Klausur Nr. 1. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt.

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Harald Dittmar
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1 Klausur Nr Wahrscheinlichkeitsrechnung Pflichtteil Keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen Ihnen bis zu 2 Punkte. / 2 1. Erklären Sie, was der GTR bei pdfbin(n,p,k) und cdfbin(n,p,k) berechnet. / 2 2. Notieren Sie für eine Bernoulli-Kette der Länge fünf die Formel für die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Treffer bei einer Trefferwahrscheinlichkeit von zehn Prozent und berechnen Sie den Wert genau. / 3 3. Ein Würfel wird 256-mal geworfen. Die Zufallsvariable beschreibt, wie oft eine gerade Zahl gewürfelt wird. a) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von. b) Geben Sie das Intervall an, in dem nach den -Regeln die Werte von mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 99,7% liegen. bitte wenden!

/ 2 1. Erklären Sie, was der GTR bei pdfbin(n,p,k) und cdfbin(n,p,k) berechnet. / 2 2.

2 4. Sind die folgenden Aussagen jeweils wahr oder falsch? Begründen Sie kurz, wenn Sie sich für falsch entscheiden. a) Durch einen Test findet man heraus, ob die Nullhypothese wahr ist. b) Bei einem zweiseitigen Signifikanztest mit Signifikanzniveau 1% sind a und b die Grenzen des Ablehnungsbereichs mit 0,5% und 0,5%. c) Der Fehler 1. Art gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass man die Nullhypothese nicht ablehnt, obwohl sie falsch ist. d) Das Signifikanzniveau gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Nullhypothese falsch ist. Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) und die Formelsammlung für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden.

b) Bei einem zweiseitigen Signifikanztest mit Signifikanzniveau 1% sind a und b die Grenzen des Ablehnungsbereichs mit 0,5% und 0,5%. c) Der Fehler 1.

3 Klausur Nr Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahlteil Verwendung von GTR und Formelsammlung ist gestattet, bitte alle Lösungen auf den Doppelbogen. Name: 5. Smartphones werden immer beliebter. Ein Sechstel aller Handy- Besitzer besitzt bereits ein Smartphone. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse. Notieren Sie dabei, was die Zufallsvariable beschreibt, sowie jeweils ihre Verteilung und welche Wahrscheinlichkeit Sie berechnen. A: Von 100 zufällig ausgewählten Handy-Besitzern besitzen genau 15 ein Smartphone. B: Von 200 zufällig ausgewählten Handy-Besitzern besitzen mindestens 25 ein Smartphone. C: Von 200 zufällig ausgewählten Handy-Besitzern besitzen mindestens 32 und weniger als 38 ein Smartphone. b) In der Produktion eines führenden Herstellers werden 4% aller Geräte fehlerhaft hergestellt. Es wird der Einfachheit halber angenommen, dass die Fehler zufällig und unabhängig voneinander auftreten. Bestimmen Sie die Anzahl von Geräten, die der laufenden Produktion mindestens entnommen werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mindestens ein fehlerhaftes Gerät zu erhalten. c) Durch eine Produktionsumstellung konnte der Fehleranteil auf 2% gesenkt werden. Bei einer Charge, die vor zwei Wochen produziert wurde, fehlte die Information, ob es sich bereits um eine bessere mit nur 2% Ausschuss handelt oder um eine mit 4% Ausschuss. Um dies zu entscheiden, wurde eine Stichprobe von 200 Smartphones ausgewählt und die Anzahl der defekten Smartphones in der Stichprobe gezählt. Als Entscheidungsregel wurde festgelegt: Befinden sich in der Stichprobe mehr als 5 defekte Smartphones, wird angenommen, dass es sich um eine Charge aus der Produktion mit 4% Ausschuss handelt, sonst um eine aus der Produktion mit 2% Ausschuss. Gehen Sie von der Nullhypothese Die Charge stammt aus der Produktion mit 2% Ausschuss aus. Beschreiben Sie, welche beiden Fehler bei dieser Entscheidungsregel auftreten können und berechnen Sie deren Wahrscheinlichkeit. / 6 bitte wenden!

Notieren Sie dabei, was die Zufallsvariable beschreibt, sowie jeweils ihre Verteilung und welche Wahrscheinlichkeit Sie berechnen.

4 d) Die Herstellerfirma rechtfertigte die letzte Preiserhöhung mit der Behauptung, dass nach einer Verbesserung der Produktion nun maximal 1% aller Smartphones defekt sei. Ein Großhändler, der von der Preiserhöhung betroffen ist, bezweifelt diese Behauptung und möchte sie daher mit Hilfe eines Hypothesentests überprüfen. Er entnimmt dazu der Lieferung zufällig eine Stichprobe von Stück und testet die Hypothese: : 0,01. Geben Sie an, um was für einen Test es sich handelt. Ermitteln Sie eine Entscheidungsregel für die angegebene Hypothese auf Grundlage der Stichprobe mit einem Signifikanzniveau von 5%. Viel Erfolg! Notenschlüssel siehe Erwartungshorizont siehe Schule Notengebung von 33 Rückgabe am 13. Februar 2014 Note: mündlich: Arithmetisches Mittel:

Er entnimmt dazu der Lieferung zufällig eine Stichprobe von 1.000 Stück und testet die Hypothese: : 0,01. Geben Sie an, um was für einen Test es sich handelt.

5 Klausur Nr Wahrscheinlichkeitsrechnung Pflichtteil keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Erwartungshorizont 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen Ihnen bis zu 2 Punkte. / 2 1. Erklären Sie, was der GTR bei pdfbin(n,p,k) und cdfbin(n,p,k) berechnet. / 2 pdfbin(n,p,k) berechnet die Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsvariablen, bei n Versuchen genau k Treffer zu erhalten. cdfbin(n,p,k) ermittelt die Wahrscheinlichkeit, dabei höchstens k Treffer zu erhalten. 2. Notieren Sie für eine Bernoulli-Kette der Länge fünf die Formel für die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Treffer bei einer Trefferwahrscheinlichkeit von zehn Prozent und berechnen Sie den Wert genau. / 3 sei binomialverteilt mit,!, - und.,: % &! ',,)! ² ) ) +) 3. Ein Würfel wird 256-mal geworfen. Die Zufallsvariable beschreibt, wie oft eine gerade Zahl gewürfelt wird. a) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von. sei binomialverteilt mit,!/ und.,!:,.!/,! 0,..0!/,!,! / b) Geben Sie das Intervall an, in dem nach den -Regeln die Werte von mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 99,7% liegen. In der -Umgebung des Erwartungswertes liegen die Werte von X mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 99,7%:,!, Das gesuchte Intervall ist also ";!$. bitte wenden!

/ 2 1. Erklären Sie, was der GTR bei pdfbin(n,p,k) und cdfbin(n,p,k) berechnet.

6 4. Sind die folgenden Aussagen jeweils wahr oder falsch? Begründen Sie kurz, wenn Sie sich für falsch entscheiden. a) Durch einen Test findet man heraus, ob die Nullhypothese wahr ist. falsch Man kann durch einen Test nicht entscheiden, ob die Nullhypothese 2 richtig oder falsch ist, man versucht nur die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung bei der Ablehnung von 2 zu kontrollieren. b) Bei einem zweiseitigen Signifikanztest mit Signifikanzniveau 1% sind a und b die Grenzen des Ablehnungsbereichs mit 0,5% und 0,5%. richtig c) Der Fehler 1. Art gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass man die Nullhypothese nicht ablehnt, obwohl sie falsch ist. falsch Der Fehler 1. Art ist die Wahrscheinlichkeit, dass man die Nullhypothese 2 ablehnt, obwohl sie zutrifft. d) Das Signifikanzniveau gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Nullhypothese falsch ist. falsch Das Signifikanzniveau ist die maximale Wahrscheinlichkeit, dass man die Nullhypothese 2 verwirft, obwohl sie richtig ist. Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) und die Formelsammlung für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden.

kontrollieren. b) Bei einem zweiseitigen Signifikanztest mit Signifikanzniveau 1% sind a und b die Grenzen des Ablehnungsbereichs mit 0,5% und 0,5%. richtig c) Der Fehler 1.

7 Erwartungshorizont Wahlteil 5. a) X beschreibt die Anzahl der Smartphone-Besitzer und ist binomialverteilt. Ereignis A: 3100, 4 5, &100; 4 5 ;15' 9:; < 0,1002<10,0% Ereignis B: 3200, 4 5, ?&200; 4 5 ;24' 9:; < 0,9574<95,7% Ereignis C: 3200, 4 5, 326C38 E32C383731?&200; 4 5 ;37'?&200;4 5 ;31' 9:; < 0,4167<41,7% b) X beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Geräte und ist binomialverteilt. n ist gesucht: 0,04, 61 10, Betrachte die Tabelle der Zufallsvariable beim GTR von 18;0,04;0, für 3113 wird erstmals die Wahrscheinlichkeit 99% über- schritten, deshalb müssen der laufenden Produktion mindestens 113 Geräte entnommen werden. c) X beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Geräte und ist binomialverteilt. : Die Charge stammt aus der Produktion mit 2% Ausschuss Fehler 1. Art: Die Nullhypothese wird abgelehnt, obwohl das Gerät der 2%-Charge angehört. 9:; G5151?200;0.02;5 < 0,2133<21,3% Fehler 2. Art: Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt, obwohl das Gerät der 4%-Charge angehört. 9:; 5?200;0.04;5 < 0,1856<18,6%

&200;4 5 ;31' 9:; < 0,4167<41,7% b) X beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Geräte und ist binomialverteilt.

8 d) X beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Geräte und ist im Grenzfall binomialverteilt mit n=1000 und p=0,01. Testart: Hierbei handelt es sich um einen rechtsseitigen Signifikanztest. Entscheidungsregel: Gesucht ist die kleinste natürliche Zahl 6 mit 60, Betrachte die Tabelle der Zufallsvariable beim GTR von 1?1000;0,01;1, 616 ist die kleinste natürliche Zahl, so dass 60,05 gilt. Der Ablehnungsbereich ist also {16; 17; ; 1000}.

Entscheidungsregel: Gesucht ist die kleinste natürliche Zahl 6 mit 60,05.

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