BUCH III: PYRAMIDEN. 1. DieE U L E R KATHETENQUADRAT-WEHRLE KATHETEN-WEHRLE

Transkript

1 BUCH III: PYRAMIDEN 1. DieE U L E R KATHETENQUADRAT-WEHRLE KATHETEN-WEHRLE

2 Euler-Pyramiden Wenn wir nun zu den drei Ecken des Dreiecks eine vierte hinzufügen, dann erhalten wir entweder ein Viereck 1, wenn diese zusätzliche Ecke in der gleichen Ebene liegt, oder eine Dreiecks-Pyramide, - ein Vierflächner, der allgemeine Tetraeder -, der von vier Dreiecken begrenzt wird. Abb. 47: Viereck ohne In- und Umkreis (die Winkelhalbierenden bilden immer ein Sehnenviereck während die Mittelsenkrechten ein Supplementviereck bilden) oder Pyramide mit In- und Umkugel (wenn D aus der Eben herausragt) Während man aber beim Viereck fünf Bestimmungsstücke braucht, sind deren sechs für die räumlichen vier Ecken notwendig! 1 Ein Viereck ist eine Dreieckspyramide mit dem Volumen Null! Dies kann man für die Suche nach rationalen Vierecken, deren Diagonalen also auch rational sein sollen, verwenden

3 Während die Wehrle-Zahl für die sechs Seiten w(seiten) = x i : x i (für i=1 bis 6) ist, wird die Wehrle-Zahl der ersten Differenzen schon sehr kompliziert: w * = { 112 x i +40 x i ²x k x l x m x n +20 x i ²x k ²x l x m +8 x i ³x k x l x m +6 x i ²x k ²x l ² +4 [ x i ³x k ³+ x i ²x k ²x l x m ] - 2[ x i 4 x k x l + x i 5 x k ] - x i 6 } : ( 4u) Summation nur über verschiedene Indices Also für i k l m n und mit u = x i wobei x 1 = a, x 2 = b, x 3 = c, x 4 = d ist und anstelle der Diagonalen beim Viereck noch die Kanten x 5 = e und x 6 = f hinzukommen. Immer wird der Index von 1 bis 6 summiert, aber beim Summieren müssen die Indizes hier immer verschieden sein (für gleiche wird ja hoch 2, hoch 3 etc. geschrieben). Ein Analogie zum Tangentenabschnitt-Produkt 2 des Dreiecks ist nicht möglich, denn es gibt i.a. keine Kugeln um die Ecken als Mitten, welche sich alle gegenseitig berühren 3! Dies kann man sich an einem Beispiel klarmachen: Nehmen wir das Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 als Grundfläche einer Pyramide, die ja jede beliebige Höhe annehmen kann; wir wählen etwa die Höhe 0,1. Drei sich gegenseitig berührende Kugeln um die Basisecken haben dann die Radien 1, 2 und 3, aber jede Kugel um die vierte Ecke, der Pyramidenspitze, die alle diese drei Kugeln berühren sollte, liegt dann innerhalb einer dieser drei Küsskugeln bzw. überschneidet sich mit diesen. 2 Es gäbe wie beim Sehnenviereck vier Tangentenabschnitte 3 Dass die Inkugel von vier Eckkugeln berührt wird, ist jedoch immer möglich. Die Kanten setzen sich dann aus drei Teilen zusammen, je zwei Kugelabschnitten von Radiengröße und je einem Restteil

4 Wir wählen daher einen anderen Weg über die Dreieckspyramiden mit einer Quader-Ecke, die sog. Eulerschen Tetraeder, an denen sich drei rechtwinklige Grenzdreiecke treffen. Es stellt sich heraus, dass man die Quadrate verwenden muss, damit sich mit den drei Katheten ein Zusammenhang mit den beiden in- und umbechreibenden Kugelradien r und R herstellen lässt. Der Kathetenquadrat-Wehrle ist: a i ² / Σ a i ² = a² b² c² / (a²+b²+c²)= (Or/R)² Somit ist Or/R = a b c / (a²+b²+c²) Das Radienverhältnis ist also R : r = O Σa i ² / a i Beispiel: Schneiden wir einen Würfel an einer Ecke ab, wobei alle `Katheten -Kanten gleich lang wie die Würfelkante sind, wird Σa i ² =a 3. Die Oberfläche ist 3 mal ½a² und die Hypotenusenfläche ist ½a² 3, also O=½a²(3+ 3) und daher {½a²( 3+3) 3a }/a³ = ½(3 3+3)= 1,5 (1+ 3) 4,1 (Der Kehrwert ist 2(3 3-3)/ 18 = 1 / 3 ( 3-1) 0,244) Mit V = 1 / 3 Gh = 1 / 6 a³ = 1 / 3 Or, folgt r= ½a³/O = a / (3+ 3) =1 / 6 a (3-3) Wegen R=½a 3 (halbe Raumdiagonale) wird das Verhältnis r : R = 1 / 6 (3-3) / ½ 3 = 1 / 3 3 (3-3)/3=1 / 3 ( 3-1) Das Verhältnis von Um- zu Inkugelradius wird beim regelmäßigen Tetraeder am größten, nämlich R : r = 3, denn die reguläre Pyramide mit gleichlangen Kanten a hat als Inkugelradius r = 1 / 12 a 6 und den dreimal

5 so großen Umkugelradius R = ¼a 6. Mit der Oberfläche O = a² 3 wird auch hier {a² 3 a 3} / a³ = 3 Wie wir im nächsten Kapitel >>3D-Pythagoras<< sehen werden, ist die Oberfläche O = Summe der drei Kathetendreiecksflächen + Hypotenusedreiecksfläche = ½(ab+ac+bc) + ½ [(a²b²+a²c²+b²c²)] Wegen 3V= Or ist r= ½abc/O. r = abc/ {ab+ac+bc + (a²b²+a²c²+b²c²)}. Daher ergibt sich durch Multiplikation mit 4R² = Σa i ² oder 2R = (a²+b²+c²) das Radienprodukt der In- und Umkugel einer dreieckigen Eulerpyramide 2rR = abc (a²+b²+c²) /[(ab+ac+bc) + [(a²b²+a²c²+b²c²)]

6 Der Kathetenwehrle dagegen enthält den Umkugelradius R gar nicht mehr, wenn man nicht den Umweg über die Entfernung d der Kugelzentren der In- und Umkugel wählt: a i / Σ a i = abc : (a+b+c) = = 2r²(K+H)/(K-H) = 2Or²/(R²+3r²-d²) mit K Kathetenflächensumme, H Hypotenusenfläche und O = K+H. Und ausgerechnet ist der Katheten-Wehrle 2r² [(ab+ac+cb) + (a²b²+a²c²+c²b²)] abc : (a+b+c) = [(ab+ac+bc)- (a²b²+a²c²+c²b²)]

7 Übungsaufgaben 1.) Beweise: Um-Kugeln durch 4 nur rationale Punkte haben immer eine rationale Mitte, und nur der Radius kann irrational sein! Was gilt für das Inkugelzentrum und den Schwerpunkt diesbezüglich? Was für die anderen (für welche) besonderen Punkte auf den beiden Eulergeraden für Tetraeder rationaler Eck-Koordinaten? 2.) a.) Zerlege eine Kugel in vier genau gleiche Teile (die aber nicht zwei Pole gemeinsam haben, wie bei Mandarinenschnitzen). b.) Berechne für den regelmäßigen Tetraeder das achtfache Radienprodukt zu 8rR=a! 3.) Die nicht-triviale Körperhöhe einer rechtwinkligen Dreieckspyramide ist h rechtwinklig =abc / [(a²b²+a²c²+b²c²)] 4.) Berechne für die Analogie zum gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck, dass der Umkugel-Radius R = ½ 3a bzw. 4rR=( 3-1)a ist und h=⅓ 3a. Das Zentrum der Umkugel liegt bei rechtwinkligen Tetraedern immer Außerhalb dieser! 5.) Zeige, dass für das rechtwinklige Dreieck mit Hypotenuse c gilt: a²b²/(a²+b²) = (A/R)² = h² und a² b² c² / (a²+b²+c²) = 2A², während für Pyramiden mit den Kanten a, b und c an der Quaderecke a² b² c² / (a²+b²+c²)= {3V/R}² (vgl. letzte Aufgabe zum Kathetenquadrat-Wehrle) ist, und der Kanten-Quadrat-Wehrle a² b² c² d² e² f² / (a²+b²+c²+d²+e²+f²) = = 6(V/R)² [18V² +a 4 (b²+c²)+b 4 (a²+c²)+c 4 (a²+b²)] ist und berechne daraus die Σa 4 i (ak ²+a l ²) für i k l von 1 bis 3. 6.) Der Kathetenquadrat-Wehrle ist für den Raum w(a i ²)={Or/R}² und allgemein im n-dimensionalen

8 a² b² c² d² / (a²+b²+c²+d²+ +.) = { n! V/(2R) }² oder anders geschrieben (a b c d.. ) ² / (a²+b²+c²+d²+ +.) = [ ½(n-1)! Or/R) ]² O ist Oberfläche 4 (besser der Grenzhyperraum) V das Volumen eines rechtwinkligen Simplex mit den n Kantenlänge (Achsenschnitten) a, b, c, d,.. an der Höhenecke im n-dim. Raum und dem Umhyperkugelradius R = ½ Σa i ² b.) Für n=3 ist wegen 3V=Or = ½abc und w(a i ²)={Or/R}² mit 2O = ab+ac+bc+ [(a²b²+a²c²+b²c²)] ergibt sich a² b² c² / (a²+b²+c²) ={r[σa i a k + (Σa i ²a k ²)]}²/ 4R² (Zum Beweis setze r = a i /{[Σa i a k + (Σa i ²a k ²)] ein) Zeige, daß a i Σ a i = ½{[Σa i a k ]²-Σa i ²a k ²} und der Kathetenwehrle a i : Σ a i = 2r²{[Σa i a k + (Σa i ²a k ²)] : [Σa i a k - (Σa i ²a k ²)] ist! und berechne daraus eine Formel für den Inkugelradius r. Anleitung: r = [Σa i a k - (Σa i ²a k ²)]/[2Σa i ] 4 Diese ist nicht eine 2-dimensionale Ebene, sondern ein (n-1) dimensionales Gebilde, also eine sog. Hyperebene