( ) ( ) a = Das Grundgehalt beträgt 2656, die Überstundenpauschale 21.

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Nele Bachmeier
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1 R. Brinkmann Seite Lösung alltäglicher Probleme mittels linearer Funktionen 1. Tobias und Mario arbeiten als Krankenpfleger in einer Rehabilitationsklinik und beziehen das gleiche Grundgehalt. Zur Zeit müssen beide viel Überstunden leisten. Am Monatsende vergleichen sie ihre Gehaltsabrechnungen. Der Bruttolohn von Tobias beträgt 3559, der von Mario Tobias hat im laufenden Monat 43 Überstunden, Mario dagegen nur 27 Überstunden geleistet. Berechnen Sie das Grundgehalt und die Überstundenpauschale. A1 2. Anzahl der Überstunden: x Ausgezahlter Bruttolohn f(x) Gegeben sind zwei Wertepaare: P1( ) und P2( ) y2 y a1 = = = = 21 f( x) = 21x+ a x2 x a = Überstundenpauschale a = Grundgehalt ( 1 ) P f 43 = a = a = f x = 21x a = 2656 Das Grundgehalt beträgt 2656, die Überstundenpauschale 21. Ein Energieversorgungsunternehmen bietet seinen Kunden zu folgenden Bedingungen Strom an: Eine kwh kostet,14 bei einer monatlichen Grundgebühr von 7,5. a) Stellen Sie einen Funktionsterm auf. Zeichnen Sie den Graphen für die Abnahme bis zu 2 kwh in ein geeignetes Koordinatensystem. b) Die Stromrechnung für 4 Monate beläuft sich auf 15,4. Wie viel kwh wurden bezogen? c) Ein Zweitanbieter verkauft Strom für,1 pro kwh bei einer monatlichen Grundgebühr von 1. Ab welcher Abnahme lohnt sich der Wechsel des Stromanbieters? Erstellt von R. Brinkmann p1_lin_fkt_4.doc :17 1 von 9

Am Monatsende vergleichen sie ihre Gehaltsabrechnungen. Der Bruttolohn von Tobias beträgt 3559, der von Mario 3223.

2 R. Brinkmann Seite A2 a) Ansatz: 1 kwh:, ,5 2 kwh:, ,5... x kwh:,14 x + 7,5 Funktionsterm: f(x) =,14 x + 7,5 x kwh;f(x) Bemerkung: Die Rechnung erfolgt ohne Einheiten, diese werden den jeweiligen Ergebnissen angefügt. f( x) x 2 A2 b) Ansatz: f(x) =,14x + 7,5 gilt für die monatliche Abrechnung. Für 4 Monate betragen die Grundgebühren f x =,14x + 3 P x 15, 4 f x =,14x+ 3 = 15,4,14x + 3 = 15, 4 3,14x = 12,4 :,14 x = 86 Der Energiebezug in 4 Monaten betrug 86 kwh A2 c) Ansatz: 1 kwh:, ,5 2 kwh:, ,5... x kwh:,14 x + 7,5 Funktionsterm: f(x) =,14 x + 7,5 x kwh;f(x) Bei einem monatlichen Energiebezug von mehr als 62,5 kwh ist Anbieter II günstiger als Anbieter I. f( x) g( x) x Erstellt von R. Brinkmann p1_lin_fkt_4.doc :17 2 von 9

f( x) 4 4 35 3 25 2 15 1 5 4 8 12 16 2 x 2 A2 b) Ansatz: f(x) =,14x + 7,5 gilt für die monatliche Abrechnung. Für 4 Monate betragen die Grundgebühren 3.

3 R. Brinkmann Seite A3 Zur Versorgung der Futterautomaten im Zoo Koalabär benötigt der Tierpfleger täglich 7,5 kg Tierfutter. Zwölf Tage, nachdem das Futterlager zum letzten Mal aufgefüllt wurde, befinden sich dort noch 25 kg. a) Stellen Sie eine Funktionsgleichung auf, die diesen Sachverhalt beschreibt und zeichnen Sie den dazugehörigen Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem. b) Auf welche Menge wurde das Futterlager vor zwölf Tagen aufgefüllt? c) Bei einem Lagerbestand von 5 kg wird der Bestand wieder auf die unter b) berechnete Menge aufgestockt. Wann ist das erforderlich? a) x- Achse: Zeit in Tagen y- Achse: Futterbestand in kg f( x) = 7,5x+ a P( 12 25) f ( 12) = 25 7, a = a = a = 34 f x = 7,5x Menge in kg 3 25 f( x) kg Zeit in Tagen A3 b) Der Auffüllzeitpunkt liegt bei x =. f = 7, = 34 Der Futterbestand wurde vor 12 Tagen auf 34 kg aufgefüllt. Erstellt von R. Brinkmann p1_lin_fkt_4.doc :17 3 von 9

a) Stellen Sie eine Funktionsgleichung auf, die diesen Sachverhalt beschreibt und zeichnen Sie den dazugehörigen Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem.

4 R. Brinkmann Seite A3 4. A4 A4 c) f ( x) = 5 7,5x + 34 = ,5x = 29 : ( 7,5) x = = 38, Nach etwa 38,7 Tagen ist das Futterlager wieder aufzufüllen. Der Telefondienst Handybillig (HB) bietet an: Jede Gesprächsminute kostet,6, bei einer monatlichen Grundgebühr von 8,5. Die Konditionen von Handypreiswert (HP) lauten: Jede Gesprächsminute kostet,8, bei einer monatlichen Grundgebühr von 5. (Fertigen Sie eine Skizze an) a) Bei wie viel Minuten sind die Kosten bei beiden gleich? b) Ihnen stehen 25 monatlich zum Telefonieren zur Verfügung (Oma zahlt). Welchen Dienst wählen Sie und wie lange können Sie bei dem gewählten Anbieter telefonieren? c) Stellen Sie die Ergebnisse von a) und b) im Koordinatensystem dar. a) HB :K1( x) =,6x + 8,5 HP :K2( x) =,8x + 5 Kostengleichheit herrscht im Schnittpunkt beider Geraden. K 2( x) = K1( x),8x + 5 =,6x + 8,5,6x,2x + 5 = 8,5 5,2x = 3,5 :,2 x = 175 K1 ( 175) =, ,5 = 19 K 175 =, = 19 2 Nach 175 Minuten herrscht Kostengleichheit (19 ). b) HB : HP : K1( x) = 25,6x + 8,5 = 25 8,5 K2( x) = 25,8x + 5 = 25 5,6x = 16,5 :,6,8x = 2 :,8 x = 275 x = 25 Der Dienst von HB ist günstig, denn für 25 kann man 275 Minuten telefonieren. Hingegen reichen bei HP die 25 nur für 25 Minuten. Erstellt von R. Brinkmann p1_lin_fkt_4.doc :17 4 von 9

Die Konditionen von Handypreiswert (HP) lauten: Jede Gesprächsminute kostet,8, bei einer monatlichen Grundgebühr von 5.

5 R. Brinkmann Seite A4 c) Kosten in K1( x) K2 25 ( x) Zeit in Minuten 5. A5 Ein Betrieb kann täglich maximal 15 Kühlschränke herstellen (Kapazitätsgrenze). Die fixen Kosten K f betragen 9. Die variablen Stückkosten sind konstant und betragen k v = 3. Die Kühlschränke werden zu einem Preis von je 375 verkauft. a) Ermitteln Sie die Kostenfunktion K(x), die Erlösfunktion E(x) und die Gewinnfunktion G(x) für den Betrieb. b) Bei welcher Ausbringungsmenge wird die Gewinnschwelle erreicht? Wie hoch sind an dieser Stelle die Gesamtkosten bzw. der Erlös? c) Wie groß ist der Gewinn an der Kapazitätsgrenze? a) Fixkosten: Kf = 9 variable Stückkosten: kv = 3 Absatzpreis: p = 375 Kostenfuntion: K ( x) = kv x + Kf = 3x + 9 Erlösfunktion: E( x) = p x = 375 x Gewinnfunktion: G x = E x K x = 75x 9 Erstellt von R. Brinkmann p1_lin_fkt_4.doc :17 5 von 9

Die Kühlschränke werden zu einem Preis von je 375 verkauft. a) Ermitteln Sie die Kostenfunktion K(x), die Erlösfunktion E(x) und die Gewinnfunktion G(x) für den Betrieb.

6 R. Brinkmann Seite A5 A5 6. b) Die Gewinnschwelle ist die Stelle, an der kein Gewinn gemacht wird. G( x) = 75x 9 = x = 9 75 x = xs = 12 E( xs) = E( 12) = = 45 = K ( xs) Ab einer täglichen Ausbringungsmenge von 12 macht der Betrieb Gewinn. An der Gewinnschwelle sind die Kosten genau so hoch wie der Erlös (45 ). c) Gewinn an der Kapazitätsgrenze: G( 15) = = 22 5 An der Kapazitätsgrenze beträgt der Gewinn Armin sieht sich die Tarife des Telefonanbieters Billigsurf an. Tarif A: Grundgebühr 5 / Monat die ersten 1 Stunden frei, dann,5 Ct. / min. Tarif B: Grundgebühr 1 / Monat die ersten 2 Stunden frei, dann,4 Ct. / min. Tarif C: Flatrate 25 / Monat. Durchschnittlich surft Armin zweieinhalb Stunden täglich a) Stellen Sie für jeden Tarif die Funktionsgleichung auf. b) Zeichnen Sie die Funktionsgraphen in ein geeignetes Koordinatensystem. c) Erklären Sie, was alles aus den Graphen ablesbar ist (Interpretation). d) Berechnen Sie den günstigsten Tarif für Armin. e) In welchem Punkt herrscht Kostengleichheit für Tarif A und B? f) Ab welcher Surfzeit sollte Armin die Flatrate wählen? Erstellt von R. Brinkmann p1_lin_fkt_4.doc :17 6 von 9

An der Gewinnschwelle sind die Kosten genau so hoch wie der Erlös (45 ). c) Gewinn an der Kapazitätsgrenze: G( 15) = 75 15 = 22 5 An der Kapazitätsgrenze beträgt der Gewinn 22 5.

7 R. Brinkmann Seite a) y Kosten in Flatrate 25 A B 1 5 Skizze 1 2 Surfzeit in Stunden x x Achse Zeit in Stunden y Achse Kosten in Tarif A:,5 Ct / min sind 6 min,5 Ct / min = 3 Ct / h =,3 / h (Steigung) KA ( x) =,3x+ a 1 Freistunden bedeuten, in den ersten 1 Stunden fallen nur die Grundgebühren von 5 an. P 1 5 A A Durch diesen Punkt verläuft der Graph von K x. P 1 5 KA 1 = 5,3 1 + a = 5 3 a = 2 Funktionsgleichung für Tarif A: K x =,3x + 2 Tarif B:,4 Ct /min sind 6 min,4 Ct /min = 24 Ct /h =,24 / h (Steigung) KB x =,24x+ a 2 Freistunden bedeuten, in den ersten 2 Stunden fallen nur die Grundgebühren von 1 an. P 2 1 Durch diesen Punkt verläuft der Graph von K x. P 2 1 KB 2 = 1, a = 1 4,8 + a = 1 4,8 a = 5,2 Funktionsgleichung für Tarif B: K x =,24x+ 5, 2 B B Tarif C: Flatrate 25 ist unabhängig von der Surfzeit. Funktionsgleichung für Tarif C: F x = 25 (Parallele zur x Achse) Erstellt von R. Brinkmann p1_lin_fkt_4.doc :17 7 von 9

a 1 Freistunden bedeuten, in den ersten 1 Stunden fallen nur die Grundgebühren von 5 an. P 1 5 A A Durch diesen Punkt verläuft der Graph von K x.

8 R. Brinkmann Seite b) y Kosten in 3 25 Flatrate Tarif A Tarif B 2 y s Kostengleichheit x Surfzeit in Stunden x s x 1 x 2 c) Bei etwa 53 Stunden schneiden sich beide Geraden, in dem Punkt herrscht Kostengleichheit. Bis etwa 53 Stunden ist Tarif A der günstigste. Zwischen etwa 53 und 82 Stunden ist Tarif B der günstigste. Ab etwa 82 Stunden lohnt sich die Flatrate. d) Armin surft etwa 75 Stunden im Monat. Für ihn wäre bei dieser Surfdauer Tarif B der günstigste. Eine Rechnung soll das belegen: Monatliche Surfdauer 2,5 h 3 = 75 Stunden. Kosten bei Tarif A: KA ( 75) =, = 24,5 Kosten bei Tarif B: KB ( 75) =, ,2 = 23,2 Kosten bei Tarif C: F 75 = 25 Erstellt von R. Brinkmann p1_lin_fkt_4.doc :17 8 von 9

Punkt herrscht Kostengleichheit. Bis etwa 53 Stunden ist Tarif A der günstigste. Zwischen etwa 53 und 82 Stunden ist Tarif B der günstigste. Ab etwa 82 Stunden lohnt sich die Flatrate.

9 R. Brinkmann Seite e) Kostengleichheit für Tarif A und B ist im Schnittpunkt beider Geraden zu finden. K A ( x) = KB( x),3x + 2 =,24x + 5,2,24x,6x + 2 = 5,2 2,6x = 3,2 :, x = x s = : = = = = 53 ( 53 Stunden und 2 Minuten) KA = + = + = 1 3 Kostengleichheit herrscht bei einer Surfzeit von 53 h und 2 min. Die für diese Zeit anfallenden Kosten betragen für beide Tarife 18. f) Aus den Graphen ist abzulesen, dass der Schnittpunkt von K B (x) mit F (x) den Punkt markiert, ab dem für längere Surfzeiten die Flatrate günstiger ist als Tarif B. KB ( x) = F( x),24x + 5,2 = 25 5,2,24x = 19,8 :,24 x = x2 = 82,5 Ab einer Surfdauer von 82,5 Stunden monatlich, sollte man auf die Flatrate umstellen. Erstellt von R. Brinkmann p1_lin_fkt_4.doc :17 9 von 9

Kostengleichheit herrscht bei einer Surfzeit von 53 h und 2 min. Die für diese Zeit anfallenden Kosten betragen für beide Tarife 18.

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