AP 2008 Analysis A1 Nichttechnik

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1 . Gegeben ist ie reelle Funktion f k Der Graph wir mit G fk bezeichnet. (, ) x fss( k, x) 6 k +, esto steiler ie Tangente. BE. Weisen Sie nach, ass ie Tangente an G fk im Schnittpunkt mit er y-achse eine von k unabhängige Steigung hat. Schnittpunkt mit er y-achse: x =.BE fs( k, ) unabhängig von k.be BE. Bestimmen Sie enjenigen Wert von k, für en ie Funktion an er Stelle x = einen relativen Hochpunkt besitzt..+.be fs( k, ) = + k = => k = fss(, ) < MK.6.8 A8_NT_A_MK_Loes.mc AP 8 Analysis A Nichttechnik mit f( k, x) x k + x + x k mit k R un D BE. Zeigen Sie rechnerisch, ass er Graph G fk für jees k zwei relative Extremstellen besitzt fs( k, x) x f( k, x) x + k x + D k = = k + > für alle k, also gibt es zwei Schnittpunkte (einf. Nullst., VZW) 6BE. Berechnen Sie ie Steigung er Wenetangente es Graphen G fk. Bestätigen oer wierlegen Sie anhan Ihres Ergebnisses ie Aussage: "Für k > gilt: Je größer er Wert von k, esto steiler ie Tangente." (Ausführliche Rechnung nicht erforerlich!) fss( k, x) x fs( k, x) k x + k = x = fsss k x fs k, k 6 k + Je größer k, esto größer fk = R.

2 BE.Zeigen Sie, ass er Funktionsterm von f sich auch in er Form f ( x) x f(, x) fallen steigen fallen => Max in ( / ) un Min in (.+.BE -, 7 7 ) f.+.be ( ) x ( ) schreiben lässt un bestimmen Sie sämtliche Nullstellen er Funktion un eren Vielfachheiten. x ( ) x ( ) x x x + x + x ( ) entwickeln x + x + x ( ) = x = un x = x = x = x = BE einfach oppelt 7BE. Berechnen Sie ie maximalen Monotonieintervalle. Geben Sie mit eren Hilfe Art un Koorinaten er relativen Extrempunkte an. f s ( x) x f ( x) vereinfachen x + x + D 6 x + x BE Der Graph von fs ist smofa in ] ; ] sowie in [ ; [ un smost in [ ; ]. 8 7 BE. Zeichnen Sie mit Hilfe vorliegener Ergebnisse un geeigneter Funktionswerte en Graphen von f im Bereich. x. Maßstab aufbeien Achsen: LE = cm. f ( x) x, xw, xw xt = f ( xt) = Graph un Werte eintragen BE. Der Graph er Funktion f schließt mit en beien Koorinatenachsen eine vollstänig im III. Quaranten liegene Fläche ein. Berechnen Sie eren Inhalt. Aq f ( x) x F ( x) f ( x) x x + 8 x + x x BE F ( ) = F ( ) A Aq A = 7.

3 . Die (untere) Abbilung zeigt en Graphen er. Ableitungsfunktion g' er Funktion g: x--> a x + b x + c x mit D g = R BE. Berechnen Sie mit Hilfe er Zeichnung en Funktionsterm g(x) er Funktion g. Mögliche Beingungen: g' ( ) = ; g' ( 6) = ; g' ( ) = ; g' ( ) = ; g' ( ) = ; g'' ( ) = (Vorsicht bei er letzten Beingung (Scheitel): Zusammen mit zwei symmetrischen um en Scheitel herum liegenen weiteren Punkten ergibt sich ein LGS, as eine Parameterlösung besitzt! => Elen!) g' ( x) = a x + b x + c (g''( x) = 6a x + b) g' ( ) = => c = I g' ( 6) = => 8 a g' ( ) = => a + b + c = III in III: + b = => b b = + c = II I in II un III, II+III: ( 8 + 6) a = => a = BE. Der Graph von g besitzt offensichtlich ie Nullstelle x =. Begrünen Sie ohne weitere Rechnung, ass es für x > eine weitere Nullstelle von g geben muss. Zwischen un fällt er Graph von g, also geht es von er Nullstelle aus abwärts. Ab steigt er Graph wieer, un zwar bis in alle Ewigkeit, wie es sich für eine Polynomfunktion vom Grae rei gehört. => Irgenwo rechts von scheiet er Graph wieer ie Achse. BE. Begrünen Sie ohne Rechnung mit Hilfe er obigen Zeichnung, an welcher Stelle er Graph von g eine Wenestelle hat. Das Minimum von g' : An er Stelle x = gibt es einen VZW von g'' (er Ableitung von g' ). Ein VZW von g'' ist aber er Nachweis einer Wenestelle von g.

4 . Aus einem Stück Draht er Länge 7 [cm] sollen ie Kanten eines Quaers geformt weren, essen Grunfläche ein Rechteck mit en Seitenlängen a bzw. a ist. 6BE. Berechnen Sie zunächst as Volumen V(a) es Quaers in Abhängigkeit von er Länge a. Geben Sie auch eine sinnvolle Definitionsmenge an. [Teilergebnis: V( a) 6a 6a ] V = a a h L = a + a + h = 7.BE a + h = 8 => h = 8 a => V = a ( 8 a) = 6 a 6 a D = ] ; 6[.+ A8_nt_a_mk_quaer.gxt BE. Bestimmen Sie nun enjenigen Wert von a, rur en as Volumen V es Quaers sein absolutes Maximum annimmt. Berechnen Sie auch as maximale Volumen. Vs( a) a V( a) 7 a 8 a faktor 8 a ( + a) } V( ) = 9 x--> x-->6 Räner: V(a) > a = nicht sinnvoll a Bei a = ist ein Maximum, in ieser D ist es absolut (Ranbetrachtung) Alternative Bewertung: V'.BE V' faktorisieren.be a= ; je.be V''.BE V''()<.BE V=9 BE Räner.BE absolut. BE

5 mehr als einmal [ ] falsch: -.BE 8 7 =.77 xt.,.. g' ( x) x + x