Tutorium: Analysis und Lineare Algebra

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1 Tutorium: Analysis und Lineare Algebra Vorbereitung der Bonusklausur am Juni 2018 Steven Köhler mathe.stevenkoehler.de 2 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

2 Konvergenz 3 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Konvergenz Definition der Konvergenz I Eine Folge (a n ) n N reeller Zahlen konvergiert gegen eine reelle Zahl a, wenn es für jede reelle Zahl ε>0 ein n 0 N gibt, so dass a n a <εfür alle n > n 0 gilt. Eine Folge (a n ) n N konvergiert uneigentlich (bzw. divergiert bestimmt) gegen ±, wenn es für jede reelle Zahl r > 0 ein n 0 N gibt, so dass a n > r (bzw. a n < r) für alle n > n 0 gilt. 4 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

3 Konvergenz Definition der Konvergenz II Graphische Veranschaulichung: 5 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Konvergenz Aufgabe 1 Die Folge (a n ) n N sei definiert durch a n = 7n+5 6n. a) Bestimme den Grenzwert der Folge (a n ) für n. b) Überprüfe mithilfe der Definition der Konvergenz, ob es sich bei dem in a) gefundenen Wert tatsächlich um den Grenzwert der Folge (a n ) handelt. 6 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

4 Konvergenz Aufgabe 2 Finde den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit a n = n2 4n 2 1 und zeige mithilfe der Definition der Konvergenz, dass es sich bei dem gefundenen Wert tatsächlich um den Grenzwert handelt. 7 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Konvergenz Aufgabe 2 - Lösung Als vermuteter Grenzwert ergibt sich a = 1 4. Einsetzen in die Definition der Konvergenz: n 2 4n < ε n 2 ( ) n < ε 4n n 2 1 < ε 1 4 < ε 4n < ε (4n 2 1 ) < n 2 16ε ε 4 < n Somit gilt die obige Aussage für alle n > n 0 = 1 16ε c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018.

5 Konvergenz Cauchysches Konvergenzkriterium Eine Folge (a n ) n N ist genau dann konvergent, wenn zu jedem ε>0 ein n 0 N existiert, so dass a n a m <εfür alle n, m > n 0 gilt. 9 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Konvergenz Aufgabe 3 Zeige, dass für jede konvergente Folge (a n ) n N das Cauchysche Konvergenzkriterium gilt. 10 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

6 Konvergenz Obere und untere Schranken Gegeben sei eine Folge (x n ) n N. Die Menge M = { x n n N } sei die Menge aller Folgenglieder der Folge (x n ). Als obere Schranke der Menge M (und somit auch der Folge (x n )) bezeichnet man einen Wert k, für den x i k für alle x i M gilt. Der kleinste Wert k, für den die genannte Eigenschaft gilt, wird Supremum genannt. Als untere Schranke der Menge M (und somit auch der Folge (x n )) bezeichnet man einen Wert l, für den x i l für alle x i M gilt. Der größte Wert l, für den die genannte Eigenschaft gilt, wird Infimum genannt. 11 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Konvergenz Aufgabe 4 Gegeben seien zwei Folgen (x n ) n N und (y n ) n N : x n = 1 + n + 1 ( n y n = n Bestimme, falls möglich, sowohl das Infimum als auch das Supremum dieser Folgen. Falls diese Werte nicht existieren, ist eine (kurze) Begründung hierfür anzugeben. ) n 12 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

7 Konvergenz Satz über monotone, beschränkte Folgen Eine Folge (a n ) n N heißt monoton steigend, falls a n+1 a n für alle n N gilt. Entsprechend definiert man monoton fallend für a n+1 a n. Eine Folge heißt monoton, falls sie monoton steigend oder monoton fallend ist. Eine Folge (a n ) n N heißt beschränkt, falls die Menge ihrer Folgenglieder beschränkt ist (d.h., falls die Menge M = { a n : n N } beschränkt ist). Jede monotone und beschränkte Folge ist konvergent. 13 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Konvergenz Aufgabe 5 Zeige mithilfe des Satzes über monotone und beschränkte Folgen, dass die Folge (a n ) n N konvergiert. a 1 = 2 ( an ) 2 a n+1 = c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

8 Reihen 15 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Reihen Definition Gegeben sei eine Folge (a n ) n N. Aus dieser Folge kann man eine neue Folge (s n ) n N wie folgt konstruieren: s 1 = a 1 s 2 = a 1 + a 2 s 3 = a 1 + a 2 + a 3. s n = n a i. i=1 Man nennt den Wert s n die n-te Partialsumme und die Folge (s n ) eine Reihe. 16 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

9 Reihen Harmonische Reihe I Die folgende Reihe wird als harmonische Reihe bezeichnet: H n = n i=1 1 i. Der Wert H n wird als n-te harmonische Zahl bezeichnet. Die harmonische Reihe divergiert. 17 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Reihen Harmonische Reihe II Die folgende Reihe wird als allgemeine harmonische Reihe bezeichnet: n 1 i α. i=1 Allgemeine harmonische Reihen divergieren für α 1 und konvergieren für α>1. 18 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

10 Reihen Geometrische Reihe I Die folgende Reihe wird als geometrische Reihe bezeichnet: n q i. i=0 Die geometrische Reihe konvergiert für q < 1 und divergiert für q > c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Reihen Geometrische Reihe II Die n-te Partialsumme der geometrische Reihe kann mithilfe der geometrischen Summenformel berechnet werden: n i=0 q i = 1 qn+1 1 q. Für q < 1 kann die geometrische Summenformel ebenfalls herangezogen werden, um den Grenzwert der geometrischen Reihe zu berechnen: lim n ( n ) ( ) 1 q q i n+1 = lim n 1 q i=0 = 1 1 q. 20 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

11 Grenzwerte 21 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Grenzwerte Rechenregeln für Grenzwerte I Gegeben seien zwei reelle Folgen (a n ) n N und (b n ) n N sowie zwei reelle Zahlen a, b R. Es gelte lim a n = a sowie lim b n = b. n n Es gilt ( ) lim an ± b n = lim n lim n sowie für b n 0 und b 0 a n ± lim b n = a ± b n n ( ) an b n = lim a n lim b n = a b n n ( an lim n b n ) = lim n a n lim n b n = a b. 22 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

12 Grenzwerte Rechenregeln für Grenzwerte II Für Konstanten c R gilt zudem ( ) lim c an = c lim a n = c a n n ( lim an + c ) ( ) = lim a n + c = a + c. n n 23 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Grenzwerte Aufgabe 6 Bestimme die folgenden Grenzwerte: ( 9n 4 + n 2 ) 6n + 9 a) lim n 4n 4 3n 3 27 ( 5n 3 12n 2 ) + 6 b) lim n n 4 + 3n + 99 ( ) n c) lim 6 + 3n n n 4n 2 + 7n 28 ( 5n 2 ) + n 2 d) lim n 2n 2 18n2 + 8n n 2 7 ( 3n 2 ) + 5n 8 e) lim + 2n2 + 3n 4 n 6n + 1 4n 7 24 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

13 Grenzwerte Grenzwerte und stetige Funktionen Sei f : R R eine stetige Funktion und (x n ) n N eine reelle Folge mit lim x n = x 0. Dann gilt n ( ) lim f (x n)=f lim x n = f (x 0 ). n n 25 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Grenzwerte Aufgabe 7 Berechne die folgenden Grenzwerte und gib an, an welchen Stellen die Stetigkeit der beteiligten Funktionen verwendet wird. ( ( πn 3 )) + 7n 2 (i) lim cos n 4n 3 + n n 2 n 5 (ii) lim n 9n 2 + 2n c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

14 Grenzwerte Funktionsgrenzwerte Sei f : R R eine reelle Funktion. Betrachtet man den Grenzwert lim f (x n ), also den Grenzwert des Funktionswerts für x n x 0, x n x 0 so spricht man von einem Funktionsgrenzwert. Der Funktionsgrenzwert lim f (x n ) an der Stelle x 0 existiert genau x n x 0 dann, wenn für alle Folgen (x n ) n N mit lim x n = x 0 derselbe n Grenzwert herauskommt. 27 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Grenzwerte Aufgabe 8 Bestimme die folgenden Grenzwerte: ( 2x 2 ) + 3x 2 (i) lim x 1 x + 2 ( 2x 2 ) + 3x 2 (ii) lim x 2 x c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

15 Stetigkeit 29 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Stetigkeit Definition der Stetigkeit I Es sei f eine reelle Funktion und x 0 D f. Die Funktion f heißt stetig an der Stelle x 0, wenn für jede Folge (x n ) n N mit x n D f und lim n x n = x 0 gilt: lim f (x n)=f (x 0 ). n Die Funktion f heißt stetig auf X (für X D f ), falls f an jeder Stelle x 0 X stetig ist. 30 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

16 Stetigkeit Definition der Stetigkeit II Beispiel einer unstetigen Funktion: 31 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Stetigkeit Definition der Stetigkeit III Für jede stetige Funktion muss für alle x 0 D f insbesondere die folgende Eigenschaft gelten: ( ) ( ) f (x n ) f (x n ). lim x n x 0 = f (x 0 ) = lim x n x c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

17 Stetigkeit Aufgabe 9 Die Funktion f :[0, 11] R sei gegeben durch x 2 + 2, für 0 x < 2; f (x) = 1 2x + 7, für 2 x < 5; x 1, für 5 x 11. An welchen Stellen ist f stetig, an welchen Stellen ist f unstetig? Begründe deine Antwort. 33 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Stetigkeit Definition der Stetigkeit IV Die Nacheinanderausführung/Verknüpfung zweier stetiger Funktionen ergibt wieder eine stetige Funktion. Die Nacheinanderausführung/Verknüpfung zweier unstetiger Funktionen ergibt nicht zwangsweise wieder eine unstetige Funktion. 34 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

18 Stetigkeit Aufgabe 10 Die Funktionen f : R R und g : R R seien wie folgt definiert: ( ) 5 cos x, für x 0; f (x) = 0, für x = 0; ( ) 5 x 2 cos x, für x 0; und g(x) = 0, für x = 0. An welchen Stellen ist f stetig, an welchen Stellen ist f unstetig? Analog für g. Begründe deine Antworten. 35 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Stetigkeit ε, δ-definition der Stetigkeit Es sei f eine reelle Funktion und x 0 D f. Die Funktion f heißt stetig an der Stelle x 0, wenn es für jedes ε>0 ein δ>0 gibt, so dass f (x) f (x0 ) <ε für alle x D f gilt, die x x 0 <δerfüllen. 36 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

19 Stetigkeit Aufgabe 11 Zeige mithilfe der ε, δ-definition der Stetigkeit, dass die Funktion f (x) =x 2 + x 2 an der Stelle x 0 = 2 für den Spezialfall ε = 1 stetig ist, indem du ein geeignetes δ angibst. 37 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Stetigkeit Aufgabe 11 - Lösung Für ε = 1 muss die Ungleichung f (x) f (x 0 ) < 1 gelten. Einsetzen von x 0 = 2in f (x) f (x 0 ) : f (x) f (2) = x 2 + x = x 2 + x 6 = (x + 3)(x 2) = x + 3 x 2 Für x < 3 gilt x + 3 < 6 und folglich x + 3 x 2 < 6 x 2. Gilt nun zusätzlich x 2 < 1 6, so folgt f (x) f (2) = x + 3 x 2 < 6 x 2 < 1, woraus δ = 1 6 als mögliche Lösung folgt. 38 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

20 Stetigkeit Aufgabe 12 Beweise mithilfe der ε, δ-definition der Stetigkeit, dass die Funktion f (x) =x 2 + x 2 für x 0 > 0 stetig ist. 39 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Stetigkeit Aufgabe 12 - Lösung I Es soll δ berechnet werden, so dass die folgende Ungleichung für einen Wert x 0 > 0 und ein ε>0 gilt: f (x 0 + δ) f (x 0 ) <ε (x 0 + δ) 2 +(x 0 + δ) 2 (x0 2 + x 0 2) <ε x x 0 δ + δ 2 + x 0 + δ 2 x0 2 x <ε 2x 0 δ + δ 2 + δ <ε. Für x 0 > 0 ist dieser Betrag positiv. Es folgt 2x 0 δ + δ 2 + δ<ε δ 2 +(2x 0 + 1)δ ε<0. 40 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

21 Stetigkeit Aufgabe 12 - Lösung II Lösen der quadratischen Gleichung δ 2 +(2x 0 + 1)δ ε = 0 ergibt δ 1/2 = 2x (2x0 ) ± + ε. 2 2 Es handelt sich um eine nach oben geöffnete Parabel, d.h. die zugehörige Ungleichung δ 2 +(2x 0 + 1)δ ε<0 ist für 2x (2x0 ) ε<δ< 2x (2x0 ) ε erfüllt. Da per Definition δ>0 gelten muss, kann der Bereich der zulässigen δ-werte wie folgt eingeschränkt werden: 0 <δ< 2x (2x0 ) ε c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Differenzierbarkeit 42 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

22 Differenzierbarkeit Differenzenquotient Der Differenzenquotient ist definiert als Δf (x) Δx = f (x) f (x 0) x x c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Differenzierbarkeit Definition der Differenzierbarkeit I Die reelle Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle x 0 D f, wenn der Grenzwert ( ) f (xn ) f (x 0 ) lim x n x 0 x n x 0 existiert. Wir bezeichnen diesen Grenzwert mit f (x 0 ) und nennen ihn die Ableitung von f an der Stelle x 0. f heißt differenzierbar auf X D f, wenn f an jeder Stelle x 0 X differenzierbar ist Zu f lässt sich eine Funktion f mit D f = { x 0 D f : f (x 0 ) existiert } definieren, indem man jedem x 0 den Wert f (x 0 ) zuordnet. Die Funktion f nennt man die Ableitung von f. 44 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

23 Differenzierbarkeit Definition der Differenzierbarkeit II Oftmals wird auch folgende Definition der Differenzierbarkeit verwendet: Die reelle Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle x 0 D f, wenn der Grenzwert ( ) ( ) f (x0 + h) f (x 0 ) f (x0 + h) f (x 0 ) lim = lim h 0 (x 0 + h) x 0 h 0 h existiert. Wir bezeichnen diesen Grenzwert mit f (x 0 ) und nennen ihn Ableitung von f an der Stelle x c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Differenzierbarkeit Stetigkeit und Differenzierbarkeit I Jede differenzierbare Funktion ist stetig. Im Gegenzug ist aber nicht jede stetige Funktion auch differenzierbar. 46 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

24 Differenzierbarkeit Stetigkeit und Differenzierbarkeit II Betragsfunktion: f (x) = x Sei x n = 1 n. Dann ist lim n ( ) f (xn ) f (x 0 ) x n x 0 Sei x n = 1 n. Dann ist lim n ( ) f (xn ) f (x 0 ) x n x 0 = lim n = lim n ( ) 0 + n n 0 ( ) 0 n n 0 = lim n = lim n ( 1 n 1 n ( 1 n ) = 1. 1 n ) = 1. Für x 0 = 0 existiert also kein Grenzwert. Somit ist f in x 0 nicht differenzierbar, obwohl es an dieser Stelle stetig ist. 47 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Differenzierbarkeit Aufgabe 13 Entscheide, ob die folgende Funktion f : R R an der Stelle x 0 = 12 5 differenzierbar ist: f (x) = 5x c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

25 Differenzierbarkeit Stetige Differenzierbarkeit I Eine Funktion f heißt stetig differenzierbar, wenn ihre Ableitung f für alle x D f stetig ist. 49 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Differenzierbarkeit Stetige Differenzierbarkeit II f (x) = { x 2 cos ( ) 1, x 0 x 0, x = 0 Ist in jedem Punkt inkl. x 0 = 0 stetig. ( f 2x cos 1 ) ( (x) ={ x +sin 1 ), x 0 x 0, x = 0 Ist in jedem Punkt außer x 0 = 0 stetig. 50 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

26 Differenzierbarkeit Aufgabe 14 Zeige mithilfe der Definition der Differenzierbarkeit, dass es sich bei der Funktion f (x) =4x 5 um die Ableitung der Funktion f (x) =2x 2 5x + 7 handelt. 51 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Ableitungsregeln 52 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

27 Ableitungsregeln Potenzfunktionen [ x n] = n x n 1 53 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Ableitungsregeln Exponentialfunktionen [ e x] = e x [ a x] = ax ln a 54 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

28 Ableitungsregeln Logarithmusfunktionen [ ] 1 ln x = x [ ] 1 log a x = ln a x [ ] log a x =loga e 1 x 55 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Ableitungsregeln Wurzelfunktionen [ x ] 1 = 2 x [ x ] [ ] = x = 2 x 1 2 [ ] n 1 x = n n x n 1 [ ] n ] x = [x 1 1 n = n x 1 n 1 [ n x m] m = n n x n m [ ] n [ ] x m = x m m n = n x m n 1 56 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

29 Ableitungsregeln Trigonometrische Funktionen I [ ] [ ] 1 sin x =cosx tan x = cos 2 x [ ] [ cos x = sin x tan x] = 1 +tan 2 x [ ] [ ] 1 sin x = cos x cot x = sin 2 x [ ] [ cos x =sinx cot x] = 1 cot 2 x 57 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Ableitungsregeln Trigonometrische Funktionen II [ ] 1 arcsin x = 1 x 2 [ ] 1 arccos x = 1 x 2 [ ] 1 arctan x = x [ ] 1 arccot x = x c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

30 Ableitungsregeln Hyperbolische Funktionen I [ ] 1 tanh x = cosh 2 x [ ] [ sinh x = cosh x tanh x] = 1 tanh 2 x [ ] [ ] 1 cosh x =sinhx coth x = sinh 2 x [ coth x] = 1 coth 2 x 59 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Ableitungsregeln Hyperbolische Funktionen II [ ] 1 arsinh x = x [ ] 1 arcosh x = x + 1 x 1 [ ] 1 artanh x = 1 x 2 [ ] 1 arcoth x = 1 x 2 60 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

31 Ableitungsregeln Ableitungsregeln [ u ± v] = u ± v (Summenregel) [ u v] = u v + u v (Produktregel) [ u v ] = u v u v v 2 [ u ( v(x) )] ( ) = u v(x) (Quotientenregel) v (x) (Kettenregel) [u(x) v(x)] = [e v(x) ln(u(x))] (Logarithmisches Differenzieren) 61 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Ableitungsregeln Aufgabe 15 a) Zeige mithilfe der Definition der Differenzierbarkeit, dass die Reziprokenregel [ ] 1 = v (x) v(x) v 2 (x) gilt. Der Einfachheit halber sei angenommen, dass für die Funktion v auf dem gesamten Definitionsbereich v(x) 0 gilt. b) Leite die Quotientenregel mithilfe der Produktregel und der Reziprokenregel her. 62 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

32 Ableitungsregeln Aufgabe 16 Bestimme die Ableitungen der folgenden Funktionen: a) f 1 (x) =x sin(x) b) f 2 (x) = 1 + x 2 c) f 3 (x) = 3x x 63 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Ableitungsregeln Aufgabe 17 Gegeben seien die beiden Funktionen h 1 (x) = 1 sin 2 (x) und h 2 (x) = 1 cot 2 (x). Bestätige mithilfe der Quotientenregel, dass es sich sowohl bei h 1 als auch bei h 2 um eine Ableitung der Funktion h(x) =cot(x) handelt. 64 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

33 Ableitungsregeln Aufgabe 18 Bestimme mithilfe der Umkehrregel die Ableitung der Funktion arctan x. 65 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018 Ableitungsregeln Aufgabe 19 Bestimme die Ableitungen der folgenden Funktionen: a) f 1 (x) =sin ( 4x 5 x 3 + 5x 2 + x 23 ) b) f 2 (x) = tan (x) arctan (ln (x)) c) f 3 (x) =(sinx) 3x2 x+3 d) f 4 (x) =x e cos (5 x) log 2 x 66 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018

34 Ableitungsregeln Aufgabe 20 Bestimme die Ableitung der folgenden Funktion: ( ( ( f (x) =sin ln tan (3 x + 1) 2))). 67 c 2018 Steven Köhler 20. Juni 2018