Übung 1. Man nde die gesuchten Funktionswerte. (ii) f(x, y) = sin(xy)

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Gerrit Becke
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1 Man nde die gesuchten Funktionswerte. Übung (i) f(, ) = + 3 f(, ) f(, ) f(, 3) f( 3, ) f(, ) = sin() f(, π/6) f( 3, π/) f(π, /) f( π/, 7) Übung Man nde und skizziere den enitionsbereich und nde den Wertebereich der folgenden Funktionen. (i) f(, ) = log( + ) g(, ) = (iii) h(, ) = (iv) k(, ) = (v) l(, ) = log() + log( ) * Übung 3 Seien < b < a gegeben und sei c > so dass c = a b. Wir betrachten die zwei Punkte F (c, ) und F ( c, ) auf der -Achse. Wir betrachten eine Kurve in der -- Ebene, so dass die Länge der Verbindungslinie von F, zu einem Punkt auf der Kurve (, ) plus die Länge der Verbindungslinie zwischen dem Punkt (, ) auf der Kurve und dem Punkt F gleich a ist. Man zeige dass es sich bei dieser Kurve um eine Ellipse mit Halbachse a und b handelt. ies ist die Gärtnerkonstruktion einer Ellipse. Hinweis: ie obige Bedingung führt auf die Gleichung (c ) + + ( + c) + = a. Man eliminiere die Wurzel durch zweimaliges Quadrieren der Gleichung. Übung (i) Man zeige dass die Kurve ( ) a cos(t) r (t) =, t < π b sin(t) eine Ellipse in der --Ebene beschreibt. Man nde eine Kurve r (t), welche eine Ellipse mit Zentrum bei (, 8), Halbachsen entlang Koordinatenachsen, grosser Halbachse 3 und kleiner Halbachse beschreibt. Übung Man nde eine kartesische Gleichung für den Graphen der folgenden Funktionen. (i) f(, ) = f(, ) = + (iii) f(, ) = 3 (3 + 6) Übung 6 Man beschreibe die Graphen der folgenden Funktionen: (i) f(, ) = + f(, ) = +

2 Übung 7 Man ordne den Folgenden Graphen die entsprechenden Höhenlinien zu. Graphen: (i) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii) (i)

Höhenlinien: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) Übung 8 Man

,, und die Schnittkurven parallel zur -z-ebene mit =,,, 3.

parallel zur -z und -z-achse der Funktion f(, ) =.

3 Höhenlinien: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) Übung 8 Man nde zu f(, ) = im Bereich > die (i) Höhenlinien mit z =,.,, und die Schnittkurven parallel zur -z-ebene mit =,,, 3. Übung 9 Man skizziere die Höhenlinien und Schnittkurven parallel zur -z und -z-achse der Funktion f(, ) =. Übung Man skizziere Höhenlinien der Funktionen (i) f(, ) = 9 +, g(, ) = Insbesondere zeichne man jeweils eine Höhenlinie durch den Punkt (3, ). Übung Für die folgenden Funktionen nde man den enitionsbereich, den Wertebereich W (jeweils als Mengen) und beschreibe die Höhenlinien. (i) f(, ) = f(, ) = + 9 (iii) f(, ) = 6 (iv) f(, ) = log( + ) 3

4 (v) f(, ) = sin ( ) (vi) f(, ) = log( + ) Lösungen zu den Übungen (i),, 8, 33 3/, /, /, Lösung zu Übung Lösung zu Übung (i) = {(, ) : > }, W = R = (iii) = {(, ) : + }, W = [, ] + = = {(, ) : }, W = [, ) = { (iv) = (, ) : 3 + }, W = [, ) + 3 = 3 (v) = {(, ) : + 6, >, < }, W = R + = 6

5 Lösung zu Übung 3 ie Gleichung aus dem Hinweis bekommt man durch Pthagoras. Quadrieren dieser Gleichung ergibt ( + + c ) + (( c) + )(( + c) + ) = a. Umstellen, so dass die Wurzel alleine auf der rechten Seite der Gleichung steht und quadrieren ergibt 6a 6a ( + + c ) + ( + + c ) = ( c ) + 8 ( + c ) +. Kürzen ergibt 6a 6a ( + + c ) + 6 c =. Einsetzen von c = a b und kürzen ergibt b + a = b a. ivision durch a und b ergibt die Ellipsengleichung a + b =. Lösung zu Übung (i) Mit (t) = a cos(t), (t) = b sin(t) nden wir (t) a + (t) b =, dies ist die Gleichung einer Ellipse am Ursprung mit Halbachsen a und b. ie Halbachsen sind parallel zu den Koordinatenachsen. ( ) + 3 cos(t) r (t) =, t < π. 8 + sin(t) Lösung zu Übung (i) Gleichung: z =. ies ist eine horizontale Ebene (Normalenvektor n = (,, )) durch den Punkt (,, ) (dies ist der Schnittpunkt der Ebene mit der z-achse). Gleichung: +z =. ies ist eine Ebene mit Normalenvektor n = (,, ) durch den Punkt (,, ) (dies ist der Schnittpunkt der Ebene mit der z-achse). (iii) Gleichung: z =. ies ist eine Ebene mit Normalenvektor n = (3, 6, ) durch den Punkt (,, 3) (dies ist der Schnittpunkt der Ebene mit der z-achse). (i) (iii)...8..

6 Lösung zu Übung 6 (i) Mit = erhält man z =. Für > ist dies z =. Rotiert um die z-achse ist dies ein halber Kegel mit Kegelspitz im Ursprung, Kegelachse ist die z-achse, nach oben (richtung positiver z-achse) geönet. Mit = erhält man die Parabel z =. Rotiert um die z-achse ist dies ein Rotationsparaboloid. (i) Lösung zu Übung 7 (i)-(f), -(c), (iii)-(h), (iv)-(d), (v)-(a), (vi)-(g), (vii)-(b), (viii)-(i), (i)-(e). Lösung zu Übung 8 (i) z = ergibt =, z =. ergibt =., z = ergibt = und z = ergibt =. iese drei Geraden sind somit die gesuchten Höhenlinien. = ergibt z =, = ergibt z = /, = ergibt z = / und = 3 ergibt z = 3/. iese vier Kurven sind die gesuchten Schnittkurven. = = z = =. z = 3/ z = / z = z = / Lösung zu Übung 9 z z 6

7 Lösung zu Übung (i) ie Höhenlinien von f(, ) sind für z > Ellipsen. ie Höhenlinie zu z = ist der Punkt (, ). Quadratisches Ergänzen liefert g(, ) = = 9 ( 6) + ( + ) + = 9 (( 3) 9) + (( + ) ) + ( 3) ( + ) = +. 9 Somit sind die Höhenlinien von g(, ) dieselben Ellipsen wie bei (i) (und im Fall z = der Punkt (3, )), jedoch in -Richtung um 3 und in -Richtung um verschoben. In der folgenden Figur sind Höhenlinien für z {,.,.,.7, } gezeichnet. ie Höhenlinie durch den Punkt (3, ) ist jeweils die grösste Ellipse. (i) Lösung zu Übung (i) = R (i.e. die gesamte --Ebene), W = R, die Höhenlinien sind Geraden = C. = R, W = [, ), für z = ist die Höhenlinie der Ursprung, für z sind die Höhenlinien Ellipsen mit Zentrum gleich dem Ursprung und den Hauptachsen entlang den Koordinatenachsen. (iii) = {(, ) R : + < 6}, W = (, ), die Höhenlinien sind Kreise mit dem Ursprung als Zentrum und Radius r <. (iv) = R \{(, )}, W = R, Höhenlinien sind Kreise mit dem Ursprung als Zentrum und Radius r >. (v) = {(, ) R : }, W = [ π/, π/], Höhenlinien sind Geraden = C mit C. (vi) = {(, ) R : + > }, W = R, Höhenlinien sind Kreise mit dem Ursprung als Zentrum und Radius r >. 7

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