Übungsblatt 1: Lösungswege und Lösungen

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1 Übungsblatt : Lösungswege und Lösungen 5..6 ) Hier geht es weniger um mathematisch-strenge Beweise als darum, mit abstrakten Vektoren ohne Komponenten) zu hantieren und damit die Behauptungen plausibel zu machen. a) Der Vektor entlang der dritten Seite c eines Dreiecks ist die Summe der beiden Vektoren entlang der ersten beiden Seiten a und b. Nach geometrischer Anschauung ist die Seitenhalbierende die Summe der halben Vektoren entlang a und b. Daraus folgt die Behauptung auf triviale Weise. b) Die Strategie besteht darin, durch Addition geeigneter Bruchteile von Seitenvektoren wie bei a) zwei unterschiedliche Vektor-Wege von einem Eckpunkt zum Schnittpunkt der Seitenhalbierenden zu konstruieren. Dann stellt sich heraus, daß die resultierenden Vektoren identisch sind, damit dann auch die Schnittpunkte. ) a a) x =, y =, z = b + + c b) â = a b, mit N = a ) + b + N c + a c) r = + λ b c a d) r = + λ + µ b c e) = 5 r c + ) ) a) ˆα =, ˆγ = 7 b) δ =, ζ = 5 + ) c) α β = +, β α = α β, α γ = + )

2 d) α β =, β α = α β, β β = für alle β e) α β γ) = 9 + ), α β) γ = α β γ) = β γ α) 4) Lösungsweg: Definitionsformeln fürs Skalar- bzw. Vektorprodukt siehe Skript) nach cosϕ) bzw. sinϕ) auflösen beim Vektorprodukt genügt es, den Betrag des resultierenden Vektors zu betrachten; die Richtungsinformation ist hier überflüssig), die nötigen Größen auf der anderen Seite einsetzen und cosϕ) bzw. sinϕ) ausrechnen. Dann ϕ selbst mit Hilfe der geeigneten Umkehrfunktion bestimmen., 45, 6 5) Lösungsweg: Vektorprodukt zweier Vektoren liefert einen dritten Vektor senkrecht zu den ersten beiden; Orthogonalitätsnachweis mit Test ob Skalarprodukt gleich Null. a) n m = ˆk = oder ˆk oder ˆk etc. b) a b = bc c) x y = ad ac 6) Lösungsweg: Geradengleichung in skalare Gleichungen übersetzen, die daraus resultierenden Ausdrücke für x und z in die Ebenengleichungen einsetzen, dann: a) Dies liefert eine Bestimmungsgleichung für λ, was in die Geradengleichung eingesetzt den einen Schnittpunkt liefert; b) Dies führt zum Widerspruch; c) Dies führt zu von λ unabhängigen Gleichungen, d.h. alle Werte für λ sind erlaubt. Bei b) und c) ist der Normalenvektor,, )T der Ebene senkrecht auf dem Vektor,, ) T entlang der Geraden, daher sind in beiden Fällen Gerade und Ebene parallel. Bei b) ist der Aufpunkt 4) der Geraden nicht in der Ebene, wie man durch Einsetzen in die Ebenengleichung leicht testen kann. Daher sind alle anderen Punkte der Geraden auch nicht in der Ebene. Umgekehrt ist bei c) der Aufpunkt der Gerade in der Ebene und damit alle anderen Punkte auch. a),, ) T, b) g parallel zu e, c) Gerade in Ebene.

3 7) Lösungswege: a) Entweder die Vektoren der Geraden-Parameterform in die Skriptformel Gl. 47) einsetzen, oder aus der Parameterform die Hessesche Normalenform erzeugen via Elimination von λ) und daraus den Abstand ablesen. b) Entweder zusätzlich zum Ebenenaufpunkt zwei weitere Punkte in der Ebene erzeugen z.b. durch λ =, µ = ) und λ =, µ = )) und dann Skriptformel Gl. 5) verwenden, oder die Parameterform in die Normalenform verwandeln via Elimination von λ und µ) und dann Skriptformel Gl. 5) nutzen. a), b) 8) a a a a a) e : r = + λ a + µ a, e : r = + λ a + µ a a b) Schnittgerade g: r = + λ a c) Das ist die.winkelhalbierende wegen der Form des Richtungsvektors) in einer Ebene parallel zur x, y-ebene wegen des Aufpunkts) im Abstand von der x, y-ebene und damit auch vom Ursprung. Einsicht, keine Rechnung nötig) a a d) n = a, n = a e) 9 f) 9) Lösungsweg: Damit ein Boot einen strömenden Fluß senkrecht zur Ufelinie überqueren kann, muß das Boot in schräger Richtung gegen die Strömung steuern. Entlang dieser schrägen Richtung kann relativ zum Wasser die mögliche Maximalgeschwindigkeit erreicht werden. Diese kann man vektoriell Parallelogramm) zerlegen in eine Komponente genau entgegengesetzt zur Strömungsrichtung parallel zur Uferlinie) und eine zweite Komponente senkrecht zur Uferlinie. Die Komponente entgegengesetzt zur Strömungsrichtung muß dabei exakt genauso groß sein wie die Strömungsgeschwindigkeit. Mit dem Satz des Pythagoras kann man dann ausrechnen, wie groß die verbleibende Geschwindigkeitskomponente senkrecht dazu ist. a) Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Uferlinie: 5 km/h. Also braucht man 8min zur Überquerung. b) Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Uferlinie: km/h. Also kann keine Überquerung in endlicher Zeit gelingen.

4 Weitere Aufgaben.) Hier geht es weniger um mathematisch-strenge Beweise als darum, mit abstrakten Vektoren ohne Komponenten) zu hantieren und damit die Behauptungen plausibel zu machen. a) Die Strategie besteht darin, durch Addition geeigneter Bruchteile von Seitenvektoren wie bei a) zwei unterschiedliche Vektor-Wege von einem Eckpunkt zum Schnittpunkt der Seitenhalbierenden zu konstruieren. Dann stellt sich heraus, daß die resultierenden Vektoren identisch sind, damit dann auch die Schnittpunkte. b) Tetraeder durch drei Vektoren a, b und c entlang dreier Kanten ausgehend vom selben Punkt) aufspannen. Diese können genutzt werden, um für jede der vier Flächen mit Hilfe des Vektorprodukts einen Normalenvektor zu konstruieren dessen Länge den Inhalt der Fläche enthält). Addition aller dieser Flächenvektoren ergibt den Nullvektor..) Lösungswege: a) Definition von Skalar- und Vektorprodukt einsetzen, Quadrate ausführen, zusammenfassen und sin φ + cos φ = verwenden. b) Skalarprodukt x y berechnen und beachten, daß a a = a gilt. a) a b.) a) ˆβ = 7 b) ɛ = c) β γ =, β β = β = 7 4 d) α γ = 6, β γ = 9 e) γ β α) = γ α β) = α β γ), β γ γ) = β =.4) Lösungsweg: halbsystematisches Komponenten-Raten, via Forderung, daß das Skalarprodukt eines unbekannten Vektors mit dem gegebenen Null sein soll; deswegen 4

5 sind die gezeigten Lösungen nur jeweils eine von beliebig vielen möglichen... a), 5 b), b c c) a, a + b a + c a.5) Lösungsweg bei e): Die Schnittgerade von e und e wurde bereits in d) berechnet, also ist nur noch der Schnittpunkt dieser Schnittgeraden mit e zu bestimmen. a) Schnittpunkt ) b) g liegt in e c) Schnittpunkt ) d) Schnittgerade r = + λ oder r = + λ selbe Gerade, anderer Aufpunkt), usw. e) Schnittpunkt 4 7 ).6) Trotz der vierdimensionalen Vektoren gelten die üblichen Vektor-Rechenregeln. a) a =, b = c =, a, b) = π 4 = 45, b, c) = π = 6, b, c) = π = 9 b) Schnittpunkt ).7) Lösungswege: a) Vektoren a, b und c vom Ursprung zu den angegebenen drei Punkten müssen alle gleich lang sein und paarweise jeweils einen Winkel von Grad einschließen cos )=-/). Berücksichtigt man zusätzlich die vorgegebene Lage der Punkte, kann man die x,y-komponenten aller drei Vektoren ausrechnen die z-komponenten sind ohnehin Null). b) Mit elementarer Dreiecksgeometrie kann man die Seitenlänge s des Tetraeders aus den Daten der Teilaufgabe a) berechnen. Eine Kugel mit Radius s um P a schneidet die z-achse im gesuchten Punkt P d. 5

6 c) Konstruiere einen weiteren Punkt P e, an dem die Strecke von P b zu P c die x-achse schneidet. Aus Symmetriegründen muß der gesuchte Kugelradius gleich dem Abstand der Gerade durch P d und P e vom Ursprung sein. d) Standard-Volumenformeln für Halb!-)Kugel und Tetraeder verwenden, Differenz bilden. a) P a d ), P b ) d d b) s = d P d d) c) P e ) d, Kugelradius = d d) Restvolumen = 6 4 π ) d 7 P b d ) d.8) Lösungswege: a) für x: r = α ) in Ebenengleichung einsetzen und α ausrechnen. Für y und z analog. b) Standardformel für Tetraedervolumen verwenden. Wegen Betragsbildung bei der Ermittlung des Spatvolumens aus dem Spatprodukt kann der resultierende Wert für c Plus oder Minus als Vorzeichen haben. c) Die Normalenvektoren lassen sich direkt aus Teilaufgabe a) ablesen. Mit c = c und cos6 ) = / läßt sich ein Zahlenwert für c ausrechnen und damit das Tetraedervolumen. d) Weil die neue Ebene die z-achse enthalten soll, ist der Ursprung ein Punkt in der Ebene und der kartesische Einheitsvektor ˆk ein möglicher Richtungsvektor. Da sich die beiden ursprünglichen Ebenen nur in ihren z-achsenabschnitten unterscheiden, halbiert die.winkelhalbierende in der x,y-ebene die Tetraeder; ihr Richtungsvektor ist also ein zweiter möglicher Ebenen-Richtungsvektor. b) c, = ± 6v c) n, =, c = ± c, d) r = λ + β 6