Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt:

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1 Aufgabe Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion f a nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an der Stelle. Der Definitionsbereich ergibt sich damit zu: Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt: 1.Ableitung: Allgemeine Tangentengleichung: Da die Tangente durch den Ursprung geht, ist (x y) = (0 0) ein Punkt der Tangenten und muss somit die Tangentengleichung erfüllen.durch Einsetzen in die allg. Tagentengleichung erhält man: e 1

2 Hieraus ergibt sich: und damit B( ) Die Berührpunkte liegen auf der Kurve mit der Gleichung: 1.. Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion g nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an der Stelle x = e. Der Definitionsbereich ergibt sich damit zu: 2

3 Extrempunkte und Monotonieverhalten Extrempunkte kommen nur an Stellen in Frage, an denen die 1. Ableitung der Funktion f den Funktionswert 0 annimmt, d.h. ist eine notwendige Bedingung für das Vorliegen von Extrema (aber keine hinreichende Bedingung!!). Damit es sich bei den Nullstellen von f (x) auch tatsächlich um Extrempunkte der Funktion f handelt, muss des Weiteren ein Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung von g vorliegen (hinreichende Bedingung). Liegt an einer Nullstelle von f (x) kein Vorzeichenwechsel von f vor, dann handelt es sich lediglich um einen Sattelpunkt. Zunächst wird die Funktion f also nach der Quotientenregel abgeleitet und anschließend die Nullstellen dieser 1. Ableitung bestimmt: besitzt keine Nullstellen und damit hat die Funktion f keine Extremstellen. Nun müssen noch Monotonie-Intervalle der Funktion f bestimmt werden. Das Monotonieverhalten einer Funktion kann sich nur an Extremstelle und an Definitionslücken der Funktion verändern. Da es bei dieser Funktion keine Extremstellen gibt, muss nur das Monotonieverhalten von f rechts und links der Definitionslücke x = e untersuchst werden. x 1 e f (x) + nicht definiert f(x) - + Damit ist die Funktion f streng monoton steigend auf. Wendepunkte und Krümmungsverhalten Wendepunkte kommen nur an Stellen in Frage, an denen die 2. Ableitung der Funktion f den Funktionswert 0 annimmt, d.h. ist eine notwendige Bedingung für das Vorliegen von Wendepunkten (aber auch hier wieder keine hinreichende Bedingung!!).

4 Damit es sich bei den Nullstellen von f (x) auch tatsächlich um Wendepunkte der Funktion f handelt, muss des Weiteren ein Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung von f vorliegen (hinreichende Bedingung). Zunächst wird Nullstellen dieser 2. Ableitung bestimmt: also ein weiteres Mal abgeleitet und anschließend die Der Bruch wird 0, wenn der Zähler 0 wird. D.h. es reicht aus die Nullstellen des Terms im Zähler zu bestimmen: ist somit mögliche Wendestelle der Funktion f, da die notwendige Bedingung von f (x)=0 erfüllt ist. Damit es sich tatsächlich um eine Wendestelle handelt, muss an dieser Stelle noch eine Vorzeichenwechsel der 2.Ableitung f (x) vorliegen. x ¼ 1/e 1 f (x) f(x) Rechtsgekrümmt Wendepunkt linksgekrümmt 4

5 Da an der Stelle ein Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung vorliegt und somit auch die hinreichende Bedingung erfüllt ist, handelt es sich bei der Stelle um eine Wendestelle. Nun muss als nächstes die zugehörige y-koordinate durch Einsetzen der Wendestelle in die Funktionsgleichung von f ermittelt werden: Der Wendepunkt hat damit die Koordinaten: W( ) Zur Bestimmung der Krümmungsintervalle: Das Krümmungsverhalten einer Funktion kann sich nicht nur an Wendepunkten verändern, sondern auch an Definitionslücken der Funktion. Somit muss bei der Bestimmung der Krümmungsintervalle nicht nur die Krümmung der Funktion rechts und links eines Wendepunktes untersucht werden, sondern auch rechts und links von Definitionslücken! x 1/4 1/e 1 e f (x) nicht - definiert f(x) rechtsgekrümmt Wendepunkt linksgekrümmt - rechtsgekrümmt Damit ist die Funktion f rechtsgekrümmt im und linksgekrümmt im 5

6 1.4. Die allgemeine Normalengleichung lautet: Die Normale soll durch den Punkt W( ) verlaufen: - Somit liegt unser x 0 mit schon fest. - f(x 0 ) =, nämlich genau die y-koordinate zur Stelle - f (x 0 ) lässt sich einfach berechnen durch Einsetzen von in die Gleichung der 1. Ableitung von f: Setzt man alle Werte in die allgemeine Normalengleichung ein, ergibt sich: 6

7 Aufgabe Bestimmung des Grenzverhaltens von g: Die Funktion g ist auf umkehrbar, wenn sie auf streng monoton ist. Dazu betrachtet man das Verhalten der 1. Ableitung auf. Für x ist und Damit ist g streng monoton fallend auf und damit umkehrbar. Bestimmung der Umkehrfunktion: 7

8 Bestimmung des Definitionsbereichs von g -1 : 1.Bedingung: 2. Bedingung: (Der Term unter der Wurzel darf nicht negativ sein) W g = D g = Aufgabe : Es gibt vier Bedingungen, da die Funktionswerte und die Steigungen an den Rändern übereinstimmen müssen: Aus der ersten Bedingung folgt direkt, dass d=0 ist. Aus der dritten Bedingung folgt, dass c= ist. Wir setzen für c= ein und ziehen von der oberen die untere Gleichung ab: 8

9 Somit ergibt sich für Aufgabe 4: Gesucht ist der maximale Flächeninhalt: Der Umfang beträgt: Einsetzen in A(x,y) ergibt die Zielfunktion: Da es sich um eine nach unten geöffnete Parabel handelt, ist die lokale Maximumstelle am Scheitel auch gleichzeitig die globale Maximumstelle. Setzt man den x-wert in den Term für den Umfang ein, erhält man, dass y auch ungefähr 1,4 beträgt. Somit gilt für die Breite und die Höhe: Aufgabe 6: Gerade durch den Punkt (4 1) Bedingung, da sonst kein Dreieck mit den Achsen 9

10 Achsenabschnitte: y-achse: x-achse: Summe der Katheten in Abhängigkeit von m: Zielfunktion: Bestimmung der lok. Extremstellen: und somit also liegt an der Stelle ein lok. Minimum vor. Berechnung der Länge Berücksichtigung der Randstellen: Da die Grenzwerte an den Rändern kleiner sind als das lokale Minimum 9, ist das lokale Minimum bei gleichzeitig auch globales Minimum. Polynomdivision, Ergebnis: 4,08 Aufgabe 7 10

11 Aufgabe 8.1. Eine Ebenengleichung durch die Punkte A, B und M lässt sich einfach mit Hilfe der Dreipunkteform aufstellen: Als Aufpunkt wählen wir Punkt A. Die Richtungsvektoren sind dann und Um nun die Koordinatenform der Ebene zu erhalten, muss zunächst eine Normalengleichung der Ebene e 2 gefunden werden. Als Aufpunkt nehmen wir wieder Punkt A. Einen Normalenvektor der Ebene erhält man mit Hilfe des Vektorprodukts (Kreuzprodukt). Hier sollte man den Normalenvektor schon kürzen, da es das Rechnen später erleichtert: Damit ergibt sich folgende Normalengleichung der Ebene e 2 : Ausmultiplizieren mit dem Skalarprodukt ergibt folgende Koordinatenform: 11

12 .2. A B M D C Da M der Mittelpunkt der Diagonalen ist, ist die Strecke genauso lang wie die Strecke. Daher erhält man den Punkt C durch Addieren des Vektors ( ) an den Vektor : Der Punkt D berechnet sich analog: Ein Rechteck ist ein besonderes Parallelogramm bei dem die Seiten senkrecht aufeinander stehen. Es ist also zu zeigen, dass zwei Seiten senkrecht aufeinander stehen. Die Seiten stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt: 12

13 .. Zur Bestimmung von Schnittgeraden zwischen 2 Ebenen verwendet man eine Parametergleichung von e 1 und eine Normalengleichung von e 2 (oder umgekehrt). Zur Bestimmung der Schnittgeraden benötigt man zunächst eine Gleichung der x 1 -x 2 -Ebene: Die Gleichung der x 1 -x 2 -Ebene ist eine Parameterform und die Normalengleichung der Ebene e 1 ist in der Aufgabenstellung schon gegeben. Die Gleichung der Schnittgerade ermittelt man dann durch Einsetzen der Parametergleichung der x 1 -x 2 -Ebene in die Normalengleichung der Ebene e 1: Durch Einsetzen von in die Parametergleichung der x 1 -x 2 -Ebene wird eliminiert und man erhält die Gleichung der Schnittgeraden g S : 1

14 .4. a) Gesucht ist der Abstand vom Punkt M zur Ebene e 1 : Dazu muss zunächst die Gerade durch den Punkt M aufgestellt werden, die senkrecht auf der Ebene e 1 steht (Lotgerade). Als Aufpunkt der Lotgeraden nimmt man Punkt M und als Richtungsvektor der Geraden bietet sich der Normalenvektor der Ebene e 1 an, da dieser ja gerade senkrecht auf der Ebene e 1 steht. Die Gleichung der Lotgeraden ergibt sich damit zu: Durch Einsetzen der Lotgeraden in die Normalengleichung der Ebene e 1 ergibt sich dann der Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Ebene e 1 (Lotfußpunkt): Einsetzen von in die Gleichung der Lotgeraden ergibt den Lotfußpunkt P: Die Länge des Vektors ) ergibt den Abstand von M zur Ebene e 1. Der Abstand von M zur Ebene e 1 beträgt 8,94 m. Die Vorschrift ist nicht erfüllt. 14

15 b) Gesucht ist der Schnittpunkt der Geraden, die die Sonnenstrahlen beschreibt mit der Ebene e 1. Dazu muss zunächst die Gleichung der Geraden aufgestellt werden, die den Einfall der Sonnenstrahlen beschreibt. Aufpunkt der Geraden ist der Punkt A und Richtungsvektor ist der Vektor, der die Richtung beschreibt aus welcher die Sonnenstrahlen eintreffen: Durch Einsetzen der Geraden g S in die Normalengleichung der Ebene e 1 : Kann zunächst bestimmt werden: Durch Einsetzen von in die Geradengleichung der Sonnenstrahlen erhält man den Schnittpunkt der Geraden g s und der Ebene e 1, was dem gesuchten Punkt A entspricht. Aufgabe 9 (vgl. ABI 2005 NT Aufgabe 2) 15

16 Aufgabe / 1/ A 1/ B C Auszahlung Gewinn X 1/2 1/2 1/2 1/6 1/ 1/2 1/ /4 a) b) Bedingte Wahrscheinlichkeit: c) Wahrscheinlichkeitsverteilung: X P(X) 1 Damit ergibt sich folgender Erwartungswert E(X): 16

17 4.2. a) Bernoulli-Formel: ; k=2 b) Man muss mindestens 14 Mal spielen. c) (Form der Tabelle beachten!) (Tabellenwert: ) 17

18 Aufgabe 11: a) Nur A tritt ein b) A tritt ein c) Entweder A oder B tritt ein d) A oder B tritt ein e) Weder A noch B tritt ein f) A und B treten nicht alleine ein g) B tritt nicht ein h) B tritt nicht alleine ein Aufgabe 12: X=x P(X=x) Hinweis: Die Wahrscheinlichkeiten lassen sich leicht mit einem Baumdiagramm ermitteln. E(X)=2,875 V(X)=1,16 Ali, Tutor Unentschieden Y=y A T U P(Y=y) Aufgabe 1 W: Sie hört den Wecker P: Sie kommt pünktlich W (0,05) (0,95) P(0,60) (0,40) P(0,10) (0,90) 18

19 Bedingte Wahrscheinlichkeit: 19