Scheinklausur Höhere Mathematik 2 Musterlösung , Version 1. Matrikel- Nummer: Aufgabe Summe

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1 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Name, Vorname: Nummer: Matrikel- Studiengang: Aufgabe Summe Punkte / / / / / /5 / / / / / Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 90 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: Zwei eigenhändig handbeschriebene Seiten DIN A. Wer den Klausurraum vor Ende der Bearbeitungszeit endgültig verlässt, hat damit zu rechnen, dass seine Klausur als nicht bestanden gewertet wird. Eintragungen mit Bleistift oder Rotstift werden nicht gewertet. Es wird nur die Angabe von Endergebnissen verlangt. Nebenrechnungen werden nicht gewertet und daher auch nicht eingesammelt. Folgende Ableitungen, Stammfunktionen und Funktionswerte könnten hilfreich sein: f) a e sin tan sinh arsinh d d f) a a e cos cos) ) cosh + f) b ln cos arctan cosh arcosh d d f) lnb) b Viel Erfolg! a R, b R + sin + sinh sin cos Aufgabe Punkt) Bitte geben Sie den Namen Ihres Tutors bzw. Ihrer Tutorin und die Nummer Ihrer Übungsgruppe an. Name des Tutors/der Tutorin: Gruppennr.: Aufgabe Punkte) Bestimmen Sie die Werte der folgenden Reihen. k=0 ) k+ = k= k k! = + e Seite von

2 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Aufgabe Punkte) Berechnen Sie die folgende Grenzwerte. + = ) cos = + ) + + = Aufgabe Punkte) Bestimmen Sie jeweils den Entwicklungspunkt z 0 und den Konvergenzradius ρ der folgenden Reihen. z 0 ρ z + ) n n= n=0 n n z ) n n)! Aufgabe 5 Punkte) Gegeben sei die Funktion Berechnen Sie die ersten zwei Ableitungen von f. f : R R: e cos). f ) = e cos) sin) f ) = e cos) sin)) cos) ) Stellen Sie das in 0 = entwickelte Taylorpolynom zweiter Stufe T f,, ) auf. T f,, ) = ) + ) Seite von

3 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Aufgabe 6 5 Punkte) Geben Sie die Partialbruchzerlegung an = + Berechnen Sie folgende Integrale d = ln ln + ] ln) d = ] 9 + ln) Aufgabe 7 Punkte) Bestimmen Sie alle Etrema der Funktion f : R R:, y) + y + unter Nebenbedingung g, y) = 0 mit g : R {0}) R {0}) R:, y) y. Berechnen Sie den Gradienten von f und g: grad f, y) = grad g, y) = y Bestimmen Sie alle Stellen, an denen die Funktion unter der Nebenbedingung ihre Maima und Minima annimmt, sowie die Funktionswerte an diesen Stellen. Stelle Funktionswert Typ, ) 0 relatives Maimum weil die Nebenbedingung eine nicht kompakte Menge beschreibt, können die Funktionswerte an relativen Minima größer sein als die bei den relativen Maima und das passiert hier auch!, ) 8 relatives Minimum Seite von

4 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Aufgabe 8 Punkte) Berechnen Sie die folgenden Integrale. Falls das uneigentliche Integral nicht eistiert, tragen Sie divergent ein. sin ) cos ) d = ] ) sin ) ln cos cos ) d = divergent Aufgabe 9 Punkte) Bestimmen Sie eine Parametrisierung C : 0, ] R der geraden Strecke vom Punkt, ) zum Punkt, ). t + Ct) =, t 0, ]. t + Berechnen Sie C t) = und die folgenden Kurvenintegrale für f : R R: u, v) u v und g : R R : u, v) u v ) C fs) d s = 9 5 C g) d = Aufgabe 0 Punkte) Für welche α R besitzt das Vektorfeld ) g : R R + R : eα y + ln y y e α y + y. ein Potential? α = Bestimmen Sie für diese α ein Potential U. U, y) = e y + ln y Seite von

5 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Name, Vorname: Nummer: Matrikel- Studiengang: Aufgabe Summe Punkte / / / / / /5 / / / / / Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 90 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: Zwei eigenhändig handbeschriebene Seiten DIN A. Wer den Klausurraum vor Ende der Bearbeitungszeit endgültig verlässt, hat damit zu rechnen, dass seine Klausur als nicht bestanden gewertet wird. Eintragungen mit Bleistift oder Rotstift werden nicht gewertet. Es wird nur die Angabe von Endergebnissen verlangt. Nebenrechnungen werden nicht gewertet und daher auch nicht eingesammelt. Folgende Ableitungen, Stammfunktionen und Funktionswerte könnten hilfreich sein: f) a e sin tan sinh arsinh d d f) a a e cos cos) ) cosh + f) b ln cos arctan cosh arcosh d d f) lnb) b Viel Erfolg! a R, b R + sin + sinh sin cos Aufgabe Punkt) Bitte geben Sie den Namen Ihres Tutors bzw. Ihrer Tutorin und die Nummer Ihrer Übungsgruppe an. Name des Tutors/der Tutorin: Gruppennr.: Aufgabe Punkte) Bestimmen Sie die Werte der folgenden Reihen. 5) k+ k=0 k! = 5 e 5 k= k = Seite von

6 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Aufgabe Punkte) Berechnen Sie die folgende Grenzwerte. + = ) sin + = + e ) + + = Aufgabe Punkte) Bestimmen Sie jeweils den Entwicklungspunkt z 0 und den Konvergenzradius ρ der folgenden Reihen. z 0 ρ n=0 z ) n n)! z + ) n n= n n Aufgabe 5 Punkte) Gegeben sei die Funktion Berechnen Sie die ersten zwei Ableitungen von f. f : R R: e sin ). f ) = esin ) ) cos f ) = esin ) )) ) ) cos sin Stellen Sie das in 0 = entwickelte Taylorpolynom zweiter Stufe T f,, ) auf. T f,, ) = ) + ) 8 Seite von

7 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Aufgabe 6 5 Punkte) Geben Sie die Partialbruchzerlegung an + 5 = + Berechnen Sie folgende Integrale + 5 d = ln ln + ] ln) d = ] ln) Aufgabe 7 Punkte) Bestimmen Sie alle Etrema der Funktion f : R R:, y) + y unter Nebenbedingung g, y) = 0 mit grad f, y) = g : R {0}) R {0}) R:, y) + y. Berechnen Sie den Gradienten von f und g: grad g, y) = y Bestimmen Sie alle Stellen, an denen die Funktion unter der Nebenbedingung ihre Maima und Minima annimmt, sowie die Funktionswerte an diesen Stellen. Stelle Funktionswert Typ, ) 6 relatives Maimum weil die Nebenbedingung eine nicht kompakte Menge beschreibt, können die Funktionswerte an relativen Minima größer sein als die bei den relativen Maima und das passiert hier auch!, ) 0 relatives Minimum Seite von

8 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Aufgabe 8 Punkte) Berechnen Sie die folgenden Integrale. Falls das uneigentliche Integral nicht eistiert, tragen Sie divergent ein. cos ) sin ) d = ln sin ) ] cos ) sin ) d = divergent Aufgabe 9 Punkte) Bestimmen Sie eine Parametrisierung C : 0, ] R der geraden Strecke vom Punkt, ) zum Punkt, 0). t + Ct) =, t 0, ]. t Berechnen Sie C t) = und die folgenden Kurvenintegrale für f : R R: u, v) u + v und g : R R : u, v) u v ) C fs) d s = 5 C g) d = 5 Aufgabe 0 Punkte) Für welche α R besitzt das Vektorfeld ) g : R R + R : eα y + ln y y e α + y ein Potential?. α = Bestimmen Sie für diese α ein Potential U. U, y) = e y + ln y Seite von

9 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Name, Vorname: Nummer: Matrikel- Studiengang: Aufgabe Summe Punkte / / / / / /5 / / / / / Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 90 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: Zwei eigenhändig handbeschriebene Seiten DIN A. Wer den Klausurraum vor Ende der Bearbeitungszeit endgültig verlässt, hat damit zu rechnen, dass seine Klausur als nicht bestanden gewertet wird. Eintragungen mit Bleistift oder Rotstift werden nicht gewertet. Es wird nur die Angabe von Endergebnissen verlangt. Nebenrechnungen werden nicht gewertet und daher auch nicht eingesammelt. Folgende Ableitungen, Stammfunktionen und Funktionswerte könnten hilfreich sein: f) a e sin tan sinh arsinh d d f) a a e cos cos) ) cosh + f) b ln cos arctan cosh arcosh d d f) lnb) b Viel Erfolg! a R, b R + sin + sinh sin cos Aufgabe Punkt) Bitte geben Sie den Namen Ihres Tutors bzw. Ihrer Tutorin und die Nummer Ihrer Übungsgruppe an. Name des Tutors/der Tutorin: Gruppennr.: Aufgabe Punkte) Bestimmen Sie die Werte der folgenden Reihen. k=0 ) k+ = k= k k! = + e Seite von

10 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Aufgabe Punkte) Berechnen Sie die folgende Grenzwerte. + = cos ) + ln = ) + + = Aufgabe Punkte) Bestimmen Sie jeweils den Entwicklungspunkt z 0 und den Konvergenzradius ρ der folgenden Reihen. z 0 ρ z ) n n= n=0 n n z + ) n n)! Aufgabe 5 Punkte) Gegeben sei die Funktion Berechnen Sie die ersten zwei Ableitungen von f. f : R R: e sin). f ) = e sin) cos) f ) = e sin) cos)) sin) ) Stellen Sie das in 0 = entwickelte Taylorpolynom zweiter Stufe T f,, ) auf. T f,, ) = ) + ) Seite von

11 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Aufgabe 6 5 Punkte) Geben Sie die Partialbruchzerlegung an 8 6 = + Berechnen Sie folgende Integrale 8 6 d = ln + ln ] ln) d = ] 6 + ln) Aufgabe 7 Punkte) Bestimmen Sie alle Etrema der Funktion f : R R:, y) + y unter Nebenbedingung g, y) = 0 mit g : R {0}) R {0}) R:, y) y. Berechnen Sie den Gradienten von f und g: grad f, y) = grad g, y) = y Bestimmen Sie alle Stellen, an denen die Funktion unter der Nebenbedingung ihre Maima und Minima annimmt, sowie die Funktionswerte an diesen Stellen. Stelle Funktionswert Typ, ) 8 relatives Maimum weil die Nebenbedingung eine nicht kompakte Menge beschreibt, können die Funktionswerte an relativen Minima größer sein als die bei den relativen Maima und das passiert hier auch!, ) 0 relatives Minimum Seite von

12 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Aufgabe 8 Punkte) Berechnen Sie die folgenden Integrale. Falls das uneigentliche Integral nicht eistiert, tragen Sie divergent ein. sin ) cos ) d = ln cos ) ] sin ) cos ) d = divergent Aufgabe 9 Punkte) Bestimmen Sie eine Parametrisierung C : 0, ] R der geraden Strecke vom Punkt 0, ) zum Punkt, ). t Ct) =, t 0, ]. t + Berechnen Sie C t) = und die folgenden Kurvenintegrale für f : R R: u, v) u + v und g : R R : u, v) u v ) C fs) d s = 5 C g) d = Aufgabe 0 Punkte) Für welche α R besitzt das Vektorfeld ) g : R R + R : eα y + ln y y e α y + y ein Potential?. α = Bestimmen Sie für diese α ein Potential U. U, y) = e y + ln y Seite von

13 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Name, Vorname: Nummer: Matrikel- Studiengang: Aufgabe Summe Punkte / / / / / /5 / / / / / Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 90 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: Zwei eigenhändig handbeschriebene Seiten DIN A. Wer den Klausurraum vor Ende der Bearbeitungszeit endgültig verlässt, hat damit zu rechnen, dass seine Klausur als nicht bestanden gewertet wird. Eintragungen mit Bleistift oder Rotstift werden nicht gewertet. Es wird nur die Angabe von Endergebnissen verlangt. Nebenrechnungen werden nicht gewertet und daher auch nicht eingesammelt. Folgende Ableitungen, Stammfunktionen und Funktionswerte könnten hilfreich sein: f) a e sin tan sinh arsinh d d f) a a e cos cos) ) cosh + f) b ln cos arctan cosh arcosh d d f) lnb) b Viel Erfolg! a R, b R + sin + sinh sin cos Aufgabe Punkt) Bitte geben Sie den Namen Ihres Tutors bzw. Ihrer Tutorin und die Nummer Ihrer Übungsgruppe an. Name des Tutors/der Tutorin: Gruppennr.: Aufgabe Punkte) Bestimmen Sie die Werte der folgenden Reihen. ) k+ k=0 k! = e k= 5 k = Seite von

14 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Aufgabe Punkte) Berechnen Sie die folgende Grenzwerte = 5 ) sin + = + ) = 5 Aufgabe Punkte) Bestimmen Sie jeweils den Entwicklungspunkt z 0 und den Konvergenzradius ρ der folgenden Reihen. z 0 ρ n=0 z + ) n n)! z ) n n= n n Aufgabe 5 Punkte) Gegeben sei die Funktion Berechnen Sie die ersten zwei Ableitungen von f. f : R R: e cos ). f ) = ecos ) sin ) f ) = ecos ) )) ) ) sin cos Stellen Sie das in 0 = entwickelte Taylorpolynom zweiter Stufe T f,, ) auf. T f,, ) = ) + ) 8 Seite von

15 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Aufgabe 6 5 Punkte) Geben Sie die Partialbruchzerlegung an = + Berechnen Sie folgende Integrale d = ln ln + ] ln) d = ln) ] Aufgabe 7 Punkte) Bestimmen Sie alle Etrema der Funktion f : R R:, y) + y + unter Nebenbedingung g, y) = 0 mit grad f, y) = g : R {0}) R {0}) R:, y) y. Berechnen Sie den Gradienten von f und g: grad g, y) = y Bestimmen Sie alle Stellen, an denen die Funktion unter der Nebenbedingung ihre Maima und Minima annimmt, sowie die Funktionswerte an diesen Stellen. Stelle Funktionswert Typ, ) 0 relatives Maimum weil die Nebenbedingung eine nicht kompakte Menge beschreibt, können die Funktionswerte an relativen Minima größer sein als die bei den relativen Maima und das passiert hier auch!, ) 6 relatives Minimum Seite von

16 Scheinklausur Höhere Mathematik Musterlösung , Version Aufgabe 8 Punkte) Berechnen Sie die folgenden Integrale. Falls das uneigentliche Integral nicht eistiert, tragen Sie divergent ein. cos ) sin ) d = ] ) cos ) ln sin sin ) d = divergent Aufgabe 9 Punkte) Bestimmen Sie eine Parametrisierung C : 0, ] R der geraden Strecke vom Punkt, ) zum Punkt, ). t + Ct) =, t 0, ]. t Berechnen Sie C t) = und die folgenden Kurvenintegrale für f : R R: u, v) u + v und g : R R : u, v) u v ) C fs) d s = 5 C g) d = 7 Aufgabe 0 Punkte) Für welche α R besitzt das Vektorfeld ) g : R R + R : eα y + ln y y e α + y ein Potential?. α = Bestimmen Sie für diese α ein Potential U. U, y) = e y + ln y Seite von