Im Jahr t = 0 hat eine Stadt Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b

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1 Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und t die Zeit in Jahren. Bestimmen Sie die Konstanten a und b. (b) Nehmen Sie nun für die Einwohnerzahl z als Funktion der Zeit t exponentielles Wachstum an: z(t) = Ae Bt und bestimmen Sie die Konstanten A und B. (Geben Sie die Resultate jeweils auf zwei Dezimalstellen gerundet an.) (a) Hier ist das Gleichungssystem = 0 + b = 15a + b zu lösen. Es folgt: b = und a = ,67 (b) Das Gleichungssystem lautet nun Es folgt: A = und B = ln(2) 15 0, = Ae = Ae 15B 1

2 Aufgabe 2: (a) Zeigen Sie die folgende Beziehung für Binomialkoeffizienten: ( ) ( ) ( ) n n n =. k k + 1 k + 1 (b) Berechnen Sie für x,y R den Term (x + y) 7, d.h. stellen Sie den Term so dar, wie Sie es etwa von den binomischen Formeln kennen: (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. Hinweis: Falls Sie den binomischen Lehrsatz nicht Ihre Formelsammlung aufgenommen haben, finden Sie in hier: n ( ) n (a + b) n = a n k b k. k k=0 (a) (siehe auch Übung 4, Aufgabe 1(a)) ( n ( k) + n ) k+1 = n! (n k)!k! + n! (n k 1)!(k+1)! = n!(k+1)+n!(n k) (n k)!(k+1)! = n!(k+1+n k) (n k)!(k+1)! = (b) Mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes und des Pascalschen Dreiecks folgt direkt: (x + y) 7 = x 7 + 7x 6 y + 21x 5 y x 4 y x 3 y x 2 y 5 + 7xy 6 + y 7. n!(n+1) (n k)!(k+1)! = ( ) n+1 k+1 2

3 Aufgabe 3: Ein Unternehmer bietet eine Ware zum Preis p auf einem Markt an, wobei 0,8 p 4 vorausgesetzt wird. Die Gewinnfunktion ist π(p) = pe 2p2. (a) Bestimmen Sie den Preis p max, der den Gewinn maximiert, sowie den maximalen Gewinn. (b) Nun bietet der Unternehmer die Ware zusätzlich auf einem zweiten Markt, der vom ersten Markt unabhängig ist, zum Preis p 2 an. Die Gewinnfunktion des zweiten Marktes ist π 2 (p 2 ) = p 2 e 2p2 2, und p 2 liegt im Intervall [0,1;1]. Stellen Sie die Funktion π g (p,p 2 ) für den Gesamtgewinn des Unternehmers auf und berechnen Sie die Preise p max und p 2,max, die den Gesamtgewinn maximieren. (Die einzelnen Schritte, die zur Bestimmung des Maximums führen, sind jeweils zu dokumentieren. Geben Sie die Resulate bitte mit einer Rundung auf zwei Dezimalstellen an.) (a) Aus der notwendigen Bedingung für ein lokales Extremum π (p) = 0 folgt: e 2p2 (1 4p 2 ) = 0 p = ± 1 2. Beide Werte sind hier zu verwerfen, da sie nicht im zulässigen Bereich 0,8 p 4 liegen. Das Maximum liegt also an einem der Intervallränder. Man findet π(0,8) 0,22 und π(4) < Das gesuchte Maximum liegt also bei p max = 0,8 und hat den Funktionswert π(p max ) 0,22. (b) Für unabhängige Märkte ist der Gesamtgewinn gleich der Summe der Einzelgewinne: π g (p,p 2 ) = pe 2p2 + p 2 e 2p2 2 und man kann die gewinnmaximierenden Preise für beide Märkte getrennt berechnen. Für den ersten Markt wurde bereits in (a) p max = 0,8 bestimmt. Für π 2 (p 2 ) findet man ein lokales Extremum im zulässigen Bereich bei p 2 = 0,5 (notwendige Bedingung: siehe (a); hinreichende Bedingung: f (p 2 ) = (16p p 2)e 2p2 2 f (0,5) < 0) mit dem Funktionswert f(0, 5) 0, 30. Dieser Wert ist größer als die Funktionswerte an den Randstellen: f(0,1) 0,10 und f(1) 0,14. Es folgt schließlich p max = 0,8 und p 2,max = 0,5. 3

4 Aufgabe 4: Betrachten Sie eine Folge von 12 Zahlungen in Höhe von jeweilse 100, die immer am Ende eines Jahres erfolgen (siehe Abb. 1). Die Verzinsung erfolge jährlich (Zinsgutschrift am Jahresende) mit 4% jährlichem Zinssatz. (a) Berechnen Sie den gesamten zukünftigen Wert der Annuität unmittelbar nach der letzten Zahlung. (b) Berechnen Sie den Gesamtbarwert der Annuität zum Beginn des ersten Jahres (also ein Jahr vor der ersten Zahlung). Berechnung Barwert Berechnung zukünftiger Wert 1. Jahr 2. Jahr 3. Jahr 4. Jahr 5. Jahr 6. Jahr 7. Jahr 8. Jahr 9. Jahr 10. Jahr 11. Jahr 12. Jahr Zeit (Zahlung in Euro) Abbildung 1: Darstellung der Annuität (a) Für den zukünftigen Wert F von n Zahlungen der Höhe a (mit jährlicher Zinsrate r) gilt: n 1 F = a(1 + r) i = a r [(1 + r)n 1]. i=0 Für das konkrete Zahlenbeispiel folgt: F = 1502,58. (b) Für den Gesamtbarwert P gilt: P = Im Zahlenbeispiel: P = 938, 51. n i=1 a (1 + r) i = a [ ] 1 1 r (1 + r) n. 4

5 Aufgabe 5: Bestimmen Sie den Wahrheitsgehalt folgender Aussagen. Wenn Sie einer Aussage den Wahrheitsgehalt falsch zuordnen, begründen Sie Ihre Einschätzung. (Für die alleinige Angabe von falsch ohne Begründung gibt es keine Punkte.) (a) Die Zahlenfolge a n = ( 1) n besitzt zwei Grenzwerte: a 1 = 1 und a 2 = 1. (b) Jede Funktion, die positive und negative Funktionswerte besitzt, hat mindestens eine Nullstelle. (c) Die Funktion f(x) = ax+b (mit a,b R) nimmt auf dem Intervall [0;1] weder Maximum, noch Minimum an. (d) Der Betrag einer reellen Zahl ist immer positiv. (e) Der zukünftige Wert eines Geldbetrages nach einem Jahr ist bei stetiger Verzinsung (Zinsrate 0 < r 1) immer höher als bei unterjähriger Verzinsung mit n N Zinsgutschriften pro Jahr. (f) Ein lineares Gleichungssystem Ax = b mit det(a) 0 kann unendlich viele Lösungen besitzen. Hier ist A eine n n Matrix, b ein Vektor mit n Einträgen und x der Vektor mit den n Unbekannten. (a) Falsch. Eine Zahlenfolge besitzt maximal einen Grenzwert. (b) Falsch. Gilt nur für stetige Funktionen. (c) Falsch. Jede stetige Funktion nimmt auf einem Intervall Maximum und Minimum an. (d) Falsch. Positiv oder Null. (e) Wahr. Die Folge (1+r/n) n (unterjährige Verzinsung mit Zinsrate r) ist monoton steigend und konvergiert für n gegen e r (stetige Verzinsung). Es gilt also für alle n: (1 + r/n) n < e r. (f) Falsch. Wenn det(a) 0, hat das System immer eine eindeutige Lösung. 5

6 Aufgabe 6: Betrachten Sie das Gleichungssystem x + y + z = 1 x + y = 1 2x + y + 2z = 0. (a) Berechnen Sie die Koeffizientendeterminante des Systems. Was können Sie aus dem Resultat über die Lösbarkeit des Gleichungssystems ableiten? (b) Bestimmen Sie die vollständige Lösung des Systems. (a) = 1 (z.b. Entwicklung nach dritter Spalte). Wegen det(a) 0 ist das System also eindeutig lösbar. (b) Die (eindeutige) Lösung findet man durch den Gauß-Algorithmus oder die Cramersche Regel: x = 3 y = 2 z = 2. 6