleich groß wie das Verhältnis der entsprechenden Abschnitte auf den

2 Aufgabe 2: [8P] Bestimme mit den Strahlensätzen die unbekannten Strecken a,b,c,d (Skizze ist nicht maßstabsgetreu) Lösung 2: Wir können die Strecken in verschiedener Reihenfolge bestimmen, können auch bereits bestimmte Größen benutzen um weitere Strecken zu berechnen. Aber Vorsicht, vergleiche die richtigen Teile, wende die Strahlensätze korrekt an. zu a) Aufgrund des 2. Strahlensatz gilt: a g e g f oder a 5 4,8 8 Damit ergibt nach der Multiplikation mit 4,8: a 4, Zu b) Aufgrund des 1. Strahlensatz gilt. b h g f b f d.h. 11 oder h g h g b f. Setzen wir die Zahlen ein und multiplizieren mit h = 6, erhalten wir h g f b h 6,6 g 5 Zu c) Aufgrund des 1. Strahlensatz (Variante) gilt: c i Nach der Multiplikation mit h und dem Einsetzen der Zahlen erhalten wir h g i c h 6 1 1, 2 g Zu d) Aufgrund des 2. Strahlensatz (Variante) gilt d i. Damit erhalten e f g wir nach der Multiplikation mit e und dem Einsetzen: d i e 4,8 6,6 f g Aufgabe : [4P] Ein Baum, der von einer Lochkamera 45 m entfernt ist, wird cm hoch auf dem Schirm der Kamera abgebildet. Der Abstand des Schirms vom Loch beträgt 12 cm. Wie hoch ist der Baum? (Tipp: Skizze) Lösung : Die Lochkamera befindet sich in der Skizze rechts, der Baum links (er ist die Strecke DB). Der Kasten, d.h. der Fotoapparat muss man nicht skizziern, aber die senkrechte Wand im Kasten, d.h. der Film. Vor allem aber ist der mittlere Strahl, der parallel zum Boden ist, notwendig.

3 Die Größe des Baums und des Fotos vom Baum sind die Abschnitte DB bzw CE Baum BD DA auf den Parallelen. Der 2. Strahlensatz liefert damit: Bild EC AE Der 1. Strahlensatz mit den Strahlen LM und DE liefert: DA LA AE AM Damit gilt: Baum LA. Lösen wir diese Gleichung nach Baum auf, erhalten Bild AM LA wir: Baum Bild. Setzen wir nun die Werte ein, erhalten wir: AM LA 45m Baum Bild cm m m 11, 25m AM 12cm 12 4 Damit ist die Höhe des Baumes 11,25 m. Aufgabe 4: [4P] In einem Trapez ABCD ist DC parallel zu AB. Das Trapez wird von einer Parallelen zu AB in den Punkten E und F geschnitten (siehe Skizze unten) Bestimme die Länge EF, wenn die Strecken AB = 12 cm, DC = 7 cm, BC=6 cm ist und der Punkt E die Strecke BC im Verhältnis 2:1 schneidet. (Tipp: Zeichne eine zusätzliche Strecke ein.) Lösung 4: Es gibt mindestens zwei Varianten, die Aufgabe zu lösen. 1. Variante: Zeichne eine Parallel zu AD durch C und betrachte die Strahlen auf der rechten Seite:

4 Es gilt nun DC FG AH 7cm Um die gesuchte Strecke EF zu bestimmen, genügt es GE zu berechnen. GE CE 1 Der 2.Strahlensatz liefert: Da BH = 12-7 = 5 ist, ergibt sich BH CB 1 2 GE oder. Damit ist die Länge der Strecke FE Variante: Verlängere die Strecken AD und BC nach oben bis zum Schnittpunkt S: 5 GE Es gilt FE SE. Um SE bestimmen zu können, benötigen wir die Strecke Strecke SC. AB SB Diese können wir mit dem zweiten Strahlensatz berechnen: SC DC 7 Also ist SB AB 12 DC SC SB SB SC CB SC 6 Oder AB SC SC 6 Bringen wir den Summanden mit SC auf die linke Seite, erhalten wir: 7 7 SC SC 6 oder 5 7 SC 6 oder SC 6 8, Nun können wir endgültig SE bestimmen: 1 1 SE SC CE 8,4 CB 8,4 6 10,4 Abschließend gehen wir zur ersten Gleichung zurück, zu FE SE. Jetzt gilt AB SB SE 10,4 10, , FE AB 12 8 SB 8,4 6 14,4 1,2 6 Aufgabe 5: [4P] Von zwei rechtwinkligen Dreiecken ist bekannt, dass a) beim ersten der Winkel 90, die Seite c =10 cm und die Seite a = 6 cm groß sind

5 90, die Seite b = 5 cm und die Seite c = 12 cm b) beim zweiten der Winkel lang sind. Skizziere die beiden Dreiecke und berechne die fehlenden Seiten. Lösung 5: zu a) Der Satz des Pythagoras liefert: b c a Damit ist die gesuchte Strecke b = 8 cm Zu b) Der Satz des Pythagoras liefert: a b c Damit ist die gesuchte Strecke a = 1 cm Aufgabe 6: [6P] Berechne und vereinfache so weit wie möglich. a) Lösung 6: Zu a) c) b) Zu b) Zu c)

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