Oberfläche von Körpern

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1 Definition Die Summe der Flächeninhalte der Flächen eines Körpers nennt man Oberflächeninhalt. Quader Der Oberflächeninhalt eines Quaders setzt sich folgendermaßen zusammen: O Q =2 h b+2 h l+2 l b=2 (h b+h l+l b) Würfel Oberflächeninhalt des Würfels: O W = 6 s s = 6 s 2 Prisma Ein gerades Prisma ist ein Körper mit zwei parallelen kongruenten n-ecken als Grundund Deckfläche. Diese Flächen sind mit n senkrechten Rechtecken als Seitenflächen verbunden. Die Rechtecke bilden zusammen die Mantelfläche. Der Abstand der Grund- und Deckfläche wird als Höhe des Prismas bezeichnet. Der Flächeninhalt der Grundfläche muss je nach Form der Grundfläche berechnet werden. Der Oberflächeninhalt setzt sich zusammen aus der Mantelfläche M und zwei mal Grundfläche: O Prisma =M Prisma +2 G Prisma =h U+2 G Prisma Seite 1 von 7

2 Zylinder Ein gerader Zylinder entsteht durch die Rotation eines Rechtecks um eine seiner Seiten. Er besteht aus zwei kongruenten und parallelen Kreisen als Grund- und Deckfläche. Die Mantelfläche bildet ein aufgerolltes Rechteck. Der Abstand zwischen Grund- und Deckfläche bezeichnet man als Höhe. Die Mantellinie ist jede Strecke auf der Mantelfläche zwischen Grund- und Deckfläche. Flächeninhalt eines Kreises: A Kreis =r 2 π Umfang eines Kreises. U Kreis =2 π r Damit setzt sich der Oberflächeninhalt aus Grundfläche, Deckfläche und der Mantelfläche zusammen: O Zylinder =M Zylinder +2 G Zylinder = =h U Grundfläche +2 r 2 π= =h 2 π r+2 r 2 π =2πr(h+r) Pyramide Die Grundfläche einer Pyramide bildet ein n-eck. Die Seitenflächen sind Dreiecke, die einen gemeinsamen Punkt haben: die Spitze der Pyramide. Die Seitenflächen bilden zusammen den Mantel der Pyramide. Bei einer geraden Pyramide sind die Seitenkanten gleich lang. Im Folgenden wird eine gerade Pyramide betrachtet: Die Höhe der Dreiecke des Mantels kann man mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen. 2-dimensionale Seitenansicht Seite 2 von 7

3 m ist die gesuchte Größe. Der Satz des Pythagoras lautet: Auf diesen Fall übertragen: h 2 +( 1 2 s)2 =m 2 (Um das Dreieck zu bilden benötigt man nur die halbe Seitenlänge, also 1 2 s) Es muss nur noch nach m aufgelöst werden. Den Flächeninhalt der Dreiecke berechnet man danach mit der Formel 1 2 g h. In diesem Fall: 1 2 s m s: Seitenlänge der Grundfläche m: Länge der Seitenkante Die Grundfläche der Pyramide ist ein n-eck (z.b. Rechteck, Quadrat, Dreieck) Oberfläche der Pyramide: O Pyramide =M Pyramide +G Pyramide =n A Dreieck +G Pramide n: Anzahl der Dreiecke (ist abhängig von der Grundfläche der Pyramide) Kegel Ein gerader Kegel entsteht durch die Rotation eines rechtwinkligen Dreiecks um eine seiner Katheten. Somit hat er als Grundfläche einen Kreis und eine gekrümmte Mantelfläche mit einer Spitze. Der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises bis zur Spitze ist die Höhe h des Kegels. Jede Strecke von der Kreislinie zur Spitze ist die Mantellinie m. Man berechnet sie wie bei dem Mantel der Pyramide (Höhe der Dreiecke der Mantelfläche) mit dem Satz des Pythagoras. m= r 2 +h 2 Aufgerollt ergibt die Mantelfläche einen Kreissektor. Man berechnet seinen Flächeninhalt mit der Formel M Kegel = π r m r: Radius der kreisförmigen Grundfläche m: Länge der Mantellinie Die Grundfläche berechnet man mit der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises: A Kreis =r 2 π Damit ergibt sich für die Oberfläche eines Kegels: O Kegel =M Kegel +G Kegel = π r m+r 2 π= π r (r+m) Seite 3 von 7

4 Aufgaben Oberflächen 1. Eine regelmäßige vierseitige Pyramide hat die Grundseitenlänge a = 4 cm und die Seitenkante s = 6 cm. 1.1 Berechne die Höhe h der Pyramide 1.2 Berechne die Oberfläche der Pyramide auf zwei ganze Zahlen gerundet. 2. Durch ein dreiseitiges Prisma wird senkrecht zur Grundfläche ein zylindrisches Loch gebohrt. Die Grundfläche des Prismas ist ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge a = 5 cm, das Prisma hat die Höhe h = 6 cm, der Zylinderdurchmesser ist d = 2 cm. Berechne die Oberfläche des Körpers auf zwei Dezimalstellen genau. 3. In einem Würfel mit der Seitenlänge s = 6 cm wird ein Kegel mit dem Radius r = 3 cm und der Höhe h = 4 cm herausgeschnitten. Berechne die Oberfläche des entstehenden Körpers. Seite 4 von 7

5 Lösungen Oberfläche 1.1 Höhe der Pyramide Die Höhe der Pyramide kann man mit dem Satz des Pythagoras berechnen: Dafür muss man zuerst die Höhe der Dreiecke des Mantels berechnen. Wir bezeichnen sie in diesem Fall mit f. Auch dafür kann der Satz des Pythagoras verwendet werden. Grundseitenlänge: a = 4 cm Seitenkante: s = 6 cm f 2 + ( 1 2 a) 2 =s 2 Nach f auflösen: f= s 2 - ( 1 2 a) 2 = (6 cm) 2 - ( 1 2 4cm) 2 = = 36cm 2-4cm 2 = 32cm 2 5,66cm Mit der Höhe der Dreiecke kann man die Höhe der Pyramide berechnen: h 2 + ( a) =f 2 Mantel-Dreieck h= f 2 - ( a) = 32 cm 2 - ( cm) = 32 cm 2-4cm 2 = = 28 cm 2 5,29 cm 1.2 Oberfläche der Pyramide Die Oberfläche der Pyramide setzt sich aus der quadratischen Grundfläche und den vier Dreiecken der Mantelfläche zusammen. Grundfläche: A G =a 2 =(4 cm) 2 =8 cm 2 Fläche eines Dreiecks: A D = 1 2 g h= 1 2 a f= = 1 4 cm 5,66 cm=11,32 cm2 2 Oberfläche der Pyramide: A Gesamt =A G +4 A D =8 cm ,32 cm 2 =53,28 cm 2 Seite 5 von 7

6 2 Prisma mit Loch Die Oberfläche des Prismas besteht aus: Der Mantelfläche des Zylinders Dem Mantel des Prismas der dreieckigen Grund- und Deckfläche mit Loch in der Mitte a=5cm h=6cm d=2cm Die Mantelfläche des Zylinders kann man ausrollen, wobei man ein Rechteck erhält. Dessen Länge entspricht der Höhe des Prismas und die Breite dem Umfang der Grundfläche. Man kann die Fläche folgendermaßen berechnen: A z =2 π r h=2 π ( 1 d) h= 2 =2 π ( 1 2 cm) 6cm= 2 =2 π 1 cm 6cm= =12π cm 2 37,70 cm 2 Die Mantelfläche des Prismas setzt sich aus drei Rechtecken zusammen: Die Länge des Rechtecks entspricht der Höhe des Prismas und die Breite einer Seite des Dreiecks (der Grundfläche). A M =h a=6 cm 5 cm=30 cm 2 Für die Grund- und Deckfläche muss zuerst die Fläche des Kreises berechnet werden: A K =r 2 π= ( d) π= ( cm) π=1 cm 2 π=1π cm 2 3,14 cm 2 Außerdem wird die Fläche der Dreiecke benötigt. Höhe b der Dreiecke (Berechnung mit dem Satz des Pythagoras): b 2 + ( 1 2 a) 2 =a 2 b= a 2 - ( 1 2 a) 2 = (5 cm) 2 - ( cm) 2 = 25 cm 2 -(2,5 cm) 2 = = 25 cm 2-6,25 cm 2 = 18,75 cm 2 4,33 cm Fläche der Dreiecke: A Dreieck = 1 2 g h= 1 2 a b= cm 18,75 cm=2,5 cm2 4,3 cm 10,83 cm 2 Seite 6 von 7

7 Für die Grund- und Deckfläche muss von der Fläche eines Dreiecks die Fläche des Kreises abgezogen werden: A Gf =A Dreieck -A K =10,83 cm 2-3,14 cm 2 =7,69 cm 2 Damit kann nun die gesamte Oberfläche berechnet werden: A Gesamt =2 A Gf +A z +3 A M =2 7,61 cm 2 +37,70 cm cm 2 = =15,22 cm 2 +37,70 cm cm 2 =142,92 cm 2 3 Würfel mit herausgeschnittenem Kegel Die Oberfläche setzt sich zusammen aus: 5 Seiten des Würfels 1 Seite des Würfels mit Loch (Seite minus die Grundfläche des Kegels) Mantel des Kegels s=6 cm r=3 cm h=4 cm Zuerst wird eine Seite des Würfels berechnet (Quadrat): A Q =s s=s 2 =(6 cm) 2 =36 cm 2 Grundfläche des Kegels (Kreis): A K =r 2 π=(3 cm) 2 π=9 cm 2 π=9π cm 2 28,27 cm 2 Unterseite des Würfels (Quadrat mit Loch): A U =A Q -A K =36 cm 2-28,27 cm 2 7,73 cm 2 Mantel des Kegels: Für den Mantel des Kegels muss zuerst die Länge der Mantellinie m mithilfe des Satzes von Pythagoras ausgerechnet werden. m 2 =r 2 +h 2 m= r 2 +h 2 = (3 cm) 2 +(4 cm) 2 = 9 cm cm 2 = 25 cm 2 =5 cm Damit kann die Fläche des Mantels ausgerechnet werden: A M =π r m= π 3 cm 5 cm=π 15 cm 2 =15π cm 2 47,12 cm 2 Nun kann man die komplette Oberfläche berechnen: A Gesamt =5 A Q +A U +A M =5 36 cm 2 +7,73 cm 2 +47,12 cm 2 =180 cm 2 +54,85 cm 2 234,85 cm 2 Seite 7 von 7