7.1 Definitionen und Ableitungen der elementaren Funktionen. f(x + x) f(x)

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1 Kapitel 7 Differentialrechnung 71 Definitionen un Ableitungen er elementaren Funktionen Die Funktion f) sei efiniert für a<<b Die Funktion f = f) ist in einem Punkt es Intervalls ifferenzierbar, wenn er Grenzwert f ) = lim 0 f + ) f), eistiert; er Grenzwert f ) es Differenzenquotienten heißt Differentialquotient oer Ableitung von f im Punkt Der Differenzenquotient ist ie Steigung er Sekante, ie beim Grenzübergang 0 zur Tangente wir, eren Steigung urch en Differentialquotienten gegeben ist Wenn ie Funktion f) in einem Punkt ifferenzierbar ist, so ist sie auch stetig Für ie Ableitung f ) einer Funktionf) schreibt man auch f / Das Differential er Funktion = f) ist = f ) Zur Kontrolle er Berechnung einer analtischen Ableitung f ) urch eine numerische Rechnung ist ie Näherung nützlich f ) f + ) f ) 2 f) f) f) f 0 ) f 0 ) fb) fa) a 0 b fb) fa) a b Differenzenquotient zum Mittelwertsatz 30

2 Erste Ableitungen elementarer Funktionen = f) = f ) = f) = f ) 1 1/ 1/ / 2 2/ 3 n n n 1 1/ n n/ n+1 e e ln 1/ a a ln a log a 1/ ln a) sin cos arcsin cos sin arccos 1/ 1 2 1/ 1 2 tan 1/ cos 2 arctan 1/1 + 2 ) cot 1/ sin 2 arccot 1/1 + 2 ) sinh cosh arsinh cosh sinh arcosh 1/ / 2 1 tanh 1/ cosh 2 artanh 1/1 2 ) coth 1/ sinh 2 arcoth 1/ 2 1) Die Differenzierbarkeit an einem Punkt 0 ist gleichbeeuten mit er Approimierbarkeit er Funktion f) urch einen linearen Ausruck f) f 0 )+f 0 ) 0 ), wobei f 0 ) ie Ableitung von f) bei = 0 beeuten soll Genauer schreibt man: f) =f 0 )+f 0 ) 0 )+o 0 ); abei ist o ) einausruck,ermit gegen Null geht s a Talorsche Formel, Abschn 83) Der Ausruck o ) steht für eine Funktion ϕ ) mit er Eigenschaft: ϕ ) lim =0 0 Höhere Ableitungen: Die zweite Ableitung f ) ist efiniert als ie Ableitung er ersten Ableitung von f), für höhere Ableitungen ist entsprechen zu verfahren Als Bezeichnungen sin üblich, wenn ): 2 2, 3 3, n) n oer,, n) oer ) 2, ) 3 ) n), Aus formalen Grünen wir gelegentlich ie nullte Ableitung eingeführt: 0) = Mittelwertsatz er Differentialrechnung: Ist eine Funktion f) für a b stetig un eistiert ie Ableitung in iesem Intervall, so gibt es wenigstens ein 0 mit a< 0 <b,für as gilt: fb) fa) b a = f 0 ) Etrema: Notwenige Beingung für ein Etremum einer Funktion f), ie an er Stelle 0 als ifferenzierbar vorausgesetzt wir, ist f 0 )=0Für f 0 ) < 0 liegt ein Maimum vor, für f 0 ) > 0 ein Minimum Bei f 0 )=0müssen ie höheren Ableitungen untersucht weren; bei f 0 ) 0ist 0 ein Wenepunkt

3 72 Differentiationsregeln Proukte un Quotienten Die Funktionen u = f) un v = g) seien für a<<befiniert Dann gilt für jees aus em Intervall, für as u un v eistiert: u v) = uv + vu Prouktregel ) 1 = v u ) v v 2 = vu uv v v 2 v 0 Quotientenregel Formeln für höhere Ableitungen erhält man urch mehrfache Anwenungen er Formeln, zum Beispiel: u v) n) = u n) v + nu n 1) v + u v) = u v + uv u v) = u v +2u v + uv u v) = u v +3u v +3u v + uv u v w z nn 1) u n 2) v n r ) u v ) u = w z u + v v w w z z ) u n r) v r) + + uv n) Für ie Ableitung es Quotienten zweier Proukte folgt aus er Quotienten- un Prouktregel ie Formel: ) Kettenregel Die Funktion h) =fg)) ist aus en Funktionen = g) un f) zusammengesetzt: h = f g Wenn bei einem gegebenen ie Ableitung / = g/ = g ) eistiert un bei em entsprechenen ie Ableitung f / = f ) eistiert, ann gilt für ie Ableitung von h nach : h = f )g ) = f Das Differential von h, ausgerückt urch, isth = f ) un as Differential von g, ausgerückt urch, ist = g = g ) Aus er Kettenregel folgt: h = f ) = f )g ) für as Differential h, ausgerückt urch In Differentialen können unabhängige un abhängige Variable gleich behanelt weren So folgt zum Beispiel für = f) aus = f ) ie Ableitung er Umkehrfunktion f 1 von f: = 1 f ) Für parametrische Gleichungen = ft), = gt) folgt: f ) 0 = g t) f t) 0 f t) Logarithmische Ableitung Aus er Kettenregel folgt speziell für w = hu) =lnu un u = u) : ln u = ln u u u = 1 u oer kurz: lnu) = u u u Ableitung einer impliziten Funktion Die Funktion = f) sei urch ie Gleichung F, ) =0 efiniert Dann ergibt sich aus er partiellen Differentiation nach un : F + F =0 = F F

4 73 Grenzwert einer Funktion mit nicht efiniertem Wert Führt ie Bilung es Grenzwerts einer Funktion f) = ϕ) zu einem nicht efinierten Ausruck er Form ψ) ϕ) lim a ψ) = 0 0 oer zu ϕ) lim a ψ) =, so erhält man en Grenzwert über ϕ) lim a ψ) = lim ϕ ) a ψ ) Regel von Bernoulli - e l Hospital) Falls anere nicht efinierte Ausrücke auftreten, kann urch geeignete Substitution iese Form immer erreicht weren: F unktion unef Grenzw Substitution ϕ) κ) 0 κ) =1/ψ) κ) λ) κ) =1/ψ); λ) =1/ϕ) λ) ψ) ; λ>0 0 0, 0, 1 λ) =epϕ)) 74 Vektorwertige Funktionen Die Ableitung einer vektorwertigen Funktion r = rt) eines skalaren Parameters t ist efiniert urch r = lim t 0 rt + t) rt), t wenn er Grenzwert unabhängig von er Folge t 0eistiert Die Ableitung, ie auch in er Form r =,, z ) rt) r rt + t) geschrieben weren kann, ist selbst wieer ein Vektor un ist tangential zur Kurve gerichtet, ie urch rt) beschrieben wir Höhere Ableitungen sin entsprechen efiniert Wenn eine Bahnkurve urch eine vektorwertige Funktion rt) beschrieben wir un er Parameter t ie Zeit beeutet, so sin ie ersten beien Ableitungen Ableitungen nach er Zeit weren gelegentlich urch Punkte bezeichnet): rt) = ẋt), ẏt), żt)) Geschwinigkeitsvektor 2 rt) 2 = ẍt), ÿt), zt)) Beschleunigungsvektor Regeln für ie Ableitung vektorwertiger Funktionen at)+ ) bt) a b ) = a + b = a b + a b = a b + a b a ) b Prouktregeln ft) at)) = f t) a + ft) a ) at) = 1 a ft) f f f 2 a Quotientenregel ft) 0)

5 Folgerung: ie Ableitung einer vektorwertigen Funktion at) mit konstantem Betrag a a = const) steht senkrecht zu a oer verschwinet): Raumkurven a a a a) = a a + a =2 a =0 Eine glatte Raumkurve wir urch eine stetige un stetig ifferenzierbare vektorwertige Funktion rt) beschrieben Die Ableitung r/ zeigt jeweils in ie tangentiale Richtung Für geometrische Betrachtungen ist er Begriff er Bogenlänge geeignet Für ie Ableitung einer Raumkurve rs) nach em Parameter Bogenlänge s gilt: r s = u T u T = Einheitsvektor in tangentialer Richtung u T s 0 ) u T s 0 ) s r ϕ u T r s 0 ) r s 0 + s) ϕ ρ r s) Aus er Kettenregel folgt: rst)) Für ie ifferentielle Änerung von u T gilt: = r s s = u T s u T = ϕ u T, Für infinitesimale Winkel ϕ steht u T senkrecht auf u T Wegen ρϕ = s wir ie Ableitung es Einheitsvektors u T nach s: u T s = u T ρϕ = 1 ρ u N = κ u N mit u N = u T ϕ Darin ist u N ein Einheitsvektor in er Kurvenebene senkrecht zu u T in Krümmungsrichtung un ρ =1/κ er Krümmungsraius er Raumkurve κ =Krümmung) Durch u B = u T u N kann ein weiterer Einheitsvektor u B efiniert weren, er mit en beien aneren Einheitsvektoren ein orthogonales Rechtssstem bilet, as begleitenes Dreibein genannt wir Es gilt: u B s = u T s u N + u T u N s = u T u N s = τ u N Die Größe τ heißt Torsion un 1/τ Winungsraius er Raumkurve Die Torsion einer Kurve im Punkt P gibt an, in welchem Maß ie Kurve in er Umgebung von P von einer ebenen Kurve abweicht

6 75 Funktionen mehrerer Veränerlicher Skalare Funktionen von zwei Veränerlichen Eine Funktion f, ) von zwei Veränerlichen un wir betrachtet Die partiellen Ableitungen von f, ) nach en Veränerlichen un sin efiniert urch: = lim f +, ) f, ) 0 = lim f, + ) f, ) 0 0 F ξ Steigung er Tangente mit = const an P : fξ+, =ξ,= 0 = lim 0) fξ, 0) 0 P Schnittfläche = 0 Die partielle Ableitung nach einer Veränerlichen ist also nichts aneres als ie gewöhnliche Ableitung nach er einen Veränerlichen bei Festhalten er aneren Es gelten Rechenregeln wie für ie gewöhnlichen Ableitungen Höhere partielle Ableitungen sin entsprechen er gewöhnlichen Ableitungen) urch wieerholte Bilung er partiellen Ableitung zu erzeugen Höhere Ableitungen, ie sich nur urch ie Reihenfolge er Ableitungen nach verschieenen Variablen unterscheien, sin bei Stetigkeit gleich, zum Beispiel: 2 f = 2 f Partielle Ableitungen weren auch wie folgt geschrieben: = f 2 f = f etc Totale Ableitung un totales Differential Gegeben sei eine Funktion f, ), bei er = t) un = t) Funktionen eines Parameters t sin Zur Bilung er Ableitung von f nach t wir er Differenzenquotient betrachtet: f t + t),t + t)) f t),t)) t = f +, + ) f, ) t = = f +, + ) f, + )+f, + ) f, ) t f +, + ) f, + ) f, + ) f, ) + t t

7 Im Limes t 0 gehen auch 0 un 0, un man erhält ie totale Ableitung von f nach t: f, ) f f t),t)) = = + f Den Ausruck f = + nennt man totales Differential Anschaulich beeutet f ie Änerung von f bei Änerung s von um un von um f +, + ) f, ) Funktionen von n Veränerlichen Betrachtet wir eine skalare) Funktion f 1, 2, n )vonn Veränerlichen Ist ein beliebiger Weg s im Raum 1, 2, n gegebenen, so beschreibt s = 1, 2, n ) ein Element auf iesem Weg Das totale Differential f = n 1 2 n liefert ann ie Änerung von f längs es Wegelements an einer gegebenen Stelle F n F F G G G Höhenkarte einer Mule G, ) Die Linien verbinen ie Orte mit G, ) =const Mit er Definition es Graienten, urch ie vektorwertige Funktion gra f =, ),, 1 2 n ergibt sich as totale Differential als Skalarproukt f =graf s

8 Die Einführung es Differentialoperators Nabla) ) =,, 1 2 n gestattet ie Schreibweise gra f = f In manchen Lehrbüchern finet man auch ie smbolische Schreibweise f/ s anstelle von f Funktionalmatri Betrachtet weren nun Funktionen f 1 ),f 2 ),f m ), ie zu einem Vektor f ) zusammengefaßt weren können Ist ie vektorwertige) Funktion f urch einen linearen Ausruck approimierbar, erhält man: f ) = f 0 )+J f 0 )+o 0 ) mit einer m n Matri J f Voraussetzung ist, aß f im Punkt 0 stetig ist un aß alle Komponenten f i von f nach en j partiell ifferenzierbar sin mit i j =J f ) ij = 0 Man nennt ie Matri J f, J f = m 1 m 2 1 n 2 n m n ie Funktionalmatri oer Jacobi-Matri von f im Punkt 0 Kettenregel Die Funktion h sei aus er Funktion = g ) un er Funktion f ) zusammengesetzt, un liefere eine Abbilung R n R m R k : h = f g h ) = f g )) Dann gilt für ie Funktionalmatri J h er Funktion h ) un ie Spalten- un Zeilenzahlen er Funktionalmatrizen: J }{{} h = J f J g }{{}}{{} k n k m m n Umkehrabbilung Die Funktion f ) sei ie Umkehrfunktion er Funktion = g ):, R n Dann folgt aus er Kettenregel: f g )) = mit J f J g = E J f =J g ) 1 E = Einheitsmatri)