DIFFERENTIALRECHNUNG - ABLEITUNG

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1 DIFFERENTIALRECHNUNG - ABLEITUNG Hintergründe Differenzenquotient und Differentialquotient Beim Ableiten versucht man die Steigung einer Kurve zu berechnen. Da aber eine solche Kurve (wie auch im Bild unten) manchmal steiler und manchmal flacher ist (genauer gesagt hat die Kurve an jeder Punkt eine andere Steigung), hat man sich bereits früh erste Gedanken gemacht, wie man diese nun berechnen könnte.. Differenzenquotient = mittlere Änderungsrate Der erste Ansatz war der Weg über den Differenzenquotienten. Man hat einfach 2 Punkte (rot markiert) auf der Kurve verwendet, zwischen beiden eine gerade Linie (in der Skizze gelb gezeichnet, man nennt diese Linie zwischen 2 Punkten auch Sekante) gezogen und deren Steigung k berechnet. Die Formel zur Berechnung der Steigung einer Geraden lautet k = y, x also die beiden y-werte und die beiden x-werte subtrahiert. (Beispiel: Punkt (4/4), Punkt 2 (6/8) => k = y = 8 4 = 4 = 2). Der Wert k, den man aus der Formel ausrechnen kann, gibt also x die Steigung zwischen den beiden roten Punkten an. Allerdings besitzt die Kurve zwischen den beiden roten Punkten in Wahrheit wieder verschiedene Steigungen. Sie verläuft in diesem Fall zuerst steiler, gegen Ende hin flacher. Die berechnete Steigung k, gibt also nicht die tatsächliche Steigung der Kurve an einem bestimmten Punkt an, sondern die durchschnittliche (=mittlere) Steigung zwischen den beiden roten Punkten. Man spricht hier von einer "mittleren Änderungsrate". y y2 y k = Steigung der Sekante = durchschnittliche Steigung zwischen beiden Punkten k = y x = y2 y x2 x x Nun konnte man bereits die Steigung zwischen 2 Punkten berechnen. Unser Ziel ist es aber, die Steigung an genau einem Punkt zu berechnen.

2 2. Differentialquotient = momentane Änderungsrate Die Idee dafür war folgende: Wenn man die Steigung von 2 Punkten ausrechnen kann, so setzt man am einfachsten beide Punkte direkt nebeneinander, sodass beide Punkte einen so geringen Abstand voneinander haben, dass sie zu einem Punkt verschmelzen. Im folgenden Bild hat man genau das gemacht. Während man zuerst die Steigung (Sekante) zwischen 2 Punkten (beiden roten) berechnet hat, möchte man nun nur noch die Steigung an einem Punkt, in diesem Fall (zufällig gewählt) vom linken roten Punkt. Man verschiebt nun den rechten roten Punkt soweit nach links, dass dieser zwar immer noch rechts vom linken roten Punkt ist, aber mit einem so geringen Abstand wie möglich, sodass die beiden Punkte eigentlich nur noch ein Punkt sind. Der Abstand der beiden Punkte in x Richtung (also x) ist nun so gering, dass man sagt, er geht gegen 0. Es ist also das Ziel, die beiden Punkte so weit zu einander zu schieben, dass der x-abstand der beiden gegen 0 geht. Nun hat man die Steigung an einem Punkt (eigentlich von 2, aber die sind ja soweit beieinander dass sie zu einem Punkt verschmelzen). Hat man die Steigung an einem Punkt, so wird nicht mehr von der Sekante, sondern von einer Tangente gesprochen. Da nun die Steigung an jedem einzelnen Punkt auf der Kurve berechnet werden kann, spricht man nicht mehr wie oben bei 2 Punkten von einer durchschnittlichen oder mittleren Änderungsrate, sondern von einer momentanen Änderungsrate. Da nun auch bei der Formel nicht mehr 2 Differenzen (y2-y und x2-x) dividiert werden, sondern noch der Zusatz dabei ist, dass x gegen 0 verläuft, spricht man bei dieser Rechenoperation nicht mehr von einem Differenzenquotienten sondern von einem Differentialquotienten, oder auch Ableitung genannt. Die Steigung der Tangente entspricht also dem Differentialquotienten. Sekante k (oder auch y genannt) = Steigung der Tangente = momentane Steigung an einem Punkt k = y = lim ( y x 0 x ) = lim (y2 y x 0 x2 x ) 3. Vom Differentialquotienten zu den Ableitungsregeln Mit dieser oben genannten lim-formel kann man nun die Steigung an jedem Punkt der Kurve ausrechnen. Beispiel: y = 2*x³ => jetzt möchte man die Steigung dieser Kurve an der Stelle x=2 berechnen. So setzt man einfach in die Formel lim ( y2 y x 0 x2 x ) ein.

3 y = 2 x³ => Steigung (k oder y genannt) = 2(x2) 3 2(x) 3 = lim x2 x x2 x = lim x2 x f(x2) f(x) lim x2 x x2 x = 2(x2 x)(x2 2 + x x2 + x 2 ) (x2 x) = lim x2 x 2(x22 + x x2 + x 2 ) = 2(x 2 + x 2 + x 2 ) = 6x 2 Die Steigung an der Stelle x=2 beträgt nun 6*2²=24 Da diese Formel mit dem Limes (lim) etwas verwirrend und nicht so einfach nachvollziehbar ist, hat man eine einfachere Variante gefunden um von y = 2*x³ direkt auf die Steigung 6x² zu kommen. 4. Unterschied Differenzenquotient Differentialquotient Differenzenquotient Steigung zwischen 2 Punkten Steigungslinie heißt Sekante Mittlere Änderungsrate k = y x = y2 y x2 x Differentialquotient Steigung an Punkt Steigungslinie heißt Tangente Momentane Änderungsrate k = y = lim ( y x 0 x ) = lim (y2 y x 0 x2 x ) = Ableitungsregeln. Allgemeine Ableitungsregeln Die allgemeine Ableitungsregel ist folgende: Man nimmt die Hochzahl, schreibt sie mit einem * vor das x herunter und verringert sie anschließend um. (Beispiel: y = x 5 => k oder y = 5*x 4 ) Es gilt bei der allgemeinen Ableitungsregel noch weiteres zu beachten Jeder Ausdruck (alles was mit + oder getrennt ist, ist ein neuer Ausdruck) wird einzeln abgeleitet. Konstante Faktoren (also alle Zahlen, die mit * oder / verbunden sind) werden einfach abgeschrieben. Konstante Summanden (also alle Zahlen, die mit + oder verbunden sind) fallen einfach weg. Aus x wird. Beispiel: y = 4*x³ + 3*x² + x +5 => y = 4*3*x² + 3*2*x + = 2x² + 6x + = Ausdrücke, 4 und 3 = konstante Faktoren, 5 = konstanter Summand

4 Weitere Beispiele:.) x², 2.) 4 x³, 3.) x4, 4.) 3x², 5.) 4x³, 6.) 25x 4, 7.) x²-5x+, 8.) x²-7x-9, 9.) 5x²+2x, 0.) 0x³-7x²-4x (Lösungen: 2x,3* 4 x2 = 3 4 x², 4x 3, 6x, 2x 2, 00x 3, 2x 5, 2x-7, 0x+2, 30x 2-4x-4) Natürlich gibt es viele schwierigere Beispiele als die oben genannten, zum Beispiel, wenn das x unter einem Bruch steht, bzw. wenn eine Wurzel vorkommt. Für die beiden genannten gibt es einen Trick, wie man diese Ausdrücke vereinfachen kann, um sie dann leichter abzuleiten. Statt kann man auch ( ) ( 2 ) schreiben. (Beispiel: 2x + 3 = (2x + 3) ( 2 ) Bei x unterhalb des Bruchstrichs kann man diese auch nach oben schreiben, dann wird dafür das Vorzeichen der Hochzahl geändert. (Beispiel: y = x² = *x-2 => y = *(-2)*x Spezielle Ableitungsregeln Neben Wurzeln und x unterhalb des Bruchstrichs können auch noch weitere schwierige Ausdrücke vorkommen. Diese speziellen Funktionen sind aber einfach auswendig zu lernen. Das Gute daran ist aber, dass diese Formeln in Formelheften zusammengefasst sind und dass manche Lehrpersonen diese Formelhefte bei Prüfungen auch zulassen. Die wichtigsten speziellen Ableitungen sind folgende: Aus Sinus wird Cosinus Aus Cosinus wird Sinus Aus Tangens wird Cosinus² y = sin(x) => y = cos(x) y = cos(x) => y = -sin(x) y = tan(x) => y = Ausdrücke mit der Euler schen Zahl (e) bleiben gleich y = e x => y = e x cos² Der Natürliche Logarithmus (ln) wird zu x Der allgemeine Logarithmus (log) wird zu x ln y = ln(x) => y = x y = loga(x) => y = x ln (a) Es gibt noch einige weitere spezielle Ableitungsregeln, jedoch sollten die oben genannten für den schulischen Gebrauch reichen. 3. Produktregel Die Produktregel kommt immer dann zum Einsatz, wenn eine Malrechnung mit x auf beiden Seiten besteht, also zum Beispiel bei x*sin(x). Sie lautet folgendermaßen:. Teil abgeleitet * 2. Teil abgeschrieben +. Teil abgeschrieben * 2. Teil abgeleitet Beispiel: y = x*sin(x) => y = * sin(x) + x * cos(x). Teil = x =>. Teil abgeleitet = 2. Teil = sin(x) => 2. Teil abgeleitet = cos(x) Weitere Beispiele:.) y = (x²-4)(x³+), 2.) y = x² * x, 3.) y = x² * cos(x) Lösungen:.).Teil = x²-4 =>.Teil abgeleitet = 2x, 2.Teil = x³+ => 2.Teil abgeleitet = 3x² => y = 2x*(x³+) + (x²- 4)*3x²=2x 4 +2x+3x 4-2x² = 5x 4 +2x-2x², 2.) y = 2x*(x /2 )+x²*( 2 x-/2 ), 3.) x²*(- sin(x)) + cos(x)*2x

5 4. Quotientenregel Gleich wie bei der Produktregel, die nur bei Malrechnungen zum Einsatz kommt, gibt es auch eine Regel für Divisionen, die Quotientenregel. Auch diese ist nur notwendig, wenn sowohl im Zähler, als auch im Nenner ein x steht. Die Regel ist ähnlich, nur, dass statt dem + ein - steht und unterhalb vom Bruchstrich etwas neues dazukommt. Die Regel lautet:. Teil (oben) abgeleitet * 2. Teil abgeschrieben -. Teil abgeschrieben * 2. Teil abgeleitet 2. Teil zum Quadrat x sin(x) x cos(x) Beispiel: y = => y = sin (x) [sin(x)]². Teil = x =>. Teil abgeleitet = 2. Teil = sin(x) => 2. Teil abgeleitet = cos(x) Weitere Beispiele:.) y = x² 2x+4 sin (x) 5x³+2, 2.) y =, 3.) y = Lösungen:.).Teil = x² =>.Teil cos (x) x 5 abgeleitet = 2x, 2.Teil = 2x+4 =>2.Teil abgeleitet = 2 => y = 2x²+8x (2x+4)² 2x (2x+4) x² 2 (2x+4)² cos(x) cos(x) sin(x) [ sin(x)], 2.), 3.) 5x² (x 5) (5x3 +2) [cos (x)]² (x 5)² = 4x²+8x 2x² (2x+4)² Hinweise zu den oberen Rechnungen: Die Lösung 2 und 3 könnte man noch weiter zusammenfassen, vereinfachen und kürzen, zum einfacheren Nachvollziehen habe ich diese nicht gekürzte Lösung hingeschrieben. Außerdem stimmt diese genauso wie die gekürzte. Es ist immer sinnvoll, die einzelnen Teile (. und 2., jeweils abgeleitet und abgeschrieben) mit Klammern in die Ableitung zu schreiben, vor allem dann, wenn ein Teil aus 2 Ausdrücken (z.b. x-5) besteht. Es könnte auch sein, dass eine Kombination aus Produktregel und Quotientenregel besteht, dann hat die Quotientenregel immer Vorrang. Beispiel: cos(x) (3x 2x2 ) 5x 2 Lösung: Hier kommt sowohl die Quotientenregel, als auch die Produktregel zum Einsatz, vorrangig die Quotientenregel, daher:. Teil (oben) = cos(x) * (3x-2x²) =>. Teil abgeleitet = (hier kommt dann die Produktregel zum Einsatz, die in einer Nebenrechnung zuerst gemacht werden muss) = -sin(x)*(3x-2x²)+cos(x)*(3-4x) 2. Teil (unten) = 5x-2 => 2. Teil abgeleitet = 5 Jetzt können die Bausteine nach der Quotientenregel zusammengesetzt werden. Nebenrechnung für Produktregel cos(x) * (3x-2x²) => -sin(x)*(3x-2x²) + cos(x)*(3-4x) = [ sin(x) (3x 2x 2 )+cos(x) (3 4x)] (5x 2) [cos(x) (3x 2x²)] 5 (5x 2)². Teil abgeschrieben,. Teil abgeleitet, 2. Teil abgeschrieben, 2. Teil abgeleitet 2. Teil zum Quadrat

6 5. Kettenregel Neben der Produktregel und der Quotientenregel gibt es noch eine Rechenregel, nämlich die Kettenregel. Diese Regel kommt immer bei verschachtelten Funktionen (2 Rechenoperationen in einer Rechnung) zum Einsatz. Das klingt erst mal etwas kompliziert, jedoch braucht man sich nur die folgenden Operationen merken (der Taschenrechner macht bei allen automatisch Eine Klammer auf): log( ) ln( ) e ( ) sin( ) cos( ) tan( ) ( ) ( ) mit jeder Hochzahl, außer Bei all diesen Rechenoperationen kommt die Kettenregel zum Einsatz, und zwar dann, wenn in der Klammer eine Rechnung steht. (Eine Rechnung ist z.b. auch schon 2x, x³ oder -x also alles außer ein x alleine.) Die Regel lautet: Äußere Ableitung (also die ganz normale) * Innere Ableitung (die Ableitung der Rechnung) Beispiel: sin(4x+3) => der Sinus ist abgeleitet der Cosinus, also cos(4x+3), die Ableitung der Rechnung 4x-3 ist 4, daher: y = cos(4x+3) * 4 Weitere Beispiele:.) y = (2x 4) 5, 2.) y = 8(5 x) 2 3, 3.) y = cos(0,5x ), 4.) y = 6x = (6x + 4) /3, 5.) y = 6(2x 5)³ = 5 6 (2x-5)-3 Lösungen:.) y = 5(2x 4) 4 * 2 = 0(2x 4) 4, 2.) y = 8 ( 2)(5 x) 3 * ( ) = 6(5 x) 3, 3.) y = ( sin(0,5x )) * 0,5 = 0,5sin(0,5x ), 4.) y = (/3) (6x + 4) /3 * 6 = 2(6x + 4) 2/3, 5.) y = (-3)* 5 6 *(2x-5)-4 * 2 = -5*(2x-5) Wiederholung wann kommt welche Regel? Bei mehreren Ausdrücken Jeder Ausdruck wird einzeln abgeleitet Bei einer Multiplikation mit x auf beiden Seiten Produktregel Bei einer Division mit x auf beiden Seiten Quotientenregel Bei verschachtelten Funktionen Kettenregel Bei Wurzeln Zuerst herrichten auf ( ) /2, dann ableiten Bei speziellen Funktionen wie sin, log, usw. Regeln auswendig lernen oder im Formelheft nachschauen Weitere Hinweise: Es kann vorkommen, dass 3 Ausdrücke multipliziert werden, dann nimmt man selbstverständlich auch die Produktregel und leitet immer einen der drei Teile ab, die anderen beiden schreibt man (unabgeleitet) mit * dazu. Es kann auch vorkommen, dass die Quotienten-, die Produkt- und Kettenregel in einer Rechnung vorkommen, dann ist die Priorität in dieser Reihenfolge.