Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

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1 P. Engel, T. Pfrommer S. Poppitz, Dr. I. Rybak 4. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 9 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu en Hausaufgaben: Aufgabe H. a) Bestimmen Sie jeweils en maimalen Definitionsbereich D R un berechnen Sie ie ersten beien Ableitungen er urch ie folgenen Ausrücke efinierten Funktionen: f) 9 ) h) arccos g) ln 4 ) k) sinln) cosln)) b) Berechnen ie folgene Grenzwerte: tan cos cosh e π tan3) tan5) ln 3) sin e Hinweis: arccos. Lösungshinweise hierzu: a) Der Ausruck ist nicht efiniert für 9 un 9 <. Wir 9 erhalten eshalb als Definitionsbereich D f 3, 3). Mit er Kettenregel..3) bestimmen wir f ) ) ) ) 9 ) ) 3/ 9 ). 3/ Für ie zweite Ableitung erhalten wir mit er Quotientenregel..): ) f ) 9 ) 3/ 9 ) 3/ 9 ) 3/) 9 ) 3/) 9 ) 3/ 3 9 ) / ) 9 ) 3 9 ) 3/ 3 9 ) 5/ 9 9 ) 5/.

2 4. Gruppenübung Höhere Mathematik Der Ausruck g) ln 4 )) ist nicht efiniert, wenn 4. Als Definitionsbereich bleibt also as offene Intervall D g, ). Mit er Kettenregel..3) erhalten wir g ) ln 4)) 4 4) 4 4 3) Wir berechnen g ) mit Hilfe er Quotientenregel ) 4 g 3 ) 43 ) 4 ) 4 3 ) 4 ) 4 4 ) 4 ) ) 46 4 ). Der Ausruck h) arccos )) ist nicht efiniert für ; anererseits muss gelten. Als maimalen Definitionsbereich von h erhält man eshalb D h, ] [, ). Mit er Kettenregel erhalten wir ie erste un zweite Ableitung von h: )) ) h ) arccos ), ) h ) ) ) ) ) ) / ) ) 3/. Als Definitionsbereich für k können wir D k R zulassen. Mit er Prouktregel..) un er Kettenregel erhalten wir k ) sinln) cosln)) sinln) cosln)) sinln) cosln) cosln ) ) sinln) sinln), k ) cosln) b) Mit er Regel von l Hospital erhalten wir. tan cos tan ) tan cos ) sin sin cos ) sin cos ) ) cos ) sin cos sin cos) cos) sin ) cos ) 3 sin) cos.

3 4. Gruppenübung Höhere Mathematik Wieer ergibt sich mit er Regel von l Hospital: π tan3) tan5) 3 5 π π tan3)) tan5)) π 5 sin5) 3 sin3) ) cos3)) 5 cos5)) 3 5 π ) cos5) cos3) cosh Es liegt bei zwar er Fall vor. Allerings liefert ie Regel von l Hospital e keine Aussage, a egal wie oft man sie anwenet immer er Fall vorliegt. Mit Hilfe er Definition von cosh erhält man aber: cosh e e e e ) e. Mit Hilfe er Regel von l Hospital erreicht man zuerst: ln 3) sin e 6 ln 3) 4 sin cos 3 e ln 3) 3 sin 3)e cos. e Die einzelnen Terme können weiter untersucht weren gegebenenfalls wieer mit l Hospital: Folglich erhalten wir ln 3) 3 3)e 3 sin 3 3 cos cos e. 3 ln 3) sin e Aufgabe H. Vereinfachen Sie ie folgenen Ausrücke, inem sie jeweils eplizit eine Formel für ie n-te Ableitung bestimmen. Beweisen Sie Ihre Resultate mit vollstäniger Inuktion sowie en bekannten Differentiationsregeln. a) ) n ln), wobei >

4 4. Gruppenübung Höhere Mathematik b) n ) a, wobei a, > c) ) n, wobei ab a b Hinweis: Die Ientität epln ) für > könnte sich als nützlich erweisen. Lösungshinweise hierzu: Man unterscheie folgene Schreibweisen: n beeutet hoch n, wohingegen mit n) ie n-te Ableitung von gemeint ist. a) Wir wollen mit vollstäniger Inuktion zeigen, ass ie folgene Gleichung gilt. ln)) n) )n n )! n IA Für n gilt ln)) ) )!. IV Die n-te Ableitung von ln lasse sich in er oben genannten Form arstellen. IS Dann gilt für ie n -te Ableitung: ) ) n n )! )n n )! n n n n )n n! )n n )! n n b) Wie in a) wollen wir zeigen, ass ie folgene Gleichung gilt. a ) n) a lna) n IA Für n gilt a ) e ln a) lna)e ln a a lna)). IV Die n-te Ableitung von a lasse sich in er oben genannten Form arstellen. IS Dann gilt für ie n -te Ableitung a lna) n ) e ln a lna) n) e ln a ln a) n a lna) n c) Un noch einmal: ) n) )n n!b n IA Für n gilt IV Die n-te Ableitung von ab a b a b) n ) b a b a b) )!b a b). IS Dann gilt für ie n -te Ableitung ) n n!b n a b) n lasse sich in er oben genannten Form arstellen. ) )n n!b n n )a b) n b )n n )!b n a b) n a b) n

5 4. Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H. In er folgenen Aufgabe beschränken wir uns auf ie reellen Zahlen. a) Geben Sie an, wo cosh streng monoton wächst un wo cosh streng monoton fällt. Bestimmen Sie Maima un Minima von cosh. Untersuchen Sie cosh). Skizzieren Sie en Graphen von cosh. cosh) un Lösungshinweise hierzu: Da e > für > folgt ie Ableitung von cosh wure in Beispiel.. bestimmt): cosh ) sinh) > für > un cosh ) sinh) < für <. Dies zeigt mit er Charakterisierung monotoner Funktionen.4.8 aus er Vorlesung, ass cosh für beliebige Intervalle [,a] mit a R un amit auf [, ) streng monoton wächst. Analog fällt cosh auf, ] streng monoton. Maima un Minima können nach Lemma.4. aus er Vorlesung notwenigerweise nur an Stellen mit cosh ) sinh) vorliegen. Es gilt also genau ann, wenn cosh ) sinh) e e ) e e lne ) lne ). Die Stelle ist also ie einzige Stelle, bei er ein Etremum vorliegen kann. Da cosh für streng monoton fällt un für streng monoton wächst, liegt also bei, ) ein Minimum. Es gilt cosh) e e ) e un analog cosh) e e ) e. y cosh

6 4. Gruppenübung Höhere Mathematik b) Finen Sie möglichst sinnvolle) Gebiete D, wo es möglich ist, eine Umkehrfunktion arcosh D zum arauf eingeschränkten cosh D anzugeben. Geben Sie jeweils Definitionsun Wertebereiche ieser Umkehrfunktionen an un skizzieren Sie ie Graphen er Umkehrfunktionen. Bestimmen Sie auch jeweils ie Ableitungen arcosh D). Lösungshinweise hierzu: Eine Umkehrfunktion von cosh D lässt sich nur für Gebiete D finen, wo cosh D injektiv ist. Die Monotonie einer Funktion ist afür schon hinreichen. Mit a) erhalten wir also: Für cosh R un cosh R lassen sich jeweils Umkehrfunktionen angeben. Da cosh gerae ist, as heißt cosh) cosh ), ürfen Gebiete D, auf enen cosh D eine Umkehrfunktion besitzen soll, nicht zusammenhängen sein, wenn sie sowohl negative als auch positive Werte enthalten. Wir wollen solche Gebiete eshalb nicht weiter betrachten. Für cosh R erhalten wir en Wertebereich [, ) un offensichtlich en Definitionsbereich R, für cosh R ebenfalls en Wertebereich [, ) un wieer offensichtlich en Definitionsbereich R. Damit folgt: Die Umkehrfunktion arcosh R zu cosh R besitzt en Definitionsbereich besitzt en [, ) un Wertebereich R, ie Umkehrfunktion arcosh R zu cosh R Definitionsbereich [, ) un Wertebereich R y cosh R cosh R y arcosh R arcosh R Zur Bestimmung er Ableitungen er Umkehrfunktionen beachten wir zunächst: cosh ) sinh ) sinh ) cosh) sinh cosh) sinh cosh) für un sinh cosh) für.

7 4. Gruppenübung Höhere Mathematik Für arcosh R gilt amit arcosh R y ) R. Das heißt für ie Ableitung: y arcosh R y yy cosh sinh. cosh) y Für arcosh R gilt arcosh R y ) R un wir erhalten für ie Ableitung: y arcosh R y yy cosh sinh. cosh) y Zusammenfassen haben wir also gesehen: arcosh R un arcosh R ). c) Sei nun arcosh cosh R Beweisen Sie ie folgenen Ientitäten: arsinh) ln ) arcosh) ln ) für Hinweis: Satz.4.6 aus er Vorlesung kann abei helfen. Lösungshinweise hierzu: Es gilt nach Beispiel.3.3 un wir berechnen: ln ) Nach Satz.4.6 gilt ann arsinh arsinh) ln. ) c. )

8 4. Gruppenübung Höhere Mathematik Setzt man in iese Ientität ein, so folgt c ln ) c arsinh) un amit ist arsinh) ln ) bewiesen. Für ie zweite Ientität verfährt man analog. Wir wissen aus b) un berechnen: ln ) arcosh. ) Nach Satz.4.6 gilt arcosh) ln ) c. Setzt man in iese Ientität ein, so folgt c ln ) c arcosh) un amit ist arcosh) ln ) bewiesen.