Niedersächsisches Kultusministerium. Curriculare Vorgaben für die Realschule Schuljahrgänge 5/6. Mathematik. Niedersachsen

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1 Niedersächsisches Kultusministerium Curriculare Vorgaben für die Realschule Schuljahrgänge 5/6 Mathematik Niedersachsen

2 An der Erarbeitung der Curricularen Vorgaben für das Unterrichtsfach Mathematik in den Schuljahrgängen 5/6 waren die nachstehend genannten Lehrkräfte beteiligt: Manfred Härtel, Wolfsburg Hanns-Jürgen Knaack, Hildesheim Walter Kuchenbecker, Zeven Dr. Norbert Sommer, Georgsmarienhütte Herausgegeben vom Niedersächsischen Kultusministerium (2004) Hannover, Schiffgraben 12 Druck: Niedersächsisches Landesamt für Lehrerbildung und Schulentwicklung (NiLS) Keßlerstraße Hildesheim Die Curricularen Vorgaben können als PDF-Datei vom Niedersächsischen Bildungsserver (NIBIS) ( heruntergeladen werden.

3 Inhalt Seite 1 Aufgaben und Ziele 4 2 Zur Arbeit mit den Themenbereichen 7 3 Themenbereiche Leitidee Zahl Leitidee Raum und Form Leitidee Messen Leitidee Funktionaler Zusammenhang Leitidee Daten und Zufall 20 4 Leistungsfeststellung und -bewertung 22

4 1 Aufgaben und Ziele Die Curricularen Vorgaben für den Mathematikunterricht in den Schuljahrgängen 5 und 6 an Realschulen berücksichtigen das novellierte Niedersächsische Schulgesetz 1) und den Grundsatzerlass Die Arbeit in der Realschule 2). Sie orientieren sich an den Rahmenrichtlinien für die Realschule, Mathematik 3) und den Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss 4). Mathematikunterricht in der Realschule trägt zur Bildung der Schülerinnen und Schüler bei, indem er ihnen insbesondere folgende Grunderfahrungen ermöglicht: - soziale, kulturelle, natürliche und technische Erscheinungen und Vorgänge mit Hilfe der Mathematik wahrnehmen, verstehen und unter Nutzung mathematischer Gesichtspunkte beurteilen, - Mathematik mit ihrer Sprache, ihren Symbolen, Bildern, Formeln und spezifischen Arbeitsweisen in der Bedeutung für die Beschreibung und Bearbeitung von Aufgaben und Problemen inner- und außerhalb der Mathematik kennen und begreifen, - in der Bearbeitung von Fragen und Problemen mit mathematischen Mitteln allgemeine Problemlösefähigkeit entwickeln, - mathematische Erkenntnisse und Verfahren als historisch gewachsen und durch technische Entwicklungen beeinflusst erkennen. Der Unterricht im Fach Mathematik ist so zu gestalten, dass diese Grunderfahrungen sich in einer offenen, kommunikativen Situation entwickeln und zu einer Einstellung der Schülerinnen und Schüler führen, die mathematische Erkenntnisse wertschätzt und mathematischen Fragestellungen Interesse entgegenbringt. Selbsttätigkeit, die Erfahrung des eigenen Könnens und soziales Miteinander sind für Motivation und Interesse prägend. Subjektive Zugänge sind herauszufordern, der Vergleich mit den Ideen anderer ist anzuregen und die Vorstellungen der Schülerinnen und Schüler sind in eine sachund fachgerechte Präzisierung zu überführen. Für das Fach Mathematik spielt der konstruktive Umgang mit Fehlern eine besondere Rolle. Die Schülerinnen und Schüler sollen befähigt werden, Mathematik in einem breiten Spektrum unterschiedlicher Situationen anzuwenden. Mathematisches Denken entwickelt sich aber auch in der Reflektion über innermathematische Probleme. Zur Erreichung dieser Zielsetzungen müssen grundlegende Fähigkeiten und Fertigkeiten sicher beherrscht werden. Zurückliegende müssen durchgängig mit neuen n verknüpft werden, um kumulatives Lernen zu gewährleisten. 1) 2) 3) 4) Niedersächsisches Schulgesetz (NSchG) in der Fassung vom 02. Juli 2003 (Nds. GVBl. S. 244). Die Arbeit in der Realschule (Erl. d. MK v SVBl. 3/2004, S. 100). Niedersächsisches Kultusministerium (Hrsg.): Rahmenrichtlinien für die Realschule, Mathematik, Hannover Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss (KMK ). 4

5 Die Ziele des Mathematikunterrichts werden in Form verbindlicher allgemeiner und inhaltsbezogener Kompetenzen beschrieben. Die allgemeinen mathematischen Kompetenzen bilden hierbei einen Rahmen, der durch spezifische Leistungserwartungen (inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen) konkretisiert wird. Sie geben Anhaltspunkte für die Gestaltung des Mathematikunterrichts, die an den Lernprozessen und Lernergebnissen der Schülerinnen und Schüler orientiert sind und nicht allein von der Fachsystematik der mathematischen Lehrinhalte abhängen. Im Einzelnen handelt es sich um folgende allgemeine Kompetenzen, die für alle Ebenen des Lehrens und Lernens von Mathematik in der Schule relevant sind 1) : (K1) Mathematisch argumentieren Dazu gehört: - Fragen stellen, die für die Mathematik charakteristisch sind ( Gibt es?, Wie verändert sich...?, Ist das immer so...? ) und Vermutungen begründet äußern, - mathematische Argumentationen entwickeln (wie Erläuterungen, Begründungen, Beweise) - Lösungswege beschreiben und begründen. (K2) Probleme mathematisch lösen Dazu gehört: - vorgegebene und selbst formulierte Probleme bearbeiten, - geeignete heuristische Hilfsmittel, Strategien und Prinzipien zum Problemlösen auswählen und anwenden, - die Plausibilität der Ergebnisse überprüfen sowie das Finden von Lösungsideen und die Lösungswege reflektieren. (K3) Mathematisch modellieren Dazu gehört: - den Bereich oder die Situation, die modelliert werden soll, in mathematische Begriffe, Strukturen und Relationen übersetzen, - in dem jeweiligen mathematischen Modell arbeiten, - Ergebnisse in dem entsprechenden Bereich oder der entsprechenden Situation interpretieren und prüfen. (K4) Mathematische Darstellungen verwenden Dazu gehört: - verschiedene Formen der Darstellung von mathematischen Objekten und Situationen anwenden, interpretieren und unterscheiden, - Beziehungen zwischen Darstellungsformen erkennen, 1) Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss (Beschluss der Kultusministerkonferenz vom ). 5

6 - unterschiedliche Darstellungsformen je nach Situation und Zweck auswählen und zwischen ihnen wechseln. (K5) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Dazu gehört: - mit Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Diagrammen, Tabellen arbeiten, - symbolische und formale Sprache in natürliche Sprache übersetzen und umgekehrt, - Lösungs- und Kontrollverfahren ausführen, - mathematische Werkzeuge (wie Formelsammlungen, Taschenrechner, Software) sinnvoll und verständig einsetzen. (K6) Kommunizieren Dazu gehört: - Überlegungen, Lösungswege bzw. Ergebnisse dokumentieren, verständlich darstellen und präsentieren, auch unter Nutzung geeigneter Medien, - die Fachsprache adressatengerecht verwenden, - Äußerungen von anderen und Texte zu mathematischen n verstehen und überprüfen. Die Strukturierung inhaltsbezogener mathematischer Kompetenzen nach mathematischen Leitideen soll dazu anregen, bei der Auseinandersetzung mit mathematischen n sachgebietsübergreifendes, vernetztes Denken und Verständnis grundlegender mathematischer Konzepte zu erreichen. Die mathematischen Leitideen sind: Zahl Messen Raum und Form Funktionaler Zusammenhang Daten und Zufall Eine Leitidee vereinigt verschiedener mathematischer Sachgebiete und durchzieht ein mathematisches Curriculum spiralförmig. Dadurch soll Erlerntes horizontal und vertikal vernetzt und seine Nachhaltigkeit gewährleistet werden. Der Mathematikunterricht in der Realschule bezieht sich auf lebensnahe und innermathematische Problemstellungen, systematisiert und integriert die Erfahrungen der Schülerinnen und Schüler zu einem vertieften Verständnis. Er leitet sie zu mathematischem Denken sowie sachlichem Argumentieren an und entwickelt ihre Fähigkeiten im Umgang mit mathematischen Werkzeugen und zur Modellierung von Sachzusammenhängen mit diesen Werkzeugen. 6

7 2 Zur Arbeit mit den Themenbereichen Die Themenbereiche in den Schuljahrgängen 5 und 6 sind den fünf mathematischen Leitideen zugeordnet. Die Struktur der Themenbereiche wird durch allgemeine und inhaltsbezogene Kompetenzen, Intentionen und bestimmt. Diese sind verbindlich und nehmen zwei Drittel der zur Verfügung stehenden Unterrichtszeit in Anspruch. Die unter aufgeführten sind Hilfen bei der unterrichtlichen Umsetzung. Sie konkretisieren Unterrichtsinhalte und beziehen sich auf Fachbegriffe und Unterrichtsverfahren. Die zeigen Möglichkeiten auf, wie der betreffende Themenbereich mit fachübergreifenden n und anderen mathematischen Leitideen vernetzt werden kann und nennen mögliche innerfachliche Vertiefungen. Die Ausführungen zu den Themenbereichen werden jeweils abgeschlossen durch zur didaktischen und methodischen Einordnung. Der Mathematikunterricht berücksichtigt in allen Themenbereichen die zuvor genannten allgemeinen mathematischen Kompetenzen in unterschiedlicher Gewichtung. Die Themenbereiche orientieren sich an den Leitideen und Kompetenzen, stellen aber keine Unterrichtseinheiten im herkömmlichen Sinne dar. Diese sind aus der Verknüpfung von n der Themenbereiche schulintern zu entwickeln. Eine Unterrichtseinheit Umfang und Flächeninhalt des Rechtecks verknüpft beispielsweise geometrische Formbetrachtungen, anwendungsorientiertes Üben von Rechenverfahren, den Umgang mit natürlichen Zahlen und Bruchzahlen, funktionale Überlegungen sowie den Umgang mit Termen. In einer Unterrichtseinheit Wahrscheinlichkeit sind Daten zu erheben und darzustellen, relative Häufigkeiten durch Brüche zu beschreiben und geometrische Eigenschaften der Zufallsinstrumente zu betrachten. Die Orientierung der Themenbereiche an Leitideen und Kompetenzen in Verbindung mit grundlegenden Begriffen des Faches gewährleistet die Durchlässigkeit zwischen den Schulformen. 7

8 3 Themenbereiche Leitidee Schuljahrgang 5 Zeit/Std. Schuljahrgang 6 Zeit/Std. 3.1 Zahl Struktur der natürlichen Zahlen Rechnen mit Bruchzahlen Darstellung der natürlichen Zahlen Rechnen mit natürlichen Zahlen Bruchzahlen und erste Rechenoperationen Raum und Form Struktur geometrischer Objekte Symmetrie Messen Längen und Flächeninhalte Flächeninhalte und Volumina Funktionaler Zusammenhang Variation und Abhängigkeit Die Aspekte der Leitidee Funktionaler Zusammenhang in Schuljahrgang 5 sind in alle anderen Themenbereiche zu integrieren Zuordnungen Daten und Zufall Daten erheben und auswerten Zufallsexperimente planen und analysieren Leitidee Zahl Natürliche Zahlen Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen - Grundvorstellungen von natürlichen Zahlen besitzen - Das dezimale Stellenwertsystem und Prinzip der Fortsetzbarkeit der dezimalen Zahldarstellungen über den beherrschten Zahlraum hinaus verstehen - Mündliche und schriftliche Rechenoperationen im Bereich der natürlichen Zahlen beherrschen und den Zusammenhang zwischen Rechenoperationen und deren Umkehroperationen erkennen - Kontrollverfahren für die rechnerische Richtigkeit kennen und anwenden - Variablen als Platzhalter für Zahlen verstehen und verwenden 8

9 Intentionen Die Schülerinnen und Schüler kennen die Struktur der natürlichen Zahlen, haben Einsicht in ihre Darstellung, beherrschen Kopfrechentechniken und Rechenoperationen (halbschriftlich und schriftlich) in altersangemessenen und alltagsrelevanten Zahlenräumen, setzen sie angemessen in Anwendungssituationen ein, nutzen Rechenvorteile und führen Überschlagsrechnungen und Proben als Kontrollverfahren im Zusammenhang mit Zahlenoperationen aus Themenbereich Struktur der natürlichen Zahlen Zeitrichtwert: 10 Std. Schuljahrgang: 5 - Menge der natürlichen Zahlen - Vergleich und Ordnung natürlicher Zahlen - Klassifikation der natürlichen Zahlen - Primzahlen - Konkrete Vorstellungen von großen Zahlen - Zahlenraum bis 1 Milliarde - Zahlenstrahl - Zahlen im Zahlenraum bis zu einer Milliarde lesen (Zifferndarstellung, Zahlwort), schreiben und an Hand der Zifferndarstellung ordnen - Gerade und ungerade Zahlen, Quadratzahlen - Teiler und Vielfache (Teilermengen, Vielfachenmengen) - Definition der Primzahlen über Zerlegbarkeit natürlicher Zahlen - Primzahlen bis 100 sicher - Prüfen auf Primzahleigenschaft - Unendlichkeit - Kleinstes Element (besondere Rolle der Null, historische Entwicklung) - Sieb des Eratosthenes - Besondere Primzahlsätze: Unendlichkeit der Primzahlfolge, Primzahlzwillinge, Goldbachsche Vermutung 9

10 3.1.2 Themenbereich Darstellung der natürlichen Zahlen Zeitrichtwert: 10 Std. Schuljahrgang: 5 - Verschiedene Zahldarstellungen - Potenzdarstellung im Dezimalsystem - Ein nicht dezimales Stellenwertsystem - Runden - Bündelung, Zählen (Kilometerzähler) - Darstellung in der Stellenwerttafel - Sinnvolles Runden von Größen in Sachzusammenhängen - Vergleich dezimales-nichtdezimales Stellenwertsystem unter Strukturaspekten - Zahldarstellung in den Naturwissenschaften - Leitidee Daten und Zufall: Daten erheben und auswerten - Fortsetzbarkeit der Zahlwortbildung (Tausenderstruktur) - Römische Zahlen als Nichtstellenwertsystem und historischer Bezug; Einteilung der Größe Zeit (12er, 60er) - Dualsystem bei Computern 10

11 3.1.3 Themenbereich Rechnen mit natürlichen Zahlen Zeitrichtwert: 20 Std. Schuljahrgang: 5 - Mündliche und schriftliche Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division - Überschlagsrechnungen, Kontrollverfahren, Teilbarkeitsregeln, Umkehroperationen - Fachbegriffe im Rahmen der Grundrechenarten - Zusammenhang der Rechenoperationen - Hierarchie der Rechenoperationen - Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz - Zahlenterme - Einfache Gleichungen - Einbettung in Anwendungen; Rechnen mit Größen - Kopfrechnen - Rechenvorteile - Schriftliche Division mit zweistelligem Divisor - Klammern - Begründung der Rechengesetze an Beispielen - Umkehroperationen - Lösen einfacher Gleichungen über Umkehroperationen - Modellierung von Sachaufgaben durch Zahlenterme - Teilbarkeitsregeln für 2, 4, 8, 5, 10 (10 n ), 3, 9 - Quersumme - Rolle der 0 und 1 - Teilbarkeitssätze und Entwicklung weiterer Teilbarkeitsregeln - Allgemeine Darstellung von Rechengesetzen mit Variablen Der Unterricht greift die Vorkenntnisse aus der Grundschule auf, vertieft das Verständnis für die Eigenschaften der natürlichen Zahlen und festigt die Fertigkeiten im Rechnen in variantenreichen Übungen, die aus problem- und anwendungsorientierten Fragestellungen erwachsen. Kopfrechenfertigkeiten, auch in Verbindung mit dem Notieren von Zwischenergebnissen (halbschriftliches Rechnen), sind dauernd zu trainieren und haben gegenüber den schriftlichen Rechenverfahren im Zeitalter der Taschenrechnerpräsenz eher an Bedeutung zugenommen. Sachgerechtes Runden und Überschlagsrechnungen gehören mit dazu. Teilbarkeitsbetrachtungen erweitern die Kenntnisse über natürliche Zahlen und bieten auf unterschiedlichem Niveau umfangreiche Möglichkeiten zur Beschreibung und Begründung von Zusammenhängen. 11

12 Bruchzahlen Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen - Grundvorstellungen von gebrochenen Zahlen besitzen und diese auf verschiedene Weise an unterschiedlichen Repräsentanten der Einheit darstellen - Gewöhnliche Brüche ordnen und vergleichen - Die Grundrechenarten im Bereich der Brüche beherrschen - Gewöhnliche und dezimale Bruchdarstellungen ineinander umrechnen können und die Beziehung für einfache Nenner auswendig wissen - Die Bedeutung der periodischen Darstellung bei Dezimalbrüchen kennen Intentionen Die Schülerinnen und Schüler haben sinntragende Vorstellungen von Brüchen und Einsicht in ihren Aufbau und ihre Darstellung. Sie führen die Grundrechenarten mit gewöhnlichen Brüchen und endlichen Dezimalbrüchen sicher aus und wenden die Bruchrechnung zur Lösung von Sachproblemen an. Verständnis des fachlichen Hintergrundes (Grundvorstellungen) und Sicherheit im Umgang mit Brüchen mit überschaubaren Nennern stehen im Vordergrund Themenbereich Bruchzahlen und erste Rechenoperationen Zeitrichtwert: 20 Std. Schuljahrgang: 5 - Brüche als Teil eines Ganzen und Teile mehrerer Ganzer - Brüche als Operatoren zur Bildung von Bruchteilen - Bruchzahlen in unterschiedlicher Darstellung - Ordnen von Bruchzahlen - Dezimalbruchschreibweise gewöhnlicher Brüche mit den Nennern 10 und Einführung des Prozentbegriffes - Addition und Subtraktion von Brüchen mit gleichen Nennern - Multiplikation von Brüchen mit natürlichen Zahlen - Größenkonzept von Brüchen: Kreis, Rechteck, Menge diskreter Objekte, Strecke, Zahlenstrahl - Handelnde, zeichnerische, formale Darstellung in wechselseitigem Bezug - Operatoren zur Erzeugung von Brüchen - Multiplikation von Brüchen mit natürlichen Zahlen auf Addition zurückführen - Erweiterung der Stellenwerttafel nach rechts - Messwerte in Physik, Chemie - Leitidee Messen - Leitidee Daten und Zufall 12

13 3.1.5 Themenbereich Rechnen mit Bruchzahlen Zeitrichtwert: 32 Std. Schuljahrgang: 6 - Brüche als Ergebnis einer Division - Verhältnisbegriffe (Teil zum Ganzen; zwei Teile eines Ganzen zueinander) - Erweitern und Kürzen von Brüchen - Vergleichen und Ordnen von Brüchen mit gleichen und unterschiedlichen Nennern - Einbetten der natürlichen Zahlen in die Bruchzahlen - Brüche in gemischter Schreibweise - Sicheres Beherrschen der Grundrechenarten mit überschaubaren Nennern - Division zur Bestimmung von Dezimalbrüchen - Periodische Dezimalbrüche - Rechnen mit Dezimalbrüchen - Rechnen mit einfachen Prozentsätzen - Zahlenterme - Einfache Gleichungen - Grundvorstellungen über Brüche erweitern - Beziehungen zwischen einfachen Brüchen mit den Nennern (1), 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 20, 100 und ihren Dezimalbruchdarstellungen (insbesondere Zähler 1) auswendig wissen - Ergebnisse von Operationen mit Brüchen schätzen - Division durch Bruch als Messvorgang (enthalten sein) verstehen - Typische Fehlvorstellungen (z.b. Produkt immer größer als Faktoren) verbalisieren - Einbetten des Rechnens mit Bruchzahlen in Anwendungszusammenhänge - Leitidee Messen - Periodische Dezimalbrüche zur Ausführung von Operationen durch gewöhnliche Brüche (Nenner 3 und 9) ersetzen - Wissen um die mögliche Ungenauigkeit der Ergebnisse beim Rechnen mit periodischen Dezimalbrüchen, sinnvolles Runden Die Schülerinnen und Schüler bringen aus der Grundschule einen eingeschränkten Bruchzahlbegriff mit, in dem Brüche an ganz konkrete, eng begrenzte Erscheinungen aus dem Alltag gebunden sind. Aufgrund der Schwierigkeiten bei der Entwicklung eines umfassenden Bruchzahlbegriffs werden spiralförmig im Schuljahrgang 5 konkret und anschaulich Grundvorstellungen von Bruchzahlen entwickelt, einfache Fälle der Bruchoperationen eingeführt und im Schuljahrgang 6 die Fälle behandelt, die einen höheren formalen Aufwand erfordern. Auch hierbei sind bedeutungshaltige Vorstellungen von besonderer Wichtigkeit. Die Entwicklung der Rechenfertigkeit kann sich auf Operationen mit überwiegend einstelligen Nennern beschränken. 13

14 3.2 Leitidee Raum und Form Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen - Flächen- und Körperformen unterscheiden, benennen und in ihrer Umwelt identifizieren - Körper in unterschiedlichen Darstellungen erkennen - Geometrische Figuren und Körperschrägbilder unter Verwendung angemessener Hilfsmittel zeichnen - Geometrische Figuren im Koordinatensystem (1. Quadrant) darstellen und Koordinaten von Punkten ablesen - Konkret handelnd und konstruierend Bilder von Figuren durch Parallelverschiebung und Achsenspiegelung erzeugen - Winkel schätzen, messen, zeichnen, klassifizieren und berechnen Intentionen Die Schülerinnen und Schüler ordnen geometrische Erfahrungen und beschreiben sie durch Fachbegriffe. Sie operieren konkret und in der Vorstellung mit geometrischen Objekten und finden Lösungen für Sachprobleme mit geometrischen n Themenbereich Struktur geometrischer Objekte Zeitrichtwert: 20 Std. Schuljahrgang: 5 - Gerade, Strecke, Strahl - Parallel, senkrecht - Rechteck, (Quadrat), Parallelogramm, Raute, Trapez, Drachen und ihre Eigenschaften - Dreieck, Kreis - Quader (Würfel), Zylinder, Kegel, Pyramide, Kugel und ihre Eigenschaften - Darstellung von Quader (Würfel) in Modellen und als Schrägbild - Fachbegriffe (z.b. Ecke, Kante; Seitenfläche) - Schnittpunktbilder zur Begriffsbildung (Gerade) - Erstellung unterschiedlicher Quadermodelle - Ansichten - Arbeit an Würfel-, Quadernetzen (Handlungsebene) - Anzahl der Würfelnetze (Systematisierung) - Teilstücke ebener Figuren zu vollständigen Figuren ergänzen - Gedanklich mit Flächen und Körpern operieren - Würfelschnitte - Konstruktion einfacher Figuren - Beziehung Geradenzahl Schnittpunktzahl, Zahl der Gebiete (Fallunterscheidung) - Quader aus Quadern (Soma-Würfel, Streichholzschachteln) - Eulerscher Polyedersatz 14

15 3.2.2 Themenbereich Symmetrie Zeitrichtwert: 16 Std. Schuljahrgang: 6 - Symmetrie in Natur und Technik - Spiegelung und Parallelverschiebung - Winkelbegriff, Winkelarten - Winkel messen und zeichnen - Klassifizierung von Dreiecken und Vierecken über Seitenlängen, Winkel, Symmetrie - Scheitel- und Nebenwinkel - Stufen- und Wechselwinkel - Koordinatensystem zur Kodierung der Lage von Punkten - Figuren handelnd erzeugen - Punkte, Figuren, Abbildungen im 1. Quadranten des Koordinatensystems (Legespiele) - Vollkreiswinkelmesser (Grad-, Prozent-, Bruchzahleinteilung) für die Einführung - Begründung für Winkelgleichheit an Parallelen über Parallelverschiebung - Umgang mit Zirkel und Geodreieck - Auf dem Hintergrund der bekannten geometrischen Abbildungen Parkettierungen und Bandornamente erstellen und analysieren - Deckabbildungen (Quadrat; gleichseitiges Dreieck) Die Arbeit mit geometrischen Objekten trägt in besonderer Weise zur Entwicklung des Raumvorstellungsvermögens bei. Dieses wird gefördert durch verschiedenartige Darstellungen von Körpern in Modellen, Schrägbildern und Ansichten sowie die wechselseitige Übersetzung dieser Darstellungen ineinander. Auf die sachgemäße Verwendung von Schreib- und Zeichengeräten ist Wert zu legen. Es bieten sich vielfältige Anlässe, probierende und systematisierende Verfahren zu verbinden. 15

16 3.3 Leitidee Messen Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen - Alltagsbezogene und schülerbezogene Repräsentanten von Längen, Flächeninhalten, Volumina und Winkeln verwenden, eine Vorstellung von diesen Größen entwickeln und Größen schätzen - Umfang und Flächeninhalt von Rechtecken (Quadrat) sowie Oberfläche und Volumen von Quadern (Würfel) in innermathematischen Kontexten und Alltagszusammenhängen berechnen - Anschauungsgestützt aus Umfang, Flächeninhalt oder Volumen sowie gegebenen Seiten- oder Kantenlängen die fehlende Seiten- oder Kantenlänge bestimmen - Mit Längen, Flächen und Volumina rechnen und Einheiten dieser Größenbereiche in benachbarte Einheiten umwandeln Intentionen Die Schülerinnen und Schüler verfügen über einen tragfähigen Längen-, Flächeninhalts- und Volumenbegriff. Sie können die formelmäßige Berechnung von Flächeninhalten und Volumina auf sachgerechte Vorstellungen über die entsprechenden Messvorgänge zurückführen. Geläufige Einheiten von Größen des Alltags werden flüssig und sicher ineinander umgerechnet Themenbereich Längen und Flächeninhalte Zeitrichtwert: 20 Std. Schuljahrgang: 5 - Umfang des Rechtecks (Quadrats) - Flächeninhalt des Rechtecks (Quadrats) - Flächenmaße (mm 2, cm 2, dm 2, m 2 ) - Berechnung der fehlenden Seitenlänge aus Umfang bzw. Flächeninhalt sowie gegebener Seitenlänge - Aufstellen von Berechnungstermen - Flächeninhalts- vom Umfangsbegriff unterscheiden, Bezug zu den Berechnungsformeln und -operationen - Längen- und Flächenmaße am eigenen Körper und im Klassenraum veranschaulichen - Flächenberechnung aus Messvorgang mit Einheitsquadraten ableiten - Aus Rechtecken zusammengesetzte Flächen berechnen - Anwendung in Sachaufgaben - Kopfgeometrie und Kopfrechnen - Leitidee Zahl - Leitidee Funktionaler Zusammenhang 16

17 3.3.2 Themenbereich Flächeninhalte und Volumina Zeitrichtwert: 20 Std. Schuljahrgang: 6 - Flächenmaße (a, ha, km 2 ) - Volumen des Quaders (Würfels) - Volumeneinheiten (mm 3, cm 3 /ml, dm 3 /l, m 3, hl) - Oberfläche des Quaders (Würfels) - Arbeit im Schulgelände (Flächenmaße) - Quader (Alltagsgegenstände) ausmessen - Volumenberechnung aus Messvorgang ableiten - Anwendung in Sachaufgaben - Leitidee Zahl: Rechnen mit Bruchzahlen (3.1.5) - Oberflächen- und Volumenberechnungen von aus Quadern zusammengesetzten Körpern An lebensnahen Sachverhalten werden konkrete Messungen mit geeigneten Instrumenten und Verfahren durchgeführt. Das Messen stellt die Beziehung zwischen der realen Welt und den Zahlen dar. Die Verbindung leistet einen wesentlichen Beitrag zur Modellierungsfähigkeit, indem mathematische Kenntnisse aus Arithmetik und Geometrie zur Lösung von Problemen eingesetzt werden, die Situationen aus der Erfahrungswelt entstammen. 17

18 3.4 Leitidee Funktionaler Zusammenhang Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen - Muster und Zusammenhänge zwischen vorkommenden Größen erkennen, Folgen fortsetzen und eigene Folgen entwickeln - Informationen zu einfachen Sachzusammenhängen aus vorhandenen Tabellen und Diagrammen entnehmen - Zusammenhänge zwischen Größen durch systematische Variation untersuchen, tabellarisch, grafisch und sprachlich darstellen - In Sachzusammenhängen Zuordnungen zwischen Größenbereichen erkennen - In proportionalen Zusammenhängen fehlende Größen berechnen - Sachprobleme rechnerisch bearbeiten und die Ergebnisse interpretieren und validieren Intentionen Die Schülerinnen und Schüler erkennen und erzeugen Zahlenfolgen und geometrische Muster, verändern Größen und untersuchen die Auswirkungen auf abhängige Größen, sie äußern Vermutungen und prüfen sie. Sie entwickeln ein Verständnis für proportionale Zusammenhänge und die Grenzen dieser Modellierung in Alltagssituationen Themenbereich Variation und Abhängigkeit Zeitrichtwert: 10 Std. Schuljahrgang: 5 - Zahlenfolgen - Geometrische Zusammenhänge - Tabelle und Graf - Zahlenpunktbilder (Quadratzahlen, Dreieckszahlen) - Variation in Zahlenmauern - Abhängigkeit des Rechteckumfangs und -flächeninhalts von der Veränderung der Seitenlängen (Verdopplung, Halbierung,...) - Zerschneiden gefärbter Würfel (Anzahl der Würfel mit drei, zwei, einer und ohne gefärbte Seitenfläche(n) bestimmen) - Leitideen Zahl, Raum und Form, Messen - Pascalsches Dreieck - Fibonacci-Folge und Auftreten in der Umwelt 18

19 3.4.2 Themenbereich Zuordnungen Zeitrichtwert: 20 Std. Schuljahrgang: 6 - Betrachtung funktionaler Zusammenhänge in zur Verfügung stehenden Themenbereichen - Proportionale Zuordnung von Größenbereichen - Berechnung fehlender Größen - Zahlenfolgen mit Brüchen - Abhängigkeit der Volumina von der Veränderung der Kantenlängen - Erstellung und Fortsetzung von Zuordnungstabellen in - Darstellung Sachzusammenhängen in Tabellen und Diagrammen - Systematische Veränderung von Zählern und Nennern von Brüchen - Minuten-Stundenanzeige und Winkelgröße - Physik: Temperatur und Ausdehnungen (2.3.1) - Leitidee Zahl - Leitidee Raum und Form - Leitidee Messen Den Lernenden sind aus dem Alltag vielfältige Beispiele für Zuordnungen bekannt. Die diesen Beispielen zu Grunde liegenden Strukturen müssen der Altersstufe gemäß beschrieben und verglichen werden. Der Einsatz unterschiedlicher Darstellungsformen für Zuordnungen ist dafür unabdingbar. Insbesondere muss das Denken in Proportionen entwickelt und das Lösen entsprechender Anwendungsaufgaben sicher bewältigt werden. 19

20 3.5 Leitidee Daten und Zufall Daten erheben und auswerten Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen - Statistische Erhebungen zu aufgeworfenen Fragestellungen planen - Daten systematisch sammeln, in Tabellen aufbereiten und grafisch darstellen - Grafische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen auswerten - Daten unter Verwendung von Kenngrößen interpretieren Intentionen Die Schülerinnen und Schüler planen statistische Erhebungen, führen diese durch, stellen die Ergebnisse in Tabellen und Grafiken dar und werten sie aus Themenbereich Daten erheben und auswerten Zeitrichtwert: 10 Std. Schuljahrgang: 5 - Daten systematisch erheben - Daten auf unterschiedliche Weise darstellen - Daten auswerten, Kennwerte berechnen und die Ergebnisse interpretieren - Ergebnisse präsentieren - Daten durch Experiment, Beobachtung oder Befragung zielgerichtet gewinnen - Tabelle, Streifen- und Balkendiagramm - Anzahlen, relative Häufigkeit, Mittelwert - Beispiele für irreführende Darstellungen - Kurzreferat, Plakat - Physik: Temperatur und Ausdehnungen (2.3.1) - Leitidee Zahl (Prozentbegriff) - Leitidee Messen Ergebnisse statistischer Erhebungen begegnen Schülerinnen und Schülern im Alltag. Ihre Interpretation setzt eigene Erfahrungen voraus, die an Fragestellungen aus dem Erfahrungs- und Interessenbereich der Lernenden gewonnen werden können. Die fächerübergreifende Zusammenarbeit bietet sich bei diesem Themenbereich besonders an. 20

21 Zufallsexperimente planen und analysieren Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen - Zufallserscheinungen aus dem Alltag beschreiben und qualitativ vergleichen - Zufallsexperimente durchführen und auswerten - Wahrscheinlichkeiten in klassischen Zufallsexperimenten aus dem Aufbau der Zufallsinstrumente erschließen - Den Zusammenhang zwischen relativen Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten erkennen Intentionen Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass sich Zufallserscheinungen mit mathematischen Mitteln beschreiben lassen. Sie wissen, dass der einzelne Ausfall nicht vorhersagbar ist, wohl aber die relative Häufigkeit bei einer großen Anzahl von Versuchen Themenbereich Zufallsexperimente planen und analysieren Zeitrichtwert: 12 Std. Schuljahrgang: 6 - Zufallsexperimente durchführen und auswerten - Relative Häufigkeiten bestimmen und durch Brüche beschreiben - Erwartetete relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten durch Bruchzahlen beschreiben - Begriff des unmöglichen, möglichen, sicheren Ereignisses mit Bezug auf Alltagssituationen - Zufallsversuche mit Münze, Würfel, Urne, Glücksrad und anderen Gegenständen (Streichholzschachtel, Heftzwecke...) - Große Versuchszahlen in der Klasse zur Vorbereitung des Gesetzes der großen Zahlen - Leitidee Zahl - Leitidee Raum und Form: Symmetrie - Kombinatorische Fragestellungen - Mehrstufige Zufallsexperimente - Nutzung von Auswertungssoftware Ausgangspunkt aller Überlegungen zur Leitidee Daten und Zufall sind eigene Erfahrungen der Schülerinnen und Schüler, die durch selbst durchgeführte Erhebungen und Experimente ergänzt bzw. gewonnen werden. Offenere projektartige Unterrichtsformen bieten sich daher in besonderer Weise an. Der Leitidee Daten und Zufall sind zwei Themenbereiche zugeordnet, eine enge Verzahnung ist aber unabdingbar. Vor der Durchführung von Zufallsexperimenten ist es sinnvoll, dass die Schülerinnen und Schüler ihre Erwartungen über den Ausgang formulieren und später mit dem tatsächlichen Ausgang vergleichen. 21

22 4 Leistungsfeststellung und -bewertung Leistungsüberprüfungen sind Bestandteil des Unterrichts; sie sind Kompetenz orientiert und beziehen sich schwerpunktmäßig auf die Ziele und des vorangegangenen Unterrichts und die dort erarbeiteten Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten, umfassen aber auch Problemstellungen, die im Unterricht im Rahmen von inhaltlicher Vernetzung und kumulativem Lernen aufgegriffen und wiederholt wurden. Die beobachteten Leistungen gestatten einerseits Rückschlüsse auf den Unterrichtserfolg und den Leistungsstand der Lerngruppe insgesamt und sind somit auch Grundlage für die Planung des weiteren Unterrichts; andererseits dienen sie zur Beurteilung der individuellen Leistungen der Schülerinnen und Schüler. Lernkontrollen, die ausschließlich der Gewinnung von Informationen über den individuellen oder klassenspezifischen Lernfortschritt dienen und solche, die zur Bewertung von Schülerleistungen eingesetzt werden, können vielfältige Formen haben (z.b. mündlich, schriftlich, Abfrage, vorbereitete Darstellung eines Themas, Portfolio). Zur Förderung des selbstständigen Lernens sind bei der Lernstandsdiagnose auch solche Formen einzubeziehen, die von den Schülerinnen und Schülern selbst ausgewertet werden. Die Gesamtleistung der Schülerinnen und Schüler beinhaltet schriftliche sowie mündliche und andere fachspezifische Leistungen. Die Bewertung der mündlichen und anderen fachspezifischen Leistungen wird durch intensive Beobachtung des gesamten Lernprozesses der Schülerinnen und Schüler gewonnen. Die Lernenden haben Anspruch auf Transparenz der Beurteilungskriterien und der Bewertung. Die Erziehungsberechtigten sind nach 96 (3) Niedersächsisches Schulgesetz über die Grundsätze der Leistungsbewertung zu informieren. Die Fachkonferenz hat die Vergleichbarkeit des Anspruchsniveaus von Klassenarbeiten und die damit verbundene Zensurengerechtigkeit zwischen Parallelklassen einer Schule zu gewährleisten. Art und Inhalt der Aufgabenstellungen in den schriftlichen Arbeiten sind Kompetenz orientiert und entsprechen dem unterrichtlichen Vorgehen. Sie spiegeln die Vielfalt der im Unterricht erarbeiten Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten wider und beinhalten bei gestuftem Anspruchsniveau sowohl eingeübte Verfahren als auch variantenreich gestaltete bekannte oder abgewandelte Problemstellungen. Die Kommunikations- und Argumentationsfähigkeit wird in Aufgabenstellungen erfasst, in denen dem kognitiven Entwicklungsstand angemessen Lösungswege zu beschreiben und zu vergleichen sind oder Begründungen und Interpretationen gefordert werden. 22

23 Bei der Bewertung der schriftlichen Lernkontrollen sind neben dem Ergebnis auch Zwischenschritte und die Darstellung des Lösungsweges zu berücksichtigen. Eine ausreichende oder bessere Leistung liegt in der Regel dann vor, wenn mehr als die Hälfte der erwarteten Leistung erbracht wurde. Die Intervalle für die sehr guten bis ausreichenden Leistungen und die Grenze zwischen mangelhafter und ungenügender Leistung bestimmt die Fachkonferenz verbindlich für die Schule. Die Anzahl der schriftlichen Lernkontrollen regelt der Erlass Die Arbeit in der Realschule 1). Zur Beurteilung der mündlichen und anderen fachspezifischen Leistungen können u.a. dienen die Beiträge im Unterricht mit den möglichen Bewertungsgesichtspunkten: Einbringen kreativer Ideen Einbinden der Lösungsideen Finden von Beispielen, Gegenbeispielen Verständliches und präzises Darstellen Sinnvolles Umgehen mit technischen Hilfsmitteln Zielgerichtetes Beschaffen von Informationen Konstruktives Umgehen mit Fehlern Fehlerfreie Anwendung geübter Fertigkeiten Sachorientierte Kommunikationsfähigkeit Zielgerichtete und kontinuierliche Auseinandersetzung mit Anforderungen in Stillarbeitsphasen Planen und Koordinieren der Arbeit in einer Gruppe Auf sonstige im Unterricht erbrachte Leistungen (z.b. Kurzreferate, Erstellung von Postern, Bau von Körpermodellen) sind die Gesichtpunkte angemessen zu übertragen. Lösungsansätze bei Schul- und vor allem Hausaufgaben sind zu würdigen. Den Schülerinnen und Schülern muss bewusst sein, dass auch das sachgerechte Umgehen mit eigenen Irrtümern und Fehlern eine positive Leistung sein kann. Mit der Veränderung von Unterrichtsformen oder der Einbeziehung neuer Medien werden die Gesichtspunkte zu modifizieren und zu erweitern sein. Die Beobachtung im Unterricht soll kontinuierlich erfolgen und muss sich bei der Notengebung auf mehr als eine punktuelle Leistungserfassung beziehen, damit die Lernenden sicher sein können, dass ihre Lernprozesse in die Leistungsbewertung eingehen. 1) Die Arbeit in der Realschule (Erl. d. MK v SVBl. 3/2004, S. 100). 23