Einführungsphase Curriculum Mathematik (Analysis, Stochastik, Vektorrechnung) Stand:
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- Mareke Graf
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1 Einführungsphase Curriculum Mathematik (Analysis, Stochastik, Vektorrechnung) Stand: Thema: Analysis - Beschreibung der Eigenschaften von Funktionen und deren Nutzung im Kontext (EF-A1) beschreiben die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten sowie quadratischen und kubischen Wurzelfunktionen beschreiben Wachstumsprozesse mithilfe linearer Funktionen und Exponentialfunktionen wenden einfache Transformationen (Streckung, Verschiebung) auf Funktionen (Sinusfunktion, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen) an und deuten die zugehörigen Parameter Modellieren erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung(Strukturieren) übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren) Funktionen: Funktionsbegriff und Schreibweisen. Lineare und quadratische Funktionen. Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten, sowie quadratische und kubische Wurzelfunktionen. (Einführung des Begriffs der ganzrationalen Funktion?) Lineare und exponentielle Wachstumsprozesse Transformationen (Streckung und Verschiebung) von Sinusfunktionen, Exponentialfunktionen, Potenzfunktionen ANMERKUNG: Steigungswinkel, Orthogonalität und Begriff der Normalen entfällt aus der Obligatorik Werkzeuge nutzen nutzen Tabellenkalkulation, Funktionenplotter und grafikfähige Taschenrechner verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen 1
2 Thema: Analysis - Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate (EF-A2) Abhängigkeit und Änderung Ableitung Mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient, Sekantensteigung, berechnen durchschnittliche und lokale Änderungsraten und interpretieren sie Momentane Änderungsrate als Tangentensteigung, grafisches Ableiten im Kontext Grenzwert des Differenzenquotienten deuten die Tangente als Grenzlage einer Folge von Sekanten Ableitung an einer Stelle erläutern qualitativ auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs an Beispielen den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate Ableitungsfunktion Ableitungsregeln (Potenzregel, Faktorregel, Summenregel) deuten die Ableitung an einer Stelle als lokale Änderungsrate/ ANMERKUNG: Tangentensteigung Mittlere und momentane Änderungsrate am Beispiel von Funktionen im beschreiben und interpretieren Änderungsraten funktional Sachzusammenhang zu behandeln. (Ableitungsfunktion) leiten Funktionen graphisch ab begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrempunkte) mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen nutzen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten wenden die Summen- und Faktorregel auf ganzrationale Funktionen an Problemlösen analysieren und strukturieren die Problemsituation (Erkunden) erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden) wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus (Lösen) Argumentieren (Vermuten) stellen Vermutungen auf unterstützen Vermutungen beispielgebunden 2
3 präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur Werkzeuge nutzen verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle grafischen Messen von Steigungen Lösen von Gleichungen zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen Thema: Analysis - Entwicklung und Anwendung von Kriterien und Verfahren zur Untersuchung von Funktionen (EF-A3) leiten Funktionen graphisch ab nennen die Kosinusfunktion als Ableitung der Sinusfunktion begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrempunkte) mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen nutzen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten wenden die Summen- und Faktorregel auf ganzrationale Funktionen an lösen Polynomgleichungen, die sich durch einfaches Ausklammern oder Substituieren auf lineare und quadratische Gleichungen zurückführen lassen, ohne digitale Hilfsmittel verwenden das notwendige Kriterium und das Vorzeichenwechselkriterium zur Bestimmung von Extrempunkten unterscheiden lokale und globale Extrema im Definitionsbereich verwenden am Graphen oder Term einer Funktion ablesbare Eigenschaften als Argumente beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen Wiederholen des grafischen Ableitens die Kosinusfunktion als graphische Ableitung der Sinusfunktion Funktionsuntersuchungen an ganzrationalen Funktionen Charakteristische Punkte eines Funktionsgrafen: Achsenschnittpunkte Nullstellenbestimmung (Ablesen, Ausklammern, pq-formel, Substitution, auch OHNE Hilfsmittel, lösen mit GTR) relative und absolute Extrema (nur VZW-Kriterium) Symmetrie Verhalten im Unendlichen Monotonie ANMERKUNG: Polynomdivision, Krümmungsverhalten und Wendepunktbestimmung mithilfe der zweiten Ableitung, sowie Steckbriefaufgaben entfallen in der Obligatorik. 3
4 Problemlösen erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden) nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (hier: Zurückführen auf Bekanntes) (Lösen) wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus (Lösen) Argumentieren präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur (Vermuten) nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für Begründungen (Begründen) berücksichtigen vermehrt logische Strukturen (notwendige / hinreichende Bedingung, Folgerungen [ ]) (Begründen) erkennen fehlerhafte Argumentationsketten und korrigieren sie (Beurteilen) Thema: Stochastik - Den Zufall im Griff Modellierung von Zufallsprozessen (EF-S1) Muss überarbeitet werden Versuch 1 deuten Alltagssituationen als Zufallsexperimente simulieren Zufallsexperimente verwenden Urnenmodelle zur Beschreibung von Zufallsprozessen stellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf und führen Erwartungswertbetrachtungen durch beschreiben mehrstufige Zufallsexperimente und ermitteln Zufallsexperimente und Prozesse Alltagsbeispiele (Glücksspiele und weitere, z.b. Zufallsantworten bei sensitiven Umfragen) Zur Modellierung von Wirklichkeit werden durchgängig Simulationen auch unter Verwendung von digitalen Werkzeugen (GTR, Tabellenkalkulation) geplant und durchgeführt (Zufallsgenerator). Das Urnenmodell wird auch verwendet, um grundlegende Zählprinzipien wie das Ziehen mit/ohne Zurücklegen mit/ohne Berücksichtigung der 4
5 Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Pfadregeln verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Generieren von Zufallszahlen Reihenfolge zu thematisieren. Modellieren treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situation vor (Strukturieren) übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) Werkzeuge nutzen verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Generieren von Zufallszahlen Variieren der Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Erstellen der Histogramme von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Berechnen der Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Erwartungswert) 5
6 Thema: Stochastik - Testergebnisse richtig interpretieren Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten (EF-S2) deuten Alltagssituationen als Zufallsexperimente modellieren und beschreiben Sachverhalte mit Hilfe von Baumdiagrammen und Vier-oder Mehrfeldertafeln bestimmen bedingte Wahrscheinlichkeiten prüfen Teilvorgänge mehrstufiger Zufallsexperimente auf stochastische Unabhängigkeit bearbeiten Problemstellungen im Kontext bedingter Wahrscheinlichkeiten. Modellieren modellieren Sachverhalte mithilfe von Baumdiagrammen und Vier- oder Mehrfeldertafeln erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validieren) Kommunizieren erfassen, strukturieren und formalisieren Informationen aus zunehmend komplexen mathematikhaltigen Texten [ ] (Rezipieren) wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Produzieren) Baumdiagramm und Mehrfeldertafel Daten aus Texten und Baumdiagrammen zur Vierfelder und Mehrfeldertafeln ergänzen und interpretieren aus Mehrfeldertafeln Baumdiagramme entwickeln wechseln zwischen verschiedenen Darstellungsformen (Baumdiagramm, Mehrfeldertafel) und damit berechnen bedingter Wahrscheinlichkeiten beim Vertauschen von Merkmal und Bedingung und zum Rückschluss auf unbekannte Astwahrscheinlichkeiten nutzen. Kontexte Als Einstiegskontext zur Erarbeitung des fachlichen Inhaltes könnte das HIV- Testverfahren dienen, eine Möglichkeit zur Vertiefung böte dann die Betrachtung eines Diagnosetests zu einer häufiger auftretenden Erkrankung (z. B. Grippe). Häufigkeiten darstellen Absolute und relative Häufigkeiten (gegenübergestellt zu Wahrscheinlichkeit) Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Wahrscheinlichkeiten Gefahr der Verwechslung von Wahrscheinlichkeiten Anwendungen in Gesundheitsbereich / Forschung 6
7 Thema: Analytische Geometrie und Lineare Algebra - Unterwegs in 3D Koordinatisierungen des Raumes (EF-G1) wählen geeignete kartesische Koordinatisierungen für die Bearbeitung eines geometrischen Sachverhalts in der Ebene und im Raum stellen geometrische Objekte in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem dar Modellieren erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) Kommunizieren (Produzieren) wählen begründet eine geeignete Darstellungsform aus wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen Punkte im Raum 2-dimensionales und 3-dimensionales Koordinatensystem im Vergleich. Einzeichnen und Ablesen von Punkten unter Verwendung von Hilfslinien im 3-dimensionalen Koordinatensystem. Einzeichnen und Ergänzen von geometrischen Objekten (z.b. Gebäude) im 3-dimensionalen Koordinatensystem. Entwicklung eines räumlichen Vorstellungsvermögens anhand geeigneter geometrischer Objekte (z.b. unvollständige Quader (abgeschnittene Ecke)). Thema: Analytische Geometrie und Lineare Algebra - Vektoren bringen Bewegung in den Raum (EF-G2) 7
8 deuten Vektoren (in Koordinatendarstellung) als Verschiebungen und kennzeichnen Punkte im Raum durch Ortsvektoren stellen gerichtete Größen (z. B. Geschwindigkeit, Kraft) durch Vektoren dar berechnen Längen von Vektoren und Abstände zwischen Punkten mit Hilfe des Satzes von Pythagoras addieren Vektoren, multiplizieren Vektoren mit einem Skalar und untersuchen Vektoren auf Kollinearität weisen Eigenschaften von besonderen Dreiecken und Vierecken mithilfe von Vektoren nach Problemlösen entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen) setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein (Lösen) wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus (Lösen) Vektoren Vektoren als Verschiebung. Punkte und deren Ortsvektoren. Vektoraddition und Vektorsubtraktion (Gegenvektor und Nullvektor). Multiplikation mit einem Skalar Linearkombination und Rechengesetze Lineare Ab- bzw. Unabhängigkeit Länge von Vektoren Anwenden des Vektorbegriffs auf physikalische Größen (z.b. Geschwindigkeiten) Lösen einfacher geometrischer Problemstellungen, z.b. Eigenschaften von Vielecken, insbesondere zur Charakterisierung von Vierecktypen, Auffinden von Mittelpunkten, Untersuchung auf Parallelität ) 8
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