Versuch P2-71,74: Kreisel. Auswertung. Von Jan Oertlin und Ingo Medebach. 25. Mai Drehimpulserhaltung 2. 2 Freie Achse 2

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1 Versuch P2-71,74: Kreisel Auswertung Von Jan Oertlin und Ingo Medebach 25. Mai 2010 Inhaltsverzeichnis 1 Drehimpulserhaltung 2 2 Freie Achse 2 3 Kräftefreie Kreisel 2 4 Dämpfung des Kreisels 3 5 Kreisel unter dem Einfluss äußerer Drehmomente 4 6 Hauptträgheitsmomente Fehlerrechnung Der statistische Fehler Der systematische Fehler Fehlerbetrachtung Kreisel im beschleunigten Bezugssystem 9

2 1 Drehimpulserhaltung Hier haben wir die Drehimpulserhaltung anhand der zwei in der Vorbereitung bereits beschriebenen Beispiele gezeigt. 2 Freie Achse Bei dieser Aufgabe haben wir die drei Hauptträgheitsmomente einer Zigarrenschachtel untersucht, indem wir die Schachtel an einen Draht gehängt haben, der durch einen Elektromotor in Rotation versetzt wurde. Da der Draht schon leicht gebogen war, war die Drehung um eine stabile Achse trotzdem recht wackelig. Jedoch konnte man trotzdem sehen, dass nur das größte und kleinste Trägheitsmoment eine stabile Rotation erzeugt. 3 Kräftefreie Kreisel Nun haben wir die Nutationsfrequenz in Abhängigkeit der Rotationsfrequenz des Kreisels gemessen. Dazu haben wir den Kreisel mittels einem Motor auf eine Rotationsfrequenz von rund 22 Hz gebracht. Um eine Störung zu erzeugen und somit eine Nutation, haben wir auf den inneren Kardanenrahmen geschlagen. Diese Messung haben wir dann nochmal mit Gewichten an dem äußeren Kardanenrahmen wiederholt. Die notierten Werte haben wir in die Kreisfrequenz ω umgerechnet, geplotet, Regressionsgeraden und statistische Fehler berechnet. Die Steigungen entsprechen dem Verhältnis des Trägheitsmomentes der Figurenachse zum Trägheitsmoment der anderen Achsen, da wie in der Vorbereitung erwähnt, folgender Zusammenhang gilt: ω n = Θ 3 Θ ω Daraus ergibt sich eine Steigung m 1 für die Messreihe ohne Gewichte mit m 1 = 0, 7686 ± 0, 0538 und eine Steigung m 2 für die Messreihe mit Gewichten mit m 2 = 0, 3924 ± 0, Somit haben wir ω N,i (ω) = m i ω mit i = 1, 2. 2

3 4 Dämpfung des Kreisels Hier haben wir den Kreisel auf eine sehr hohe Umdrehungszahl gebracht und in einem 20 Sekunden Abstand die Frequenzen gemessen. Die Messdaten lassen schon vermuten, dass hier eine exponentielle Dämpfung vorliegt. Um den Dämpfungskonstante α zu bestimmen, benutzen wir folgende Umformung: ω(t) = ω 0 e αt ln ω(t) = ln ω 0 + α t Wir tragen dies in einem Diagramm ein und erhalten aus der Steigung der Regressionsgrade die Dämpfungskonstante. Wir erhalten für die Dämpfungskonstante den Wert α = s mit dem statistischen Fehler α = ±0, s. Da die Dämpfung relativ gering ist, können wir davon ausgehen, dass unsere Daten bei der folgenden Messung nicht um einen zeitlichen Faktor korrigiert werden muss. Wir können nun im folgenden Diagramm schön erkennen, dass die Funktion f(x) = ω 0 e αt unsere Dämpfung gut beschreibt: 3

4 5 Kreisel unter dem Einfluss äußerer Drehmomente Hier haben wir an den Kardanrahmen ein äußeres Drehmoment angebracht. Dazu haben wir einmal ein Stab und einmal zusätzlich zu dem Stab noch ein extra Gewicht angeschraubt. Wir beschleunigen nun den Kreisel und halten ihn an dem Stab fest. An der Sockelfuß und dem äußeren Kardanrahmen sind Pfeile so angebracht, dass wir mit ihnen genau eine halbe Umdrehung ablesen können. Wir lassen den Stab los und messen mit einer Stopuhr die Dauer einer halben Umdrehung. Es gilt der Zusammenhang aus der Vorbereitung. ω p = m g r ω Θ 3 r ist der Abstand von Kreiselmittelpunkt bis zum Schwerpunkts des Extragewichtes. Beim ersten Aufbau 1 beträgt r = 10, 91cm + 17, 5cm. Beim zweiten Aufbau müssen wir die Formel in ω p = m Stab g r Stab +m Gewicht g r Gewicht ω Θ 3 umschreiben da wir zwei äußere Drehmomente haben. Hier 2 ist nun r Stab = 10, 91cm + 17, 5cm = 28, 41cm und r Gewicht = 10, 91cm + 0cm + 3, 3cm = 14, 21cm. Dies wird jedoch erst bei der Aufgabe 6 nötig. Nun tragen wir ω p über 1 ω in Diagrammen auf. 6 Hauptträgheitsmomente Nun bestimmen wir die Trägheitsmomente des Kreisels und dessen Masse. Um Θ 3 zu bestimmen benutzen wir von Aufgaben 5 folgenden Zusammenhang ω p = m g r ω Θ 3 1 Den Wert für den Stabschwerpunkt haben wir selber nicht gemessen. Deshalb haben wir diesen von der Gruppe Do-21 übernommen 2 Auch den Wert der Strecke vom Schwerpunkt des Gewichts bis zum Rand des Gewichts haben wir von der Gruppe Do-21 übernommen 4

5 Wir formen es noch ein bisschen um, damit wir als Steigung einer Regressionsgrade genau Θ 3 erhalten. Es gilt: g r m = Θ 3 ω p ω Bei unserer ersten Messreihe haben wir für r m = r Stab m Stab. Beim der zweiten Messreihe wird dieser Term verändert, da wir zwei Gewichte befestigt hatten. Wir erhalten r m = m Stab r Stab + m Gewicht r Gewicht. Die Massen waren gegeben mit m Stab = 0, 330 kg und m Gewicht = 0, 375 kg. Wir erhalten für die erste Messreihe einen Wert von Θ 3,1 = 0, 0101 kg m 2 und für die zweite Messreihe einen Wert von Θ 3,2 = 0, 0114 kg m 2. Der Mittelwert ist bei uns somit Θ 3,mittel = 0, 0107 kg m 2. Um Θ 1 und Θ 2 zu bestimmen, nehmen wir den Zusammenhang der Notationsfrequenz mit der Rotationsfrequenz aus Aufgabe 3. Für die Nutation ohne Gewichte galt: Mit den Zusatzgewichten haben wir: ω n = Θ 3 ω n = ω Θ1 Θ }{{ 2 } m 1 Θ 3 ω (Θ1 + Θ G ) Θ 2 }{{} m 2 Nun müssen wir zuerst noch das Trägheitsmoment Θ G der Zusatzgewichte berechnen (mit Steiner schen Satz): Θ G = 2 ( 1 2 m G ( ) d 2 ( + m G r A + d ) ) 2 2 = 2m G (r 2A + r A d + 38 ) 2 2 d2 Wobei m G das Gewicht eines Zylinders ist, r A der Radius des äußeren Kardanrahmens und d der Durchmesser der zylindrischen Zusatzgewichte. Mit m G = 1, 024 kg, r A = 0, 149 m und d = 0, 04 m 5

6 ergibt sich Θ G = 0, 0589 kg m 2. Um Θ 1 zu bestimmen, berechnen wir das Verhältnis m 1 Daraus ergibt sich: Θ 2 erhalten wir aus m 1 = m 2 : m 1 Θ1 + Θ G = m 2 Θ 1 Θ 1 = Θ G ( m1 m 2 ) 2 1 Θ 3 Θ1 Θ 2 Θ 2 = Θ2 3 m 2 1 Θ 1 Als Zahlenwerte erhalten wir Θ 1 = 0, 0208 kg m 2 und Θ 2 = 0, 0093 kg m 2. Um die Masse zu bestimmen, berechnen wir das Trägheitsmoment des Kreisels um dessen Figurenachse. Dieses ist gegeben durch: Θ 3 = 1 2 m Kr 2 K Wobei m K die Masse des Kreisels und r K der Radius dessen ist. Da Θ 3 bekannt ist, können wir auf die Masse schließen. Somit erhalten wir m K = 4, 6968 kg. 6.1 Fehlerrechnung Der statistische Fehler Im Folgenden werden die statistischen Fehler berechnet, sofern sie noch nicht angegeben wurden. Um den statistischen Fehler von Θ 3 zu ermitteln, haben wir gnuplot verwendet. Dieses gibt bei einer Regressionsgrade auch den statistischen Fehler aus. Wir haben die gleichen Diagramme wie in Aufgabe 6 uns plotten lassen. Bei der ersten Messreihe ohne ein zusätzliches Gewicht haben wir einen Fehler von Θ 3,1 = 0, kg m 2. Bei der zweiten Messreihe erhalten wir einen Fehler von Θ 3,2 = 0, kg m 2. Als Mittelwert ergibt sich somit Θ 3 = 0, 0004 kg m 2. Der statistische Fehler für Θ 1 ergibt sich aus ( ) 2 ( ) 2 Θ1 Θ1 σ Θ1 = σm m σm 1 m wobei σ m1 und σ m1 aus Aufgabe 3 bekannd sind. Somit ergibt sich ein statistischer Fehler von σ Θ1 = 0, 0109 kg m 2. Der statistische Fehler für Θ 2 ergibt sich aus ( ) 2 ( ) 2 Θ2 Θ2 σ Θ2 = σm m σθ ( Θ2 Somit ergibt sich ein statistischer Fehler von σ Θ2 = 0, 0051 kg m 2. Θ 1 ) 2 σ 2 Θ 1 6

7 Der statistische Fehler für m K ergibt sich aus ( mk σ mk = ) 2 σ 2 Θ 3 Somit ergibt sich ein statistischer Fehler von σ mk = 0, 2195 kg Der systematische Fehler Im Folgenden berechnen wir die arithmetische Fehlerfortpflanzung. Um den systematsichen Fehler von Θ 3 zu brechen, betrachten wir erneut folgende Formel: Für die erste Messreihe gilt: Und für die Zweite: Θ 3 = g r m ω ω p Θ 3 = g (r Stab + r ikr ) m Stab ω ω p Θ 3 = g (r Stab + r ikr ) m Stab + g (r Gewicht + r ikr ) m Gewicht ω ω p Mit r ikr als Abstand von Kreiselschwerpunkt - äußerer Rand des inneren Kardanrahmens. Für ω ω p nehmen wir die Steigung aus der Regressionsgrade von Aufgabe 5. Der systematische Fehler ist definiert als Θ 3 = r Stab r Stab + r Gewicht r Gewicht + r ikr r ikr + m Stab m Stab + m Gewicht m Gewicht Wir erhalten für die erste Messreihe ohne ein Zusatzgewicht einen systematischen Fehler von Θ 3,1 = ±0, kg m 2 und für die zweite Messreihe mit Zusatzgewicht Θ 3,2 = ±0, kg m 2. Als Mittelwert erhalten wir nun einen systematischen Fehler von Θ 3 = ±0, 0001 kg m 2. Somit also Θ 3 = 0, 0107 ± 0, 0001 kg m 2. Bei der Berechnung von Θ G haben wir folgende Unsicherheiten: m G = 1, 024 ± 0, 001 kg r A = 0, 149 ± 0, 001 m d = 0, 04 ± 0, 0001 m 7

8 Der Fehler wird berechnet durch: Θ G = Θ G r A r A + Θ G m G m G + Θ G d d Somit ergibt sich Θ G = 0, kg m 2, also Θ G = 0, 0589 ± 0, 0008 kg m 2. Bei der Berechnung von Θ 1 haben wir folgende Unsicherheiten: Θ G = 0, 0589 ± 0, 0008 kg m 2 m 1 = 0, 7686 ± 0, 0538 m 2 = 0, 3924 ± 0, 0269 Mit ergibt sich Θ 1 = 0, 0208 ± 0, 0081 kg m 2. Θ 1 = Θ 1 Θ G Θ G + Θ 1 m 1 m 1 + Θ 1 m 2 m 2 Bei der Berechnung von Θ 2 haben wir folgende Unsicherheiten: Θ 3 = 0, 0107 ± 0, 0001 ± 0, 0004 kg m 2 m 1 = 0, 7686 ± 0, 0538 Θ 1 = 0, 0208 ± 0, 0081 kg m 2 Mit ergibt sich Θ 2 = 0, 0093 ± 0, 0058 kg m 2. Θ 2 = Θ 2 Θ 3 + Θ 2 m 1 m 1 + Θ 2 Θ 1 Θ 1 Bei der Berechnung der Masse m K haben wir folgende Unsicherheiten: Θ 3 = 0, 0107 ± 0, 0001 ± 0, 0004 kg m 2 r K = 1 2 (13, 50 ± 0, 01) Mit ergibt sich m K = 4, 6968 ± 0, 2264 kg 6.2 Fehlerbetrachtung Als Endwerte erhalten wir folgende Ergebnisse m K = m K Θ 3 + m K r K r K Θ 1 = (0, 0208 ± 0, 0081 ± 0, 0109) kg m 2 Θ 2 = (0, 0093 ± 0, 0058 ± 0, 0051) kg m 2 Θ 3 = (0, 0107 ± 0, 0001 ± 0, 0004) kg m 2 m K = (4, 6968 ± 0, 2264 ± 0, 2195) kg 8

9 Es ist schön zu erkennen dass der Fehler bei Θ 3 sehr gering ist mit weniger als 5%. Die Messmethode war zwar etwas ungenau, da die Messwerte teilweise per Stoppuhr aufgenommen wurden, aber man sieht, dass der Fehler nicht all zu groß war. Dieser Fehler wird in dem passendem Diagramm bei der Aufgabe 6 auch schön deutlich, da die Messwerte schön um die Regressionsgrade verteilt liegen. Dies könnte durch eine andere Messanordnung und mit Hilfe von Lichtschranken verbessert werden. Bei der Masse des Kreisels haben wir ebenfalls einen kleinen Fehler (< 10%). Da wir zum Berechnen der Masse nur Θ 3 und den Radius des Kreisels benötigt haben, ist auch nur deren Fehler zu betrachten. Diese sind schon relativ gering und somit wurde auch die Massenbestimmt recht genau. Bei Θ 1 und Θ 2 ist der Fehler deutlich größer. Hier war die Messung auch schwerer durchführbar. Das Ablesen der Nutationsfrequenz war sehr ungenau, da sie zeitlich nicht konstant war und somit es nicht immer eindeutig war zu welchem Zeitpunkt wir unsere Werten nun entnehmen sollten. Dies wird auch in dem Schaubild von Aufgabe 3 sehr deutlich. Oft wurde ungefähr die doppelte Frequenz auf dem Messgerät angezeigt. Dies entstand durch das zu starke Anhauen des Kardanrahmens. 7 Kreisel im beschleunigten Bezugssystem Wie in der Vorbereitung beschrieben, haben wir den inneren Kardanrahmen so fixiert, dass der Kreisel sich nur noch horizontal bewegen kann. Diesen haben wir dann auf eine Schräge, die auf einer Drehschreibe stand, gestellt und den Kreisel beobachtet, als sich die Erde (also hier die Drehscheibe) bewegt hat. Der Kreisel hat wie erwartet immer in Richtung Norden gezeigt. 9