Kapitel 3 Mathematik. Kapitel 3.3. Algebra Gleichungen

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1 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kapitel 3 Mathematik Kapitel 3.3 Algebra Gleichungen Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 877 Nidfurn Ausgabe: Februar 009 Version Februar 014 Version

2 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Inhaltsverzeichnis 3 Mathematik 3 Mathematik 3.3 Algebra Gleichungen Gleichungen mit einer Variablen Einführung und allgemeine Regeln Das Lösen von einfachen Gleichungen Lösungsschemas 1. Grades mit einer Unbekannten 3.3. Gleichungen mit mehreren Variablen Additions- und Subtraktionsmethode Gleichsetzungsmethode Einsetzmethode Quadratische Gleichungen Gleichungen. Grades mit einer Unbekannten Textgleichungen Mathematik BiVo Probleme umfassend bearbeiten Verstehen und anwenden Erinnern TD Technische Dokumentation BET Bearbeitungstechnik TG Technologische Grundlagen 3.1 Mathematik Arithmetische Operationen - Operationen mit bestimmten und allgemeinen Zahlen - Berechnungen mit Zehnerpotenzen - Umrechnungen von Grössenordnungen mit Massvorsätzen Logische Operationen - Duales Zahlensystem - Wahrheitstabelle - Grundoperationen der Logik: - AND, OR, NOT Algebraische Gleichungen - Gleichungen 1. Grades und rein quadratische Gleichungen - Gleichungen. Grades mit Bezug zu den Fächern dieses Lehrplans 3.1. Geometrische Grössen - Länge, Fläche, Volumen - Seiten im rechtwinkligen Dreieck - (Pythagoras) - Trigonometrische Funktionen: - Sinus, Cosinus, Tangens (0-90 ) - Darstellung der Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion im Einheitskreis und als Liniendiagramm 3.1. Grafische Darstellungen - Diagrammarten - Darstellungen im rechtwinkligen Koordinatensystem mit linearen und nichtlinearen Massstäben 3.1. Grafische Darstellungen - Strecke, Pfeil als Mass einer Grösse (Vektor) - Addition und Subtraktion mit zwei Grössen - Addition und Subtraktion mit mehreren Grössen EST Elektrische Systemtechnik KOM Kommunikationstechnik Februar 014 Version

3 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Algebra Gleichungen Gleichungen mit einer Variablen Einführung und allgemeine Regeln Werden Grössen miteinander durch ein Gleichheitszeichen verbunden, so entsteht eine Gleichung. Eine Gleichung ist nur richtig, wenn beide Seiten wertmässig gleich sind, z.b: = 11 Ist in einer Gleichung ein Glied unbekannt, so wird die Gleichnung Bestimmungsgleichung genannt; die unbekannte (x) kann bestimmt werden. z.b: + X = 5 dabei ist X = 3 denn + 3 = 5 Gleichungen werden unterschieden nach dem Grad der Unbekannten: Gleichungen 1. Grades mit einer Unbekannten (Lineare Gleichungen) ax + b = c Gleichungen. Grades mit einer Unbekannten (Quadratische Gleichungen) ax + bx = c Treten bei einer Gleichung mehrere Unbekannten auf, so bezeichnet man diese der Reihe nach mit x, y, z, u, v und w. Eine Gleichung kann anschaulich mit einer Waage verglichen werden, welche im Gleichgewicht ist. Die Waage bleibt auch im Gleichgewicht, wenn auf beiden Seiten (Waagschalen) die gleiche veränderung stattfindet, z.b. kg hinzugefügt werden; analog gilt dies auch bei den Gleichungen Februar 014 Version

4 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 4 Die Gleichung bleibt erfüllt, wenn man auf beiden Seiten: GLEICH BEHANDELT = 1 Grundgleichung 1. die gleiche Zahl addiert, z.b. mit der Zahl = = 17. die gleiche Zahl subtrahiert, z.b. mit der Zahl = = 9 3. die gleiche Zahl multipliziert, z.b. mit der Zahl ( 4 + 8) = 1 4 = 4 4. die gleiche Zahl dividiert, z.b. mit der Zahl 4 ( 4 + 8) : 4 = 1 : 4 3 = = 1 5. die Seiten vertauscht 1 = = Februar 014 Version

5 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Das Lösen von einfachen Gleichungen Das heisst, es ist der Wert der unbekannten Grösse (x) zu bestimmen. Zunächst ist die Gleichung zu ordnen, dass auf der einen Seite nur noch die Unbekannte (x), auf der anderen Seite nur noch die bekannten Glieder zu stehen kommen - ohne das Gleichgewicht zu stören! Oberster Grundsatz für das Auflösen von Gleichungen ist: Beide Seiten müssen gleich behandelt werden Merke: Eine Gleichung bleibt eine wahre Ausssage, wenn man beide Seiten in gleicher Weise verändert, d.h., man kann auf beiden Seiten die gleiche Zahl addieren, oder subtrahieren, mit der gleichen Zahl multiplizieren oder durch die gleiche Zahl dividieren. (Ausnahme: Durch Null darf man nicht dividieren) Durch geeignete Anwendung der vier Grundoperationen lässt sich die Unbekannte wie folgt bestimmen: 1. Addition x 15 = 8 x = Probe x = = x = x + 3 = Probe x = = Februar 014 Version

6 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 6. Subtraktion x + 3 = 5 x = 5 3 x = 7 = x + 7 = x + 5 = x x = 5 3. Multiplikation x 5 x 5 5 = 9 = 9 5 x = 45 x x = 5 = 5 x = Division 3 x = 7 3x : 3 = 7 : 3 3x 3 = 7 3 x = 9 x = 14 x = 14 x = Februar 014 Version

7 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 7 Beim Wechseln der Ausdrücke von der einen nach der anderen Seite kann folgende Feststellung abgeleitet werden: Bisherige Lösung x + 3 = 1 x = 1 3 x = 9 Vereinfachte Lösung x + 3 = 1 x = 1 3 x = 9 x 5 = x = + 5 x = 7 x 5 = x = + 5 x = 7 Beim Ordnen der Gleichungen wechselt man die Grössen von der einen Seite auf die andere Seite, indem man das Vorzeichen ändert: Aus + wird - und aus - wird Februar 014 Version

8 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Lösungsschemas 1. Grades mit einer Unbekannten Gleichung mit ganzen Zahlen Beim Auflösen einer Gleichung mit einer Unbekannten ist wie folgt vorzugehen: Aufgabe x =? Lösung Glieder austauschen (x-glieder links und Zahlen rechts) Unbekannte isolieren, dabei alle Rechnungen mit denn ganzen Zahlen ausführen 5 x + 3 = 18 5 x = x = 15 x = 15 5 x = 3 Probe Für x = 3 in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, muss zur identischen Gleichung führen = = = Februar 014 Version

9 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Beispiele mit ganzen Zahlen Beispiel 1 5x 1+ 3x 13 = 30 5 x + 3x = x = 64 8 x = 8 Wie schon behandelt sind die Variabeln und die ganzen Zahlen zu isolieren und zusammenzufassen. Beispiel Beispiel 3 7x 38 = 3 x 7 x + x = x = 35 x = x = x +15 = 8 x 15 = 8 x = x = 3 Wie schon behandelt sind die Variabeln und die ganzen Zahlen zu isolieren und zusammenzufassen. Unechter Bruch in eine gemischte Zahl umwandeln (Zahl + Bruch). Bei Bedarf kann auch die gesamte Gleichung mit 1) ( erweitert werden. Wie schon behandelt sind nachher die Variabeln und die ganzen Zahlen zu isolieren und zusammenzufassen. Beispiel 4 3a + x 4b = 5 x b x 5x = b 3 a + 4b 3x = 3b 3a / : 3 x = b a / ( 1) x = a b Isolieren der Zahlen und Variablen. Durch drei dividieren. Multiplikation mit ( 1) Februar 014 Version

10 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Gleichung mit Klammerausdrücken Beim Auflösen einer Gleichung mit einer Unbekannten ist wie folgt vorzugehen: Aufgabe x =? 7(3x + 1) 18 = 3 (4x ) + 13 Lösung Klammer auflösen 1x = 1 x Ordnen 1x 1x = Glieder zusammenfassen 9 x = 18 Unbekannte isolieren x = Probe Für x = in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, muss zur identischen Gleichung führen. 7(3 + 1) 18 = 3 (4 ) = = Februar 014 Version

11 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Beispiele mit Klammerausdrücken Beispiel 1 40 ( x + 1)( + x) = 4x ( + x)( x 1) 40 [x + + x + x] = 4x [x + x x] 40 x x x = 4x x x + + x 40 x x = 4 x x + + x x x 4x + x x = x = 36 6 x = 36 x = 6 Klammern ausrechnen. Klammer nachher auflösen. Zum Glück kommt x auf beiden Seiten mit der gleichen Wertung vor und fällt somit weg! Sortieren der ganzen Zahlen und Variablen. Zusammenfassen. Multiplikation mit ( 1). Variable isolieren. Beispiel ( a + x) b + ( b x) a = ab ab + bx + ab ax = ab bx ax = ab ab ab bx ax = ab x( b a) = ab x = x = x = ab ( b a) ab ( b a) ab ( a b) Klammern ausrechnen. Sortieren der ganzen Zahlen und Buchstaben und Variablen. Zusammenfassen. x ausklammern. Dividieren durch ( a) b. Multiplikation von Zähler und Nenner mit ( 1) Februar 014 Version

12 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Gleichung mit gebrochenen Zahlen Beim Auflösen einer Gleichung mit einer Unbekannten ist wie folgt vorzugehen: Aufgabe x =? 8 + 8x ( x + 1) = Lösung Vereinfachen, Kürzen 8(1 + x) (1 + x) 18 ( x + 1) = ( x + 1) = Nenner beseitigen durch Erweiterung mit dem k.g.v. = 6. 3(1 + x ) 6 18 = (1 + x ) Klammer ausrechnen bzw- auflösen x 108 = + x + 4 Sortieren der ganzen Zahlen und Variablen. 3x x = Zusammenfasen und x isolieren. x = 131 Probe Für x = 131 in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, muss zur identischen Gleichung führen ( ) 18 = = = = Februar 014 Version

13 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Beispiele mit gebrochenen Zahlen Beispiel 1 1 x = 0 1 x 4 = x 4 = 1 x = 4 1 x = 48 Sortieren der ganzen Zahlen und Variablen. Zusammenfassen. x ausklammern. Multiplikation mit 4. Beispiel 6 4x + = 4 x x + 1 x 6(x)( x + 1) 4x(x)( x + 1) (x)( x + 1) + = 4(x)( x + 1) x x + 1 x 6( x + 1) + 4x(x) = 4 (x)( x + 1) ( x + 1) 6x + x = 8x + 8x 4x 4 6 x + 6 = 8x 4x 4 6 x 8x + 4x = 4 6 x = 10 x = 5 Erweitern der Gleichung mit dem kgv = x( x + 1) und damit kann der Nenner eliminiert werden. Kürzen und Klammern auflösen. Zum Glück kommt x auf beiden Seiten mit der gleichen Wertung vor und fällt somit weg! Sortieren der ganzen Zahlen und Variablen. Zusammenfassen Februar 014 Version

14 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Gleichungen mit mehreren Variablen Bilden Gleichungen mit mehreren Variablen ein Gleichungssystem, so kann man die Lösungsvariablen leicht rechnerisch bestimmen. In der Regel wird die Zahl der Gleichungen mit denen der Variablen übereinstimmen. Bei der rechnerischen Bestimmung der Lösungsvariablen unterscheidet man 3 Verfahren. Mit Hilfe dieser Verfahren versucht man, aus dem Gleichungssystem durch Umformung eine Gleichung mit einer Variablen zu gewinnen. Nachdem man diese Variable bestimmt hat, kann die zweite Variable leicht berechnet werden Additions- und Subtraktionsmethode Man multipliziert bei dieser Methode eine oder beide Gleichungen so mit Zahlen, daß beim anschließenden Addieren entsprechender Glieder eine Variable fortfällt (bei uns die Variable y). Die entstehende Gleichung mit einer Variablen wird wie üblich gelöst. Um die zweite Variable zu finden, setzt man die ausgerechnete Variable in eine der beiden Gleichungen ein und rechnet sie aus Gleichsetzungsmethode Bei dieser Methode werden beide Gleichungen nach einer Variablen umgeformt und dann gleichgesetzt. Die entstehende Gleichung mit einer Variablen wird wie üblich gelöst. Um die zweite Variable zu finden, muß man wiederum die ausgerechnete Variable in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Dabei immer die einfachste Gleichung wählen Februar 014 Version

15 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 15 GLEICHUNGEN MIT MEHREREN VARIABLEN Einsetzmethode Hierbei rechnet man aus einer Gleichung eine Variable aus und setzt sie dann in die andere Gleichung ein. Man erhält wiederum eine Gleichung mit einer Variablen, die ausgerechnet werden kann. Die zweite Variable wird durch rückläufiges Einsetzen ausgerechnet. Merke: Je nach Aussehen der Gleichungen wird eine der Methoden gewählt, und zwar die, die am schnellsten zum Ziel führt Februar 014 Version

16 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Quadratische Gleichungen Gleichungen. Grades mit einer Unbekannten Man unterscheidet: Rein quadratische Gleichungen ax + b = 0 Gemischt quadratische Gleichung ax + bx + c = Rein quadratische Gleichungen Nachfolgend beschränken wir uns auf das Lösen der rein quadratischen Gleichungen, wie sie in der Elektrotechnik in unserer Bildungsstufe vorkommen. Gemischt quadratische Gleichungen werden wir bei den Funktionen genauer ansehen. Schema zur Lösung der Gleichungen: Aufgabe x =? 17 7 Lösung x = x isolieren (ordnen) x = x = 5. Auf beiden Seiten radizieren x = 5 Eine quadratische Gleichung hat immer zwei Lösungen, denn 5 5 = 5 ( 5) ( 5) = 5. In der Praxis gelten normalerweise nur die positiven Lösungen. x = 5 x = 5 1 x = Februar 014 Version

17 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 17 3 QUADRATISCHE GLEICHUNGEN 1 GLEICHUNGEN ZWEITEN GRADES MIT EINER UNBEKANNTEN Beispiele von rein quadratischen Gleichungen Beispiel 1 15x 70 = x 15x = 540 x = 36 x = 6 Beispiel a + x = x = x = c c a c a Pythagoras Februar 014 Version

18 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 18 3 QUADRATISCHE GLEICHUNGEN 1 GLEICHUNGEN ZWEITEN GRADES MIT EINER UNBEKANNTEN Gemischt quadratische Gleichungen Unter einer quadratischen Gleichung versteht man eine mathematische Gleichung mit den Parametern a,b,c und der Unbekannten x von der Form ax + bx + c = 0 Die linke Seite dieser Gleichung ist ein Polynom zweiten Grades. Geometrisch beschreibt die quadratische Gleichung die Nullstellen einer quadratischen Funktion, also die x-koordinaten der Schnittpunkte des Funktionsgraphen (der eine Parabel ist) mit der x-achse in der x-y-ebene. Herleitung der Berechnungsformel: Februar 014 Version

19 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Textgleichungen Mathematik In der Technik dienen bestimmte Gesetze und Abhängigkeiten, die in Gleichungen (Formeln) festgelegt sind. Dennoch stellt uns der Alltag viele Aufgaben, die zuerst in die geeignete mathematische Zahlensprache übersetzt werden müssen. Dadurch entsteht zunächst folgendes Problem: Erstellung einer geeigneten Zahlengleichung, welche die bekannten Grössen und die unbekannten Zahl, oder das, wonach gefragt wird, enthält. Die Lösung einer Textgleichung zerfällt in folgende Teile: 1. Wahl der Unbekannten (x). Aufstellung der Gleichung 3. Auflösung der Gleichung 4. Probe, ob die gefundene Zahl der Aufgabe genügt Februar 014 Version