Lösungsskizzen Mathematik für Informatiker 5. Aufl. Kapitel 15 Peter Hartmann

Transkript

1 Verständnisfragen 1. Ist f : D und 0 D, so ist der Differenzenquotient eine Abbildung von D\ 0. Warum muss hier 0 aus dem Definitionsbereich herausgenommen werden? Weil sonst der Nenner 0 werden kann.. Sei f :[ a, b] eine stetige Abbildung. Ist dann f ist im offenen Intervall ]a, b[ differenzierbar? Nein, siehe das Beispiel im Bild Sei f :[ a, b] stetig und differenzierbar und für ein 0 [a, b] sei f( 0 ) 0. Hat dann f an der Stelle 0 einen lokalen Etremwert? Nein, es kann auch ein Terassenpunkt vorliegen. 4. Welche Punkte im Definitionsbereich einer stetigen Funktion sind potentielle Kandidaten für Etremwerte? Nullstellen der Ableitung, Randpunkte und Punkte in denen die Funktion nicht differenzierbar ist. 5. Welche Voraussetzung muss eine Funktion f erfüllen, wenn man eine Talorreihe dazu aufstellen will? Sie muss unendlich oft differenzierbar sein. 6. Sei Rn ( 0 ) das Restglied bei der Entwicklung einer Funktion f in eine Talorreihe Welcher der beiden folgenden Grenzwerte konvergiert jedenfalls gegen 0? Der zweite, siehe Satz lim R ( ) oder lim R ( ) n n 0 0 n 0 Übungsaufgaben 1. Berechnen Sie die Ableitungen von 1, cot, cos n ( / n) (1) (1) 1 1. a): b): cot 1 sin mit Hilfe der Quotientenregel. cos ncos ( sin ) ncos sin. Dann n n1 n1 c): Zunächst: 1

2 1 n n n n. n n 1 1 cos n cos n n sin cos n sin. Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen jeweils zweimal: a) ( +5 1) nach Produktregel und Kettenregel, b) 10/( + 5) nach Quotientenregel und Kettenregel. nach der Kettenregel, ( 5 1) ( 5 1)( 10 ) nach der Produktregel. ( 5 1) ( 5 1)( 10 ) ( 10 )( 5 1) ( 5) ( ).. An welchen Stellen ist die Funktion sin differenzierbar? Begründen Sie warum die Funktion nicht überall differenzierbar ist. In den Nullstellen = k (k 0) ist die Funktion nicht differenzierbar: die Ableitung ist links und rechts der Nullstelle verschieden. Da wo sin > 0 ist, ist die Ableitung sin + cos, da wo sin < 0 ist, ist die Ableitung sin cos. Der Grenzwert des Differenzenquotienten gegen k ist dafür jeweils +k bzw. k, also gibt es dort keinen limes des Differenzenquotienten. Im Punkt = 0 lautet der Differenzenquotient h sin( h) sin( h). Der Grenzwert für h h gegen 0 eistiert, er ist 0. Dort ist die Funktion also differenzierbar, genau wie in allen anderen Punkten des Definitionsbereichs. 4. Ist die Funktion sin im Punkt 0 differenzierbar? Da hsin h 0 lim lim sin h 0 eisitiert, ist die Funktion differenzierbar. h0 h h0 5. Sei f : ] 1,+1[ +, (1 + )/(1 ). a) Zeigen Sie, dass f bijektiv ist. b) Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung der Funktion f.

3 1 1 a) Injektivität: (1 )(1 ) (1 )(1 ) 1 1 ausmultiplizieren, 1 1 Surjektivität: Sei, wirklich immer 1. 1 Auflösen nach ergibt: 1. Für > 0 ist 1 b) Die erste Ableitung lautet: (1 )., die. Ableitung lautet: Zeigen Sie dass die Funktion f : \{0}, ln im gesamten Definitionsbereich differenzierbar ist und berechnen Sie die Ableitung. (Verwenden Sie dazu, dass für > 0 ln()' = 1/ ist). Nur noch für < 0 ist die Ableitung zu berechnen: Dann gilt nach der Kettenregel: 1 1 ln ln( ) ( 1). 7. Berechnen Sie die Ableitung von log a () mit Hilfe der Aussage, dass log a () die Umkehrfunktion von a ist. ln (ln ) (ln ).Also: log. aa aa a ln a a a e a a e a a a loga (ln ) (ln ) (ln ) 8. Bestätigen Sie das Ergebnis aus Aufgabe 7 mit Hilfe der Aussage log a () = ln()/ln(a) log a ( ) ln. ln a ln a 9. Führen Sie mit den beiden folgenden Funktionen eine Kurvendiskussion durch und skizzieren Sie die Funktionen: a) + 4. Bestimmen Sie Nullstellen, Etremwerte, Wendepunkte und Krümmungsverhalten. b) e Bestimmen Sie den Definitionsbereich, die Nullstellen, die Etremwerte und die Wendepunkte.

4 a) 4,65 f( ) ( 4 ). Nullstellen: 1 0, / 4. 0,65 ( ) 8. Nullstellen: 4/5 f 4 f( ) 6 8. Nullstelle 6 ist Wendepunkt, f( ) 0(Min), f( ) 0(Ma) / (Minimum) 1. 9 (Maimum) b) Definitionsbereich ist. Die einzige Nullstelle ist = 0. hat die Nullstel- Die 1. Ableitung: len 0 und 1 ep( ) ep( ) ( ) ep( ) Die. Ableitung lautet: ep( ) 8ep( ) 4 ep( ) (1 4 )ep( ) f(0), f (1) e 0, also ist bei 0 ein Minimum und bei 1 ein Mai- Es ist mum. Nullstellen der. Ableitung sind 1 1/, dort sind also Wendepunkte 10. Skizzieren Sie den Graphen einer nicht stetigen Funktion, für die der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung nicht gilt. Für die folgende Funktion gilt der Mittelwertsatz nicht (der mittlere Anstieg ist 0, es gibt aber keine waagrechte Tangente) für Es sei f : [0,4[,. 4 für1 4 Untersuchen Sie in welchen Punkten die Funktion stetig und differenzierbar ist und berechnen Sie alle Maima und Minima der Funktion. 4

5 Für 0 < 4 kann höchstens im Punkt = 1 Unstetigkeit oder Nicht-Differenzierbarkeit vorliegen. Da für 1 immer gilt f( ) 1 f(1) (sowohl links als auch rechts von 1), liegt im Punkt 1 Stetigkeit vor. In 1 ist f jedoch nicht differenzierbar: Der Differenzenquotient lautet: (1 h) 1 f(1 h) f(1) h h h h h (1 ) 4 1 h 0 h 0 Für h 0 wird der obere Term zu 1 (Ableitung von + ), der untere Term zu (Ableitung von +4 ), also eistiert der Grenzwert an der Stelle 1 nicht. Für 0 < < 1 liegt kein Etremwert vor, für 1 < < 4 ist = (Nullstelle der Ableitung) ein Maimum. Rechts von 1 ist die Funktion streng monoton wachsend, links davon streng monoton fallend, also ist 1 ein Minimum, am Randpunkt 0 liegt schließlich auch ein Maimum vor. 1. Berechnen Sie von den folgenden Potenzreihen die Konvergenzradien: a) n b) n n0 n n c) n0 n 1 n n 0 (n 1)! a) a k 1 ak Konvergenzradius. k ak 1 b) k ak k (k ) k k ak. Klammern Sie im Zähler und k 1 ak 1 ( k 1) (k 1) k O( k ) Nenner k aus, dann erhalten Sie, dass der Grenzwert (=Konvergenzradius) für k gleich 1 ist. c) 1 ak (k )! ak (k)(k ), der Grenzwert ist unendlich. (k1)! a (k1)! k 1 1. Bestimmen Sie für die Funktion das Talorpolnom. Ordnung im Punkt = 1. Berechnen Sie damit für h = 0, 0.5, 1 einen Näherungswert für h. Bestimmen Sie den dabei entstehenden Fehler im Vergleich zum Wert aus dem Taschenrechner. 5

6 f( ), f(1), f( ), f (1), f ( ) f(1) (4) 1 1 f ( z) 1h 1 h h h h, mit 1 z 1 h. 4 86! Näherung Das Talorpolnom lautet: 1 h h h h = 0.5: Näherung = 1,656, Fehler = 0,001818, h = 1: Näherung = 1,475, Fehler 0,0, h = 0: Wert ist eakt. 14. Schreiben Sie ein Programm zur Ermittlung von Nullstellen mit dem Bisektionsverfahren. Bilden Sie die Ableitung der Funktion f : (1/)sin() ( 0) und bestimmen Sie einige Nullstellen der Ableitung numerisch. Skizzieren Sie dann den Graphen der Funktion f. Das Programm finden Sie im Anhang. Die Nullstellen von f sind die Werte k, k 0, die Nullstellen von f ' liegen jeweils dazwischen. Die Werte k, (k+1) können also als Startwerte verwendet werden. Die Funktion schaut etwa so aus (erstaunlicherweise ist sie auf 0 fortsetzbar und dort sogar noch differenzierbar): 15. Bestimmen Sie sämtliche partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktionen a) z z b) e,,, z 0. ln a): f f f 1 5, 9 5, f 6 8,

7 b): f z z 1 f z z f z 1 e, ze, e ln (ln ) z z ln 16. Bestimmen Sie sämtliche stationären Punkte der folgenden Funktion: 1. f f I: 6 0, II: I+II: /. Eingesetzt in I: Für 1 = : 19 0, bzw. für : Die Lösungen für 1 sind 1 1, und für : 1, 4. Die Wertepaare (1,), (,), ( 1, ), (, ) sind also Lösungen für I, durch Einsetzen findet man, dass sie auch Gleichung II lösen. Dies sind damit die vier stationären Punkte Eine quaderförmige Kiste (Länge, Breite, Höhe z), die oben offen ist, soll einen Inhalt von Liter haben. Bestimmen Sie, und z so, dass der Materialverbrauch für die Kiste minimal ist. Sei = Länge, = Breite, z = Höhe. Es ist z =, Daraus z = /. Die Oberfläche ist: z z. z eingesetzt erhalten wir:. Diese f 64 f 64 Funktion muss minimiert werden. Es muss 0, 0 sein, also, eingesetzt: , daraus = 4 und z = Die Hesse-Matri lautet, es liegt also ein Minimum vor

8 Programm zum Bisektionsverfahren (Aufgabe 14) #include <iostream> #include <cmath> using namespace std; const int SCHRITTE = 10; double f(double ){ // f ist die Funktion die return -1/(*)*sin()+1/*cos(); // untersucht werden soll } void main(void) { double a,b,c; int sig; cout << "Bisektionsverfahren." << endl; cout << "Intervallgrenzen eingeben: "; cin >> a >> b; if(f(a)*f(b) > 0){ cout << "Fehler"; return; } if(f(a) < 0) // Fallunterscheidung je nachdem sig = 1; // ob f(a) < 0 oder f(b) < 0 else sig = -1; } cout.precision(0); for (int i = 0; i < SCHRITTE; ++i) { c = (a + b)/; if (f(c)*sig < 0) a = c; else b = c; cout << c << "\t" << f(c) << endl; } 8