existiert (endlich oder unendlich). f x h f x Dableitbar, wenn sie in jedem Punkt aus E ableitbar ist. f x h f x ':, ' lim

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Leonard Koch
vor 6 Jahren
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1 Ableitbare Funktionen. Ableitungen De. Sei die Funktion : D und Dein Häuungspunkt. Die Funktion ist genau dann an der Stelle eistiert und endlich ist. Die Funktion hat genau dann an der Stelle Grenzwert Dableitbar, wenn der Grenzwert Deine Ableitung, wenn der eistiert (endlich oder unendlich). Wenn die Ableitung eistiert, dann wird sie Die Funktion ist genau dann an der Stelle Grenzwerte sind und gleich sind. l Es gilt auch und. h h h r bezeichnet. Dableitbar, wenn die seitlichen eistieren endlich Die Funktion ist au der Menge E Dableitbar, wenn sie in jedem Punkt aus E ableitbar ist. Die Funktion E :, heißt Ableitung von au E. h h h Eig. Wenn eine Funktion an einer Stelle ableitbar ist, so ist sie an der Stelle stetig. Bew. Da gilt Geometrische Deutung der Ableitung einer Funktion an einer Stelle Sei die Funktion : D und Dein Häuungspunkt und die Punkte,,, A B. Das Verhältnis. kann als Anstieg der Geraden AB gedeutet werden. [AB] ist eine Sehne des Graen der Funktion. Strebt zu so wird aus

2 der Sehne eine Tangente. D.h. der Wert der Ableitung einer Funktion an der Stelle ist der Anstieg der Tangenten an den Graen der Funktion in dem Punkt, Die Gleichung der Tangenten ist: y. Wenn stetig ist in und l, r heißt der Punkt, A Umkehrpunkt des Graen von. A. (oder umgekehrt), dann Wenn stetig aber nicht ableitbar ist in und die seitlichen Ableitungen eistieren und mindestens eine seitliche Ableitung endlich ist, dann heißt der Punkt A, Eckpunkt des Graen von. Ableitungsregeln Seien, g : D, au ableitbare Funktionen und k. Dann gilt: - g g,dh. Die Ableitung der Summe ist die Summe der Ableitungen ; - k k, dh. Ein konstanter Faktor kann ausgeklammert werden. - g g, D r, g r g g ; g - ln g g g e g ln, - Falls : D D 1 umkehrbar ist, dann ist die Ableitung der Inversen y 1, wo y. Die wichtigsten Formeln (es wird vorausgesetzt, dass die Funktionen und ihre Ableitungen deiniert sind): n n1 n, n ln a a ln a, a, a 1

3 sin cos cos sin cos tg ctg sin arcsin 1 arccos 1 arc tg arc ctg 1 1 Ableitungen höherer Ordnung -Ableitung zweiter Ordnung : Es sei die ableitbare Funktion : D. ist die Ableitung zweiter Ordnung von an der Stelle. Eigentlich ist - Ableitung höherer Ordnung: n n., n,,, 1 1 -Regel von Leibniz: n k n k k g C g Etrempunkte De. Sei : D, D. n k1 - ist eine relative Maimumstelle der Funktion n eine Umgebung von,s.d., U U.

4 - ist eine relative Minimumstelle der Funktion eine Umgebung von,s.d., U U - heißt relatives Maimum(Minimum) oder Etremwert der Funktion -, M heißt relativer Maimumpunkt(Minimumpunkt) oder Etrempunkt der Funktion Bem. Eine Funktion kann mehrere relative Etremstellen haben. Ein relatives Minimum kann größer sein als ein relatives Maimum. Eigenschaten ableitbarer Funktionen 1. Lehrsatz von Fermat Sei : I, I, I oenes Intervall, relative Etremstelle. Wenn ableitbar ist in, dann ist. Bem. Der Kehrsatz ist alsch, dh. Wenn ist Etremstelle. Die Nullstellen der Ableitung einer Funktion heißen kritische Punkte.. Lehrsatz von Rolle Sei : a, b eine Rollsche Funktion ( dh. ist stetig au, ab, ) und a b. Dann gibt es mindestens einen Punkt ca, b c. ab, ableitbar au Geometrische Deutung: Wenn eine Rollsche Funktion ist und a b so, dass, so gibt es mindestens einen Punkt des Graen der Funktion in dem die Tangente parallel zu der O-Achse ist. Folgesätze Zwischen zwei aueinander olgenden Nullstellen der Funktion (dh. Lösungen der Gleichung ) liegt mindestens eine Nullstelle der Ableitung(dh. Lösung der Gleichung ) Zwischen zwei aueinander olgenden Nullstellen der Ableitung einer Funktion (dh. Lösungen der Gleichung der Funktion (dh. Lösung der Gleichung ). ) liegt höchstens eine Nullstelle

5 Reihe von Rolle: Wenn das Vorzeichen von in zwei aueinander olgenden Nullstellen von gleich ist, so hat dazwischen keine Nullstellen; ändert sich das Vorzeichen von in zwei aueinander olgenden Nullstellen von so hat dazwischen eine Nullstelle. Dh. die Anzahl der Nullstellen von ist gleich der Anzahl der Vorzeichenänderungen von in den Nullstellen von. 3. Lehrsatz von Lagrange (Mittelwertsatz) Sei : a, b eine Rollsche Funktion. Dann gibt es mindestens einen Punkt b a ca, bso, dass c. b a Geometrische Deutung: Wenn eine Rollsche Funktion ist, so gibt es mindestens einen Punkt der Sehne AB, wo Folgesätze,,, C c, c des Graen der Funktion in dem die Tangente parallel ist zu A a a B b b. Wenn au dem Intervall I, dann ist au I konstant. Wenn g au dem Intervall I, dann ist g Monotonieintervalle einer Funktion: -Wenn au I, dann ist streng wachsend au I. - Wenn au I, dann ist wachsend au I. - Wenn au I, dann ist streng allend au I. - Wenn au I, dann ist allend au I. Wenn ableitbar ist in Etremstelle der Funktion. 4. Lehrsatz von Cauchy und au I konstant., dann ist eine Seien, g : a, b Rollsche Funktionen ( dh. und g sind stetig au, ableitbar au ab, ) und g, a, b. Dann ist g a g b b a c mindestens einen Punkt ca, b so, dass. g b g a g c ab, und und es gibt

6 5. Lehrsatz von Dardou Wenn die Funktion : I (I ist ein Intervall) ableitbar ist au I, dann hat ihre Ableitung 6. Regeln von L Hospital : I die Eigenschat von Darbou. (1) Für die Unbestimmtheit Seien die Funktionen, g : I, und ein Häuungspunkt des Intervalls I, und : 1 g ; und g sind ableitbar ist au I, g, I ; 3 g l dann ist g l. () Für die Unbestimmtheit Seien die Funktionen, g : I, und ein Häuungspunkt des Intervalls I, und : 1 oder, g oder ; und g sind ableitbar ist au I, g, I ; 3 g l dann ist g l. Die Rolle der zweiten Ableitung einer Funktion De. Eine au einem Intervall deinierte Funktion : I ist au I (a) konve wenn ür alle 1, I und ür jeden Wert,1 die Ungleichheit gilt. (es genügt ür 1 zu wählen)

7 (b) konkav wenn ür alle 1, gilt. I und ür jeden Wert,1 die Ungleichheit Satz 1. Wenn : I au I ableitbar ist, dann gelten die äquivalenten Aussagen: 1 ist au I konve ist au I wachsend ist au I konkav ist au I allend Satz. Wenn : I au I zwei mal ableitbar ist, dann gelten die äquivalenten Aussagen: 1 ist au I konve, I ist au I konkav, I De. Sei die Funktion : I und I (im Inneren des Intervalls). heißt Inleionspunkt (Wendepunkt) der Funktion (bzw., M Inleionspunkt des Graen), wenn an der Stelle stetig ist, an der Stelle eine Ableitung hat und in die Konveität ändert. Satz 3. Wenn : I an der Stelle im Inneren des Intervalls zwei mal ableitbar ist und ein Inleionspunkt ist, dann gilt.

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