1.1 Bruchteile und Bruchzahlen Bruchteile von Ganzen lassen sich mit Hilfe von Bruchzahlen darstellen: 6 3 = Schraffiert:

Transkript

1 Zahlen. Bruchteile und Bruchzahlen Bruchteile von Ganzen lassen sich mit Hilfe von Bruchzahlen darstellen: Gelb: 6 = Schraffiert: 20 0 Bruchteile gibt man häufig in Prozent (%) an. Prozent = Hundertstel z.b. % = 00 z Brüche haben die Form mit z N 0 und n N ; n z heißt Zähler, n heißt Nenner des Bruches. z Es gilt: = z : n n Einteilung der Brüche: Stammbrüche z = echte Brüche z < n unechte Brüche z > n 9 Unechte Brüche lassen sich in gemischte Zahlen verwandeln. = Die Menge der positiven und negativen Bruchzahlen bildet zusammen mit der Zahl 0 die Menge der rationalen Zahlen Q..2 Formänderung von Brüchen Erweitern eines Bruches bedeutet, Zähler und Nenner werden mit der selben natürlichen z z k Zahl k multipliziert: =, k N n n k Kürzen eines Bruches bedeutet, Zähler und Nenner werden durch einen gemeinsamen z z : k Teiler k dividiert: =, k N n n : k Einen Bruch, den man nicht mehr kürzen kann, nennt man vollständig gekürzt (Grundform).. Anordnung von Brüchen Von zwei Brüchen mit gleichem Nenner ist derjenige kleiner, der den kleineren Zähler hat. < < 0 Brüche mit verschiedenen Nennern bringt man vor dem Vergleichen auf den Hauptnenner (= kleinster gemeinsamer Nenner).

2 .4 Addieren und Subtrahieren von Brüchen Brüche mit gleichem Nenner werden addiert (subtrahiert), indem man die Zähler addiert und den Nenner beibehält. Beispiele: = 6 ; 2 = Brüche mit verschiedenen Nennern erweitert man zunächst auf den Hauptnenner. + = 2 + = Multiplizieren und Dividieren von Brüchen Brüche werden multipliziert, indem man zuerst soweit wie möglich kürzt, und dann Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. 9 = = Für die Division zweier Brüche gilt: Bruch : Bruch = Bruch Kehrbruch z z z n : = n n n z : = 9 2 = = = Gemischte Zahlen müssen vor dem Multiplizieren und vor dem Dividieren in unechte Brüche verwandelt werden..6 Bruchteil eines Bruches Das Wort von wird nach einem Bruch durch ersetzt. von 2 kg = 2 kg = kg = kg Dezimalzahlen Zahlen wie z.b. 2, heißen Dezimalzahlen. Dabei bedeutet die. (2.,.,...) Stelle hinter dem Komma Zehntel (Hundertstel, Tausendstel,...). Die Ziffern hinter dem Komma heißen Dezimalen. Beispiele: 0,07 = 7 00 ; 2, = Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen Addition und Subtraktion der Stellen gleichen Wertes. 4,72 +,204 = 7,924 2

3 .9 Multiplikation und Division mit Stufenzahlen Man verschiebt das Komma um so viele Stellen nach rechts (links) wie die Stufenzahl (Zehnerpotenz) Nullen hat. Beispiele:,4 000 = 40,4 : 00 = 0,04.0 Multiplikation von Dezimalbrüchen Man multipliziert zunächst ohne Berücksichtigung des Kommas. Das Ergebnis erhält so viele Dezimalen, wie die Faktoren zusammen haben. 2,74,2 = 8,768 NR: Division durch eine natürliche Zahl Man dividiert wie bei natürlichen Zahlen. Vor dem Herunterholen der.ziffer nach dem Komma wird auch im Ergebnis das Komma gesetzt. 4,6 : 8 =,79.2 Division durch einen Dezimalbruch Zunächst wird das Komma im Dividenden und im Divisor um gleich viele Stellen nach rechts verschoben, bis der Divisor eine natürliche Zahl ist. Dann verfährt man wie bei.. 4,6 : 0,8 =4,6 : 8 = 7,9. Umformen gewöhnlicher Brüche in Dezimalbrüche Die Division n z = z : n ergibt einen endlichen Dezimalbruch, wenn der Nenner des vollständig gekürzten Bruches nur die Primfaktoren 2 oder (oder beide) enthält. einen unendlichen periodischen Dezimalbruch sonst. Sonderfall: Der Nenner enthält nur Neunerziffern. 7 Beispiele: = 0, ; 2 = 2, Rechnen mit rationalen Zahlen Die Rechengesetze für die ganzen Zahlen gelten auch für die rationalen Zahlen.

4 2 Geometrie 2. Flächeninhalte Parallelogramm: A P = a h a = b h b a h a hb b A P = Grundlinie mal (zugehörige) Höhe Dreieck: A b c C hc ha a B A D = = = 2 a h a = 2 b h b = 2 c h c Trapez: c d h b A T = (a + c) h 2 a 2.2 Volumenberechnung Volumen eines Quaders mit den Kantenlängen a, b, c: V = a b c Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge a: V = a a a = a Volumeneinheiten: Kantenlänge des Würfels Volumen des Würfels mm mm cm cm dm dm m m dm = Liter Die Umrechnungszahl ist jeweils

5 Funktionen Bei einer Zuordnung wird jeder Zahl oder Größe eine weitere Zahl oder Größe zugeordnet. Monat Temperatur. Beschreibungsmöglichkeiten: Tabelle, Graph, Zuordnungsvorschrift. Direkte Proportionalität Bei einer direkten Proportionalität wird dem doppelten, dreifachen, vierfachen... Wert der einen Größe der doppelte, dreifache, vierfache... Wert der anderen Größe zugeordnet. Menge Preis Dreisatz (Schlussrechnung).2 Prozentrechung Es gilt: 6 kg Äpfel kosten 4,0. Wie viel kosten kg?. 6 kg 4,0 2. kg 4,0 : 6 = 0,7. kg 0,7 =,2 p % von G = P p % = Prozentsatz, G = Grundwert, P = Prozentwert Berechnung des Prozentsatzes: Wie viel Prozent sind 40 von 20? 40 = 0,2 = 2,% 20 Berechnung des Prozentwertes Der Preis eines Fernsehgerätes beträgt 2. Er wird um 2% gesenkt. Wie hoch ist der Preisnachlass? 2% von 2 = 0,2 2 = 9 Berechnung des Grundwertes Der Preis eines Fernsehgerätes wurde um % gesenkt und beträgt nun 7. Wie teuer war das Gerät vorher? (Lösung mit Dreisatz). 8% 7 2. % 7 : 8 = 4,20. 00% 4,20 00 = 420 Auch die Berechnung des Prozentsatzes und des Prozentwertes kann man mit Dreisatz lösen. Bei allen Prozentrechnungen handelt es sich um eine direkte Proportionalität. Dem Grundwert werden immer 00% zugeordnet.

6 8 % 4 % 6 % K r e i s d i a g r a m m % 7 % % Grundwissen Mathematik 4 Stochastik 4. Zufallsexperimente Experimente, die unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar sind und deren Ergebnis zufällig, also nicht vorhersagbar ist, nenn man Zufallsexperimente. Beispiele: Werfen eines Spielwürfels, einer Münze; Drehen eines Glückrades 4.2 Relative Häufigkeit Wirft man einen Spielwürfel 60 mal und tritt dabei die Augenzahl zwei mal auf, so sagt man die absolute Häufigkeit der Augenzahl zwei ist und die relative Häufigkeit ist 60. relative Häufigkeit = absolute Häufigkeit Gesamtzahl Die Auswertung von Zufallsexperimenten erfolgt häufig in Tabellen oder Diagrammen. Augenzahl Summe absolute Häufigkeit relative Häufigkeit Winkel im Diagramm % 60 22% % 60 9 % 60 = 8% 60 9 % 60 = 60 00% 60 = Empirisches Gesetz der großen Zahlen Wiederholt man ein Zufallsexperiment sehr oft, so pendelt sich die relative Häufigkeit bei einem festen Zahlenwert ein. Beim Werfen eines Spielwürfels ist dieser Wert 6. 6