T2 Quantenmechanik Lösungen 7

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1 T2 Quantenmechanik Lösungen 7 LMU München, WS 7/8 7.. Lineare Algebra Prof. D. Lüst / Dr. A. Schmidt-May version: 28.. Gegeben sei ein komplexer Hilbert-Raum H der Dimension d. Sei { n } mit n,..., d eine Orthonormalbasis von H und sei { n } mit n,..., d die zugehörige duale Basis von H. Es gilt n m δ mn. a) Wie lauten die Matrixeinträge der Operatoren n m und d n n in der gewählten Basis? Lösung: Die Matrixdarstellung von n m in der gegebenen Basis hat Einträge, welche überall null sind, bis auf den Eintrag in der n-ten Zeile und m-ten Spalte, welcher beträgt. Die Matrixdarstellung von d n n ist einfach diag(,,..., ). Ein beliebiger Vektor ψ H kann in der gegebenen Basis geschrieben werden als ψ c n n (7.) b) Zeigen Sie, dass die Entwicklungskoeffizienten c n gegeben sind durch c n n ψ (7.2) Lösung: n ψ n c m m c m n m c m δ nm c n (7.S) c) Zeigen Sie, dass ψ ψ c nc n (7.3) Lösung: ( ) ( ) ψ ψ c n n c m m c nc m n m c nc m δ nm c nc n (7.S2) Es sei nun d 3. Gegeben sei ein selbstadjungierter Operator Â, dessen Matrixdarstellung in der gegebenen Basis die folgende Form besitzt, 0  0 (7.4) 0 d) Drücken Sie  durch die n und n mit n, 2, 3 aus. 7.

2 Lösung: Es ist  (7.S3) (7.S4) (7.S5) Also  (7.S6) e) Diagonalisieren Sie die Matrix  und bestimmen Sie ihre Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren. Liegt eine Entartung vor? Falls ja, orthogonalisieren Sie die Eigenvektoren im entarteten Unterraum. Lösung: Die charakteristische Gleichung ist Die Lösungen dieser Gleichung sind die Eigenwerte 0 det(â λ) λ3 + 3λ + 2 (7.S7) λ 2 λ 2 λ 3 (7.S8) Die Eigenwerte λ 2 und λ 3 sind entartet. Die zugehörigen Eigenvektoren bestimmen wir durch Lösung der Eigenwert-Gleichung. Wir beginnen mit λ. Dies gibt das lineare Gleichungssystem Âu λ u λ u λ u 2 λ u 3 u u 2 u 3 u 2 + u 3 2u u + u 3 2u 2 u + u 2 2u 3 (7.S9) (7.S0) (7.S) (7.S2) (7.S3) Dies hat die Lösung u u 2 u 3 und deshalb u α mit α R (7.S4) Für die Normierung fordern wir nun u und somit α / 3. Nun bestimmen wir die Vektoren des entarteten Unterraums mit λ Âv λv 0 0 v v 2 v v 2 0 v 3 v 3 (7.S5) (7.S6) Dies gibt das System v 2 + v 3 v v + v 3 v 2 v + v 2 v 3 (7.S7) (7.S8) (7.S9) 7.2

3 Dies sind drei Kopien derselben Gleichung. Sie spezifizieren die Komponenten deshalb nicht. Wir wählen zwei beliebige (normierte) Vektoren, welche v +v 2 +v 3 0 erfüllen, und orthogonal zueinander sind. Zum Beispiel, v v 2 (7.S20) Diese spannen den entarteten Unterraum auf. f) Wie lautet die Matrixdarstellung des Projektionsoperators P auf den entarteten Unterraum in der Basis n? Lösung: Es ist P an 2 a n, ξ a n, ξ (7.S2) ξ mit a n λ 2 λ 3. Hier entspricht a n, dem Eigenvektor v und a n, 2 dem Eigenvektor v 2. Man erhält also P an (7.S22) g) Finden Sie die Matrix (dargestellt in der Basis n ) welche die n in die Basis aus Eigenvektoren von  überführt. Hinweis: Es fällt Ihnen eventuell leichter das Problem erst allgemein zu lösen, siehe Aufgabe 7.2b). Lösung: Wir sehen unten, dass dieser Operator gegeben ist durch Û 3 a n n (7.S23) worin a n die Eigenvektoren von  sind. Einsetzen ergibt Û u v v 2 u 2 v 2 v 22 u 3 v 3 v (7.S24) 7.2. Unitäre Operatoren Wir betrachten einen Hilbert-Raum H der Dimension d. Ein Operator Û auf H heißt unitär, wenn ÛÛ Û Û (7.5) a) Zeigen Sie, dass das Produkt von zwei unitären Operatoren unitär ist. Ist die Summe von zwei unitären Operatoren ebenfalls unitär? Ist die Summe von zwei selbstadjungierten Operatoren selbstadjungiert? Begründen Sie Ihre Antworten. Lösung: Seien Û und Û2 unitär. Dann ist (ÛÛ2) Û 2 Û Û 2 Û (ÛÛ2) q.e.d. (7.S25) 7.3

4 Außerdem ist (Û + Û2) Û + Û 2 Û + Û 2 (7.S26) Dies ist im Allgemeinen nicht identisch mit (Û + Û2). Also ist die Summe im Allgemeinen nicht unitär. Seien Seien  und ˆB selbstadjungiert. Dann ist Die Summe zweier selbstadjungierter Operatoren ist selbstadjungiert. ( + ˆB)  + ˆB  + ˆB (7.S27) Gegeben seien zwei verschiedene Orthonormalbasen { n }, und { n 2 } mit n,..., d von H. b) Sei Û der Operator, welcher die beiden Orthonormalbasen ineinander überführt, n 2 Û n. Stellen Sie Û durch die n und die n 2 dar. Zeigen Sie, dass Û unitär ist. Lösung: Behauptung: Denn dann ist in der Tat Û n Der so konstruierte Operator Û erfüllt Û m m n ÛÛ (und analog für Û Û) und ist somit unitär. m m, m, δ mn n 2 n m n δ mn n 2 (7.S28) (7.S29) (7.S30) (7.S3) (7.S32) (7.S33) (7.S34) c) Zwei Operatoren haben die Matrixdarstellungen  und ˆB bzw. Â2 und ˆB 2 bezüglich dieser Basen. Es gelte [Â, ˆB ] 0. Zeigen Sie, dass dann auch [Â2, ˆB 2 ] 0. Lösung: Nach Teil a) existiert ein unitärer Operator Û welcher die Basen ineinander überführt, n 2 Û n. Dann ist  2 ÛÂÛ ˆB2 Û ˆB Û (7.S35) Und somit gilt wegen ÛÛ Û Û, dass [Â2, ˆB 2 ] Â2 ˆB 2 ˆB 2  2 (7.S36) ÛÂÛ Û ˆB Û Û ˆB Û ÛÂÛ (7.S37) Û ˆB Û Û ˆB Â Û (7.S38) Û[Â, ˆB ]Û (7.S39) 0 (7.S40) 7.4

5 q.e.d Baker-Campbell-Hausdorff-Formel a) Beweisen Sie die folgende Identität für Operatoren  und ˆB eâ ˆBe  n0 n! [n Â, ˆB] (7.6) Hierin ist [ 0 Â, ˆB] ˆB und [ n Â, ˆB] ist definiert durch die rekursive Relation [ n Â, ˆB] [Â, [n Â, ˆB]] [Â, [Â, [Â,... [Â, ˆB]]...] (7.7) Im letzten Ausdruck stehen n Klammern. Hinweis: Betrachten Sie die Taylorentwicklung von e λâ ˆBe λâ mit λ R. Lösung: Sei f(λ) e λâ ˆBe λâ. Dann ist f λ eλâ λ ˆBe λâ + e λâ ˆB e λâ Mehrmaliges Ableiten ergibt also λ Âeλ λâ ˆBe e λâ ˆBe λâââf(λ) f(λ)â [Â, f(λ)] (7.S4) n f ) (Âf(λ) λ n n f(λ) λ n  (Â[ n 2 λ n 2 Â, f(λ)] [Â, f(λ)]â ) (7.S42) (7.S43) n 2 [Â, [Â, f(λ)]] λn 2 (7.S44) n 3 f ]] [Â, [Â, λ n 3 (7.S45) λ... (7.S46) [ n Â, f(λ)] (7.S47) Die Taylorentwicklung von f(λ) um λ 0 ist gegeben durch Mit dem obigen Ergebnis ergibt das f(λ) f(0) + f (0)λ + 2 f (0)λ n0 λ n n! n f λ n λ0 (7.S48) f(λ) n0 Da f(0) ˆB und, folgt für λ sofort (7.6). q.e.d. λ n n! [n Â, f(0)] (7.S49) b) Es gelte [Â, [Â, ˆB]] [ ˆB, [Â, ˆB]] 0. (Fällt Ihnen ein Beispiel für zwei solcher Operatoren ein, welche außerdem [Â, ˆB] 0 erfüllen?) Zeigen Sie, dass dann eâ+ ˆB eâe ˆBe [Â, ˆB] 2 (7.8) Hinweis: Betrachten Sie e λ(â+ ˆB) mit λ R und benutzen Sie (7.6). 7.5

6 Lösung: Ein Beispiel sind ˆx i und ˆp i, denn [ˆx i, [ˆx i, ˆp i ]] [ˆx i, i ] 0 (7.S50) Betrachte f(λ) e λ(â+ ˆB). Dann gibt die BCH-Formel f(λ)âf( λ) n0 Wegen [Â, Â] 0 und aufgrund der Annahme ist dann n! [n λ(â + ˆB), Â] (7.S5) Dies gibt f(λ)âf( λ) Â + λ[â + ˆB, Â] Â λ[â, ˆB] (7.S52) f(λ)â Âf(λ) λ[â, ˆB]f(λ) (7.S53) Diese Gleichung benutzen wir nun in der Ableitung von f nach λ f λ f(λ)(â + ˆB) f(λ)â + f(λ) ˆB Âf(λ) + f(λ) ˆB λ[â, ˆB]f(λ) (7.S54) Die Lösung der Differentialgleichung f λ Âf(λ) + f(λ) ˆB λ[â, ˆB]f(λ) (7.S55) ist (aufgrund von [Â, [Â, ˆB]] [ ˆB, [Â, ˆB]] 0) f(λ) e λ2 λâeλ ˆBe 2 [Â, ˆB] (7.S56) Also folgt für λ die gesuchte Identität. q.e.d. 7.6