Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)

Transkript

1 1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 6: Differenzialrechnung einer Veränderlichen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 22. Dezember 2011) Die Ableitung 2 Definition 6.1 f : I R ist differenzierbar in x I, wenn f (x ) := lim x x f (x) f (x ) x x existiert und endlich ist. f (x ) R ist dann die Ableitung von f in x.

2 Die Ableitungsfunktion 3 Definition 6.2 f : I R heißt differenzierbar, wenn f differenzierbar in allen x I ist. Die Funktion f : I R, x f (x) ist dann die Ableitung von f. Schreibweisen: f (x) = ḟ (x), f (t) = ḟ (t), f = ḟ f = df dx, f = df dt Umformulierung 4 Bemerkung 6.3 f : I R ist genau dann in x I differenzierbar, wenn f (x) = lim x 0 f (x + x) f (x) x R existiert. Mit f := f (x + x) f (x) also: f (x) = lim x 0 f x = df dx (x)

3 Differenzierbarkeit und Stetigkeit 5 Bemerkung 6.4 Stetige Funktionen müssen nicht differenzierbar sein. Satz 6.5 Differenzierbare Funktionen sind immer stetig. Ableitungen und Tangenten 6

4 Die Betragsfunktion Affine/lineare Funktionen 8 Definition 6.6 Eine affine Funktion ist eine Polynomfunktion l : R R vom Grad 1, also eine Funktion, für die es a, b R gibt mit l(x) = ax + b für alle x R. Ist b = 0, so heißt l eine lineare Funktion. Affine Funktionen sind genau die Funktionen, deren Graphen Geraden sind.

5 Interpolation mit Geraden 9 Soll der Graph von l : R R die Gerade durch die beiden Punkte (x 1, y 1 ) und (x 2, y 2 ) sein (mit x 1 x 2 ), so ist die Funktion l gegeben durch l(x) = y 1 + y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) a = y 2 y 1 x 2 x 1 ist die Steigung der Geraden. b = y 1 y 2 y 1 x 2 x 1 x 1 ist die Höhe, auf der die Gerade die y-achse schneidet. Illustration 10

6 Lineare Approximation 11 Bemerkung 6.7 Ist f differenzierbar in x, so approximiert die affine Funktion l : R R mit l(x) = f (x ) + f (x )(x x ) die Funktion f in der Nähe von x sehr gut. Es gilt f (x) l(x) lim = 0. x x x x Newton-Verfahren 12

7 Ableitungen von Polynomen 13 Satz 6.8 Für eine Polynomfunktion f : R R mit f (x) = n a k x k k=0 gilt f (x) = n k a k x k 1. k=1 Wichtige Ableitungen 14 f (x) = sin(x) f (x) = cos(x) f (x) = cos(x) f (x) = sin(x) f (x) = e x f (x) = e x

8 Ableitungsregeln 15 (f + g) (x) = f (x) + g (x) Für c R : (cf ) (x) = c f (x) (fg) (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x) Falls g(x) 0 : ( ) f g (x) = f (x)g(x) f (x)g (x) (g(x)) 2 (f g) (x) = f (g(x)) g (x) (Kettenregel) Ableitungen von Umkehrfunktionen 16 Satz 6.9 Ist f : I R differenzierbar und injektiv, I R ein Intervall und f (x) 0 für alle x I, so ist die Umkehrfunktion f 1 : f (I ) R differenzierbar mit (f 1 ) (y) = 1 f (f 1 (y)) für alle y f (I ).

9 Ableitung der Umkehrfunktion 17 Wurzel- und Logarithmusfunktion 18 Bemerkung 6.10 Für f : ]0, + [ ]0, + [ mit f (x) = x gilt f (x) = 1 2 x. Für g : ]0, + [ R mit g(x) = ln x gilt g (x) = 1 x.

10 Ableitung und Maximum 19 Notwendige Bedingung für Extrema 20 Satz 6.11 Ist f : ] a, b [ R differenzierbar und nimmt f in x ] a, b [ ihr Maximum oder Minimum an, so gilt f (x ) = 0. Korollar 6.12 Ist f : [a, b] R differenzierbar, so nimmt f ihr Maximum bzw. Minimum in a, b oder einem x ] a, b [ mit f (x) = 0 an.

11 Der Mittelwertsatz 21 Satz 6.13 Ist f : I R differenzierbar und I R ein Intervall, und sind a, b I mit a < b, so gibt es ein ζ ] a, b [ mit f (b) f (a) b a = f (ζ). Illustration 22

12 Der Schrankensatz 23 Satz 6.14 Ist f : I R differenzierbar und gilt f (x) M für alle x [a, b] (mit [a, b] I, a < b), so ist f (b) f (a) M(b a). Monotonie von Funktionen Definition 6.15 Eine Funktion f : I R heißt monoton steigend streng monoton steigend, monoton fallend streng monoton fallend wenn für alle a, b I mit a < b f (a) f (b) f (a) < f (b) f (a) f (b) f (a) > f (b) gilt. 24

13 Das Monotoniekriterium Satz 6.16 Eine auf einem Intervall I R differenzierbare Funktion f : I R mit f (x) 0 f (x) > 0 f (x) 0 f (x) < 0 für alle x I ist monoton steigend streng monoton steigend monoton fallend streng monoton fallend. 25 Das Konstanzkriterium 26 Satz 6.17 Ist f : I R differenzierbar auf dem Intervall I R mit f (x) = 0 für alle x I, so ist f konstant (d. h. f (x) = f ( x) für alle x, x I ).

14 Regel von de l Hospital Satz 6.18 Seien f, g : I R auf dem Intervall I differenzierbar, g (x) 0 für alle x I, x R {, + } und lim f (x) = lim g(x) = 0 x x x x oder lim g(x) {, + }. x x Falls f lim (x) x x g (x) R {, + } existiert, ist f (x) lim x x g(x) = lim f (x) x x g (x). Die Regel gilt analog auch für einseitige Grenzwerte. 27 sin(x) x

15 sin(x), x Bemerkung 6.19 Die Exponentialfunktion e x wächst für x + schneller als jede Potenz x k (mit festem k N) e x vs. x 3 e x vs. x 3, x 5, x 7, x 20 1

16 Höhere Ableitungen 31 Definition 6.20 Sei f : I R differenzierbar. Ist f : I R, x f (x) auf I differenzierbar, so heißt f := (f ) : I R die zweite Ableitung von f (f ist zweimal differenzierbar). Ist diese Funktion wieder differenzierbar auf I, so heißt f := (f ) : I R die dritte Ableitung von f (f ist dreimal differenzierbar) usw. Schreibweisen 32 f (k) : I R (k-te Ableitung) d k f dx k : I R (k-te Ableitung) f = f f (0) := f ist die Funktion selber f (1) := f ist ihre (erste) Ableitung

17 In 0 nur einmal differenzierbare Funktion f (x) = { x 2 für x 0 x 2 für x < Polynome 34 Für jede Polynomfunktion p : R R vom Grad höchstens n gilt für jedes x 0 R: p(x) = n k=0 p (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! Ein Polynom p vom Grad n ist also für beliebiges x 0 R durch p(x 0 ), p (x 0 ),..., p (n) (x 0 ) festgelegt.

18 Die Taylor-Formel Satz 6.21 Seien f : I R n-mal differenzierbar auf dem Intervall I R und x 0 I. Dann gilt 35 f (x) = n k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n (x) k! mit lim x x0 R n (x) (x x 0 ) n = 0. Ist f (n + 1)-mal differenzierbar, so gibt es für jedes x I ein ξ zwischen x 0 und x mit R n (x) = f (n+1) (ξ) (n+1)! (x x 0) n+1. Taylor-Polynome 36 Definition 6.22 Ist f : I R (I offenes Intervall) n mal differenzierbar, so heißt für x 0 I das Polynom n k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! das n-te Taylorpolynom von f im Entwicklungspunkt x 0. R n (x) heißt das Lagrange sche Restglied.

19 Taylor-Reihen 37 Definition 6.23 Ist f : I R (I offenes Intervall) beliebig oft differenzierbar, so heißt für x 0 I die Potenzreihe k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! die Taylor-Reihe von f um x 0. f (x) = e 1 x 2 (x 0), f (0) =

20 y + 6y + 9y = 0, y(0) = 0, y (0) = 1: h = y + 6y + 9y = 0, y(0) = 0, y (0) = 1: h =

21 y + 6y + 9y = 0, y(0) = 0, y (0) = 1: h = y + 6y + 9y = 0, y(0) = 0, y (0) = 1: h =

22 y + 6y + 9y = 0, y(0) = 0, y (0) = 1: Lösung Differenzierbarkeit von Potenzreihen Satz Die relle Potenzreihe a k (x x 0 ) k k=0 habe Konvergenzradius R > 0. Dann ist die von ihr definierte Funktion f :]x 0 R, x 0 + R[ R mit f (x) = k=0 a k(x x 0 ) k differenzierbar mit f (x) = ka k (x x 0 ) k 1 = (k+1)a k+1 (x x 0 ) k. k=1 k=0 Der Konvergenzradius der abgeleiteten Potenzreihe ist ebenfalls R.

23 Die Exponentialfunktion Satz 6.25 Es gibt genau eine differenzierbare Funktion y : R R mit y = y und y(0) = 1. Diese Funktion heißt die Exponentialfunktion 45 exp : R R. Schreibweise: exp(x) = e x ; exp(1) = e 1 = e heißt die Eulersche Zahl. Also: e = ! + 1 2! + 1 3! Eigenschaften der Exponentialfunktion (0) exp(x) = k=0 x k k! (Taylor-Reihe um x 0 = 0) (1) exp (x) = exp(x), exp(0) = 1 46 (2) exp(x) > 0 (3) exp(x 1 + x 2 ) = exp(x 1 ) exp(x 2 ) (4) exp( x) = 1 exp(x) (5) exp : R R ist streng monoton wachsend (6) lim x exp(x) = (7) lim x exp(x) = 0

24 Sinus- und Cosinus-Funktion 47 Satz 6.26 Es gibt genau eine Funktion y : R R mit y = y, y(0) = 0 und y (0) = 1. Diese Funktion heißt die Sinus-Funktion: sin : R R Ihre Ableitung heißt Cosinus-Funktion: cos : R R Bezug zur Trigonometrie 48 Bemerkung 6.27 Man kann zeigen, dass die so definierten Funktionen Sinus und Cosinus mit den aus der Trigonometrie bekannten Sinus- und Cosinusfunktionen übereinstimmen: (cos(t), sin(t)) R 2 ist der Punkt, zu dem man kommt, wenn man sich in (1, 0) startend t bzw. t Einheiten auf dem Einheitskreis gegen bzw. im Uhrzeigersinn bewegt (je nachdem, ob t 0 oder t < 0 ist).

25 Eigenschaften von Sinus und Cosinus 1. sin(x) = m=0 cos(x) = m=0 ( 1) m (2m+1)! x 2m+1 ( 1) m (2m)! x 2m (Taylor-Reihen um x 0 = 0) 2. sin(x + 2πk) = sin(x) (k N) 3. cos(x + 2πk) = cos(x) (k N) 4. sin (x) = cos(x), cos (x) = sin(x) 5. sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 6. sin( x) = sin(x), cos( x) = cos(x) 7. sin(x 1 + x 2 ) = sin(x 1 ) cos(x 2 ) + cos(x 1 ) sin(x 2 ) 8. cos(x 1 + x 2 ) = cos(x 1 ) cos(x 2 ) sin(x 1 ) sin(x 2 ) 9. sin ( ( x + 2) π = cos(x), cos x + π 2) = sin(x) 10. π 2 ist die kleinste positive Nullstelle von cos(x). 49 Harmonische Schwingungen f (t) = a cos(ωt)+b sin(ωt) = a 2 + b 2 cos(ωt Φ) mit a = 1, b = 3, ω = 20, Φ = π 3

26 Taylor-Approximation für Sinus 51 sin(x) = m k=0 ( 1) k (2k+1)! x 2k+1 + R 2m+1 (x) = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! + + R 2m+1(x) mit Restgliedern R 2m+1 (x) = R 2m+2 (x) m 0, genauer: R 2m+1 (x) x 2m+2 (2m + 2)! m 0 R 2m+2 (x) x 2m+3 (2m + 3)! m 0 Taylorpolynom für sin(x) (x 0 = 0, n = 1)

27 Taylorpolynom für sin(x) (x 0 = 0, n = 3) Taylorpolynom für sin(x) (x 0 = 0, n = 5)

28 Taylorpolynom für sin(x) (x 0 = 0, n = 7) Taylorpolynom für sin(x) (x 0 = 0, n = 9)

29 57 Taylorpolynom für sin(x) (x 0 = 0, n = 11) Taylorpolynom für sin(x) (x 0 = 0, n = 13)

30 59 Taylorpolynom für sin(x) (x 0 = 0, n = 15) Taylorpolynom für sin(x) (x 0 = 0, n = 17)

31 61 Taylorpolynom für sin(x) (x 0 = 0, n = 25) Taylorpolynom für sin(x) (x 0 = 0, n = 99)

32 Taylor-Approximation für Cosinus 63 cos(x) = m k=0 ( 1) k (2k)! x 2k + R 2m (x) = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 6! + + R 2m(x) mit Restgliedern R 2m (x) = R 2m+1 (x) m 0, genauer: R 2m (x) x 2m+1 (2m + 1)! m 0 R 2m+1 (x) x 2m+2 (2m + 2)! m 0 Ableitungen der trigonometrischen Funktionen/Umkehrfunktionen 64 sin (x) = cos(x) cos (x) = sin(x) tan (x) = 1 + tan 2 (x) cot (x) = (1 + cot 2 (x)) arcsin (x) = 1 1 x 2 arccos (x) = 1 1 x 2 arctan (x) = 1 1+x 2 arccot (x) = 1 1+x 2

33 Die Hyperbelfunktionen 65 Definition 6.28 Die Funktionen und cosh : R R, sinh : R R, cosh(t) = et + e t 2 sinh(t) = et e t heißen Cosinus hyperbolicus bzw. Sinus hyperbolicus. 2 Cosinus hyperbolicus

34 Sinus hyperbolicus Die Einheitshyperbel