2015, MNZ. Jürgen Schmidt. Vorkurs. Mathematik. Ableiten. Tag WS 2015/16

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1 Vorkurs 4. Mathematik Ableiten WS 2015/16 Tag

2 Einführendes Beispiel Vernachlässigen wir den Luftwiderstand, so können wir in hinreichender Näherung für den freien Fall eines Körpers s(t) = 5t 2 als Weg-Zeit-Abhängigkeit notieren. Als mittlere Wegänderung bestimmen wir dann für verschiedene Zeitintervalle die Werte nach der Formel s = s(t i+1 ) s(t i ). Die Durchschnittsgeschwindigkeit v (t i, t i+1 ) des Körpers zwischen den beiden Zeitpunkten t i und t i+1 bestimmen wir als Anstieg der Sekante s/ t. Im Grenzfall für verschwindende Zeitintervalle ( t 0) geht diese in die Momentangeschwindigkeit über. MIN Zeitintervall [s] Wegdifferenz [m] Durchschnittsgeschwindigkeit [m/s] 2

3 Tangentenproblem Bestimmen der Steigung der Kurventangente zur Zeit t s(t) s Q 2 P Grenzwert wird als Ableitung der Funktion s = f (t) an der Stelle t 0 bezeichnet Q 1 Q 0 0,5 1 1,5 2 t 0 ε t Sekante α Tangente t Steigung m S der Sekante PQ Steigung m T der Tangente 3

4 Grenzwert einer Funktion Seien a und b mit a, b gegeben. Man sagt, der Wert f (x) der Funktion f strebe für x a gegen den (endlichen oder unendlichen) Grenzwert b, wenn für jede Folge {x n } D( f ), x n a für alle n, die folgende Implikation erfüllt ist: a liegt nicht zwingend im Definitionsbereich D( f ), muß aber ein Häufungspunkt von D sein, d. h., in jeder Umgebung von a liegen unendlich viele Elemente von D. Der Begriff des Grenzwertes einer Funktion wird auf den Grenzwert für Folgen zurückgeführt. Definition 4 1 Theorie ist relativ kompliziert; wird daher im Vorkurs nicht weiter ausgeführt. 4

5 Die Ableitung einer Funktion Die Ableitung einer Funktion y = f (x) ist eine neue Funktion von x, die für jeden Wert von x gleich dem Grenzwert des Quotienten aus dem Zuwachs der Funktion y und dem entsprechenden Zuwachs x für x 0 ist: Eine Funktion heißt differenzierbar, wenn sie an allen Punkten ihres Definitionsbereiches eine Ableitung besitzt. Die folgenden Schreibweise sind gebräuchlich: oder (nach LEIBNIZ) y oder f (x 0 ) (nach LAGRANGE) D y oder D f (x 0 ) (nach CAUCHY) Definition 4 2 5

6 Grenzwert des Differenzenquotienten Ableitung elementarer Funktionen werden direkt als Grenzwert des Differenzenquotienten bestimmt. Beispiel: Ableitung der Funktion f (x) = x n 6

7 Elementare Ableitungsregeln Für das Bilden der Ableitung von Summen, Produkten und Quotienten von Funktionen, deren Ableitungen existieren, gibt es die folgenden elementaren Regeln: Die Funktionen f und g seien an der Stelle x 0 differenzierbar und a, b R. Dann sind auch die Funktionen a f + b g, f g und f / g an der Stelle x 0 differenzierbar, und es gilt: Die Produktregel kann auf beliebig viele Faktoren erweitert werden. Wiederholte Anwendung von (4 1b) auf das Produkt der Funktionen f, g, h liefert z. B. die Ableitung: ( f g h) = [( f g) h] = ( f g) h + ( f g) h = f g h + f g h + f g h Summenregel (4 1a) Produktregel (4 1b) Quotientenregel (4 1c) 7

8 Kettenregel Auch für Funktionen, die als Komposition verkettbarer differenzierbarer Funktionen F, f darstellbar sind, d. h., es gilt H = F f, gibt es unter bestimmten Bedingungen eine wirkungsvolle Ableitungsregel. Die Ableitung einer mittelbaren Funktion y = F(x) = f (g(x)) erhält man als Produkt aus äußerer und innerer Ableitung: F (x 0 ) = f (z 0 ) g (x 0 ) mit z 0 = g(x 0 ). Mit Hilfe dieser Ableitungsregeln sind die Ableitungen der wichtigsten differenzierbaren Funktionen auf elementare Fälle der Berechnung von Ableitungen rückführbar. Ableitungen von Funktionen, die durch mehrfaches Verketten entstehen, erhält man durch sukzessive Anwendung der Regel. Theorem 4 1 8

9 Höhere Ableitungen Sei f eine Funktion, die in einer Umgebung eines Punkt x 0 ihres Definitionsbereiches differenzierbar ist, d. h. für alle x in einem offenen Intervall existiere die Ableitung f (x) als Funktion über ]x 0 ε, x 0 + ε[. Allgemein definiert man für eine beliebige natürliche Zahl n > 1 die Ableitung n-ter Ordnung von f an einer Stelle x 0 rekursiv durch die Vorschrift f (n) (x 0 ) = [ f (n 1) (x 0 )]. (4 2) Man spricht auch vom Differentialquotient n-ter Ordnung und schreibt 9

10 Fundus wichtiger Ableitungen Zielstellung: Kann am Ende des Semesters jeder Student im Schlaf aufsagen Potenzfunktionen Winkelfunktionen Exponentialfunktionen Arkusfunktionen 10

11 Geometrische Deutung der Ableitungen Geometrische Deutung der 1. Ableitung y g(x) f (x) (1) gibt die Steigung der Tangente an der Stelle x 0 an (2) ermöglicht Aussagen zum Monotonie-Verhalten f (x 0 ) > 0: Funktion wächst streng monoton f (x 0 ) < 0: Funktion fällt streng monoton Geometrische Deutung der 2. Ableitung (1) beschreibt Monotonie-Verhalten der 1. Ableitung (2) bestimmt das Krümmungsverhalten der Funktion f (x 0 ) > 0: Funktion mit konvex gekrümmter Kurve (Linkskrümmung) f (x 0 ) < 0: Funktion mit konkav gekrümmter Kurve (Rechtskrümmung) x 0 y 0 y 0 g (x 0 ) < 0 f (x 0 ) > 0 y f (x) < 0 W P 0 x 0 f (x) > 0 x x 11

12 Kurvendiskussion Untersuchung und Feststellung der Eigenschaften und des Verlaufs einer Funktion f (x) mit den Hilfsmitteln der Differentialrechnung zu untersuchende Merkmale: Definitions- und Wertebereich, Pole, Symmetrie, Nullstellen, Ableitungen (Extremwerte, Wendepunkte), Verhalten im Unendlichen (Asymptoten), Graph Beispiel: Kurvendiskussion y = (x+1)(x 2)/(x 3) 2 f ist für alle x 3 stetig, Asymptoten: x = 3, y = 1 Unendlichkeitsstelle: x 0 = 3, da lim x 3 f (x) = f ist auf (, 1.4] und (3, + ) streng monoton fallend, auf [1.4, 3) streng monoton wachsend Minimum: f (1.4) = 0.56, Wendepunkt: (0.6, 7/18) Nullstellen: x 1 = 1, x 2 =

13 Verhalten differenzierbarer Funktionen An den Werten der Ableitungen können wir das lokale Verhalten differenzierbarer Funktionen ablesen. Extremwerte Monotonie Krümmung Minimum f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) > 0 + f ' 0 Maximum f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) < 0 + monoton fallend f (x 0 ) 0 auf (a, b) a monoton steigend f (x 0 ) 0 auf (a, b) a f(x) f(x) b f ' 0 b konvex (linksgekrümmt) f (x 0 ) 0 auf (a, b) a konkav (rechtsgekrümmt) f (x 0 ) 0 auf (a, b) a f''(x) 0 b f''(x) 0 b 13