Station Rollkurven - Mathematik auf dem Jahrmarkt. Aufgabenblätter

Transkript

1 Station Rollkurven - Mathematik auf dem Jahrmarkt Aufgabenblätter

2 Mathematik-Labor Station Rollkurven Liebe Schülerinnen und Schüler! Für die meisten ist er der Fahrspaß auf den Jahrmärkten, viele Erwachsene machen einen großen Bogen um ihn. Die Rede ist vom Break Dancer. Wir wollen in der Station Rollkurven - untersuchen, wie man diesen Break Dancer modellieren kann, welche Bahn ein Fahrgast zurücklegt, warum einige kalkweiß und wackelig aus ihm aussteigen und was noch alles an Mathematik in ihm steckt. Arbeitet bitte die folgenden Aufgaben der Reihe nach durch - bitte keine Aufgaben überspringen! Falls es mit der Zeit knapp wird, dann arbeitet trotzdem der Reihe nach weiter. Notfalls bearbeitet ihr die letzten Aufgaben nicht. Falls ihr nicht wisst, wie ihr an eine Aufgabe herangehen sollt oder bei eurer Bearbeitung stecken bleibt, könnt ihr die Hilfestellungen (kleines Heft) nutzen. Wenn es zur jeweiligen Aufgabe eine Hilfestellung gibt, könnt ihr dies am Symbol am Rand neben der Aufgabe erkennen. Nutzt diese bitte nur, wenn ihr sie auch benötigt! Wenn eine Simulation zu einem Thema vorhanden ist und verwendet werden soll, könnt ihr das am Symbol am Rand neben der Aufgabe erkennen. Das Symbol verweist darauf, dass hier mit einem gegenständlichen Modell gearbeitet werden soll. Die Simulationen und weiterführende Informationen zum Thema eurer Laborstation, findet ihr auf der Internetseite des Mathematik-Labors Mathe ist mehr unter der Adresse oder Wir wünschen Euch viel Spaß beim Experimentieren und Entdecken! Das Mathematik-Labor-Team 1

3 Aufgabe 1: Eine Rollkurve Rollt ein Fahrrad auf einer geraden Strecke, so beschreiben verschiedene Punkte des Fahrrades, z.b. das Ventil des Reifens oder die Pedale, Rollkurven. Bahnkurven von Punkten auf Kreisen, die auf einer Geraden abrollen, sollen nun in Experiment 1 untersucht werden. Experiment 1: Die Bahnkurve eines festen Punktes eines abrollenden PVC Rohrs Material Laserpointer PVC Rohr Brett auf Füßen mit fluoreszierender Wand Achtung: Laserpointer sind kein Spielzeug! Ein kurzer Blick in den Strahl kann zu Sehschäden führen! Steckt den Laserpointer durch ein beliebiges Loch in dem PVC Rohr und rollt es vor dem Brett parallel zur fluoreszierenden Seite ab. Der Versuch funktioniert im Dunkeln am besten. Untersucht nun, wie die Bahnkurve verläuft, wenn der feste Punkt a) innerhalb ( ) b) am Rand ( ) c) in der Mitte ( ) des abrollenden Kreises (PVC Rohr) liegt. ist der Abstand des Punktes vom Mittelpunkt. 2

4 Aufgabe 1: Eine Rollkurve d) Wie könnte die Bahnkurve aussehen, wenn der Abstand des Punktes vom Mittelpunkt größer ist, als der Radius des abrollenden Kreises ( )? Skizziert die beobachteten Bahnkurven: a) b) c) d) Weitere Informationen darüber erhaltet ihr auf der Seite Rollkurven (Jahrmarkt) im Internet. Simulation 1: Zykloiden Simuliert die vier verschiedenen Formen (auf der Seite: Zykloiden ) und vergleicht diese mit euren Skizzen. Verbessert diese gegebenenfalls mit einer anderen Farbe. Anleitung findet ihr in der Simulation selbst. 3

5 Aufgabe 2: Der Break Dancer Der Break Dancer ist ein weltweit verbreitetes Fahrgeschäft, das auch auf dem Herbst- und Maimarkt in Landau regelmäßig vertreten ist. Er besteht aus einer leicht geneigten Drehscheibe, die sich linksherum dreht. Darauf befinden sich in regelmäßigen Abständen vier Gondelkreuze, die sich rechtsherum drehen. An den Gondelkreuzen sind jeweils vier Gondeln befestigt, die selbst beweglich sind. In jeder Gondel finden zwei Personen Platz. Vorerst konzentrieren wir uns auf die Kombination der Bewegungen der Drehscheibe und der Gondelkreuze. Der Break Dancer als Modell Könnt ihr euch die Bewegung eines Fahrgastes auf dem Break Dancer als Rollkurve vorstellen? Skizziert oder erklärt: 4

6 Aufgabe 2: Der Break Dancer Lest euch nun die Informationen auf der Seite Bewegungsbahn durch. Experiment 2: Die Bewegungskurve des Fahrgastes Material 5 innere Kreise 2 äußere Kreise Zeichenblock Stift a) Zeichnet mit den verschieden großen Kreisscheiben mögliche Bewegungskurven des Fahrgastes. Benutzt dazu immer das äußerste Loch! b) Kennzeichnet die Bewegungskurven mit den Radien der jeweils verwendeten Kreise. sei der Radius des äußeren Kreises, der Radius des inneren. Die Radien der inneren und äußeren Kreise findet ihr auf der Seite Radien der Kreise. Der äußere Kreis des Modells stellt die Drehscheibe des Break Dancers dar, der innere Kreis ein Gondelkreuz c) Zählt die Anzahl der Umrundungen, bis sich die Bewegungskurve schließt und notiert sie ebenfalls neben der jeweiligen Zeichnung. Vermutungen Warum unterscheiden sich die Figuren? Gibt es Gesetzmäßigkeiten? 5

7 Zusammenhänge der Radien Station Rollkurven Aufgabe 2: Der Break Dancer a) Notiert die Radien der beiden jeweils verwendeten Kreise als Quotient in der Form und kürzt, wenn möglich. b) Welche beiden Zusammenhänge stellt ihr zwischen den gekürzten Brüchen und den dazugehörigen Bildern fest? (1) (2) 6

8 Aufgabe 2: Der Break Dancer c) Gibt es Maße für die Radien, so dass sich die Bewegungskurve nie schließt? Vermutung Simulation 2: Hypozykloide Experimentiert mit verschiedenen Radien. Stellt die nebenstehende Bahnkurve auf zwei Wegen dar. Möglichkeit 1: Möglichkeit 2: Wie könnte das Verhältnis der Radien sein, wenn sich der Passagier nur auf einer geraden Linie hin und her bewegt? 7

9 Quiz Kreuzt die richtigen Antworten an! Ihr dürft auch nochmal die Simulation Hypozykloide zu Hilfe nehmen. Die Bewegungskurve schließt sich immer dann nach einer Umrundung, wenn ist Die Bewegungskurve schließt sich immer dann nach einer Umrundung, wenn ein ganzzahliges Vielfaches von ist. Ist mit natürlichen Zahlen darstellbar und vollständig gekürzt, so schließt sich die Kurve nach Umdrehungen Ist mit natürlichen Zahlen darstellbar und vollständig gekürzt, so schließt sich die Kurve nach Umdrehungen Bei einem irrationalen Verhältnis der Radien, schließt sich die Bewegungskurve nie. Die Bewegungskurve hat Ecken, wenn der Bruch vollständig gekürzt ist. Die Bewegungskurve hat Ecken, wenn der Bruch vollständig gekürzt ist. Welches Verhältnis haben die Radien folgender Abbildung? 8

10 Experiment 3: Sitzposition des Fahrgastes Station Rollkurven Aufgabe 3: Die Sitzposition des Fahrgastes Material 1 innerer Kreis (beliebig) 1 äußerer Kreis (beliebig) Zeichenblock Stift Versucht die folgenden Fragen mit Hilfe des Experiments zu beantworten. Wählt dazu bei gleichem (äußerer Kreis) und gleichem (innerer Kreis) verschiedene Punkte (Löcher im inneren Kreis) für den Stift (Fahrgast). Zeichnet nun die möglichen Bewegungskurven. a) Ändert sich die Anzahl der Ecken? Begründet: b) Ändert sich die Länge der Strecke, die der Fahrgast nach einer Umdrehung zurücklegt? Begründet: c) Kreuze an: Die Fahrt ist umso turbulenter, je näher am Rand des Gondelkreuzes weiter in der Mitte des Gondelkreuzes sich der Fahrgast befindet. Begründet: 9

11 Simulation 3: Hypozykloide 2 Station Rollkurven Aufgabe 3: Die Sitzposition des Fahrgastes Der Fall kann experimentell nur schwer dargestellt werden. Daher nutzen wir die Simulation: Steiner sche Hypozykloide. Stellt die Form von folgender Abbildung in der Simulation dar und notiert eure Einstellungen (es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten). Weitere Informationen zur Steiner schen Hypozykloide findet ihr unter Sitzposition. Wie muss bei beliebigem und die Sitzposition gewählt werden, damit der Passagier immer durch den Mittelpunkt der Drehscheibe fährt? Gibt es eine Gesetzmäßigkeit zwischen, und für diesen Fall? 15 Minuten Pause 10

12 Aufgabe 4: Zerlegte Bewegung des Fahrgastes Nun wollen wir uns mit der Frage beschäftigen, was den Kick auf dem Break Dancer eigentlich ausmacht. Wir nehmen an, dass der Break Dancer folgende Maße hat: Drehscheibe: Gondelkreuz: Somit sieht die Bahnkurve aus wie in der Abbildung. Was vermutet ihr? Hat ein Fahrgast auf dem Break Dancer immer dieselbe Geschwindigkeit oder ist sie an manchen Stellen höher als an anderen? An welcher Stelle der Bahnkurve ist die Geschwindigkeit am höchsten / niedrigsten? Zunächst nehmen wir an, dass die Drehscheibe rotiert und die Gondelkreuze still stehen. Der Fahrgast sitzt quasi an einem festen Punkt auf der Drehscheibe. Zerlegen wir die Bewegung, die ein Fahrgast auf dem Break Dancer ausführt, nun in zwei getrennte Bewegungen. Die Bewegung der Kreisscheibe und die Bewegung des Gondelkreuzes. Lest euch die Seite Geschwindigkeit durch. 11

13 Aufgabe 4: Zerlegte Bewegung des Fahrgastes Experiment 4: Wie verlässt die Kugel die Kreisbahn? Material Zylinder (Eimer) auf Spanplatte Murmel Beschleunigt die Kugel an der Innenwand des Zylinders und beobachtet, wie sie den Eimer an der Öffnung verlässt. Findet somit heraus, in welche Richtung die Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn wirkt. In dieselbe Richtung, in die die Kugel den Eimer verlässt, wirkt auch die Geschwindigkeit an genau dieser Stelle auf den Fahrgast, wenn der Eimer eine sich drehende Scheibe wäre (Break Dancer). Folglich muss auch der Geschwindigkeitsvektor in diese Richtung zeigen. Beschreibt, wie die Kugel den Zylinder verlässt: Weiterführende Informationen erhaltet ihr auf der Seite Kugel auf der Kreisbahn. 12

14 Aufgabe 4: Zerlegte Bewegung des Fahrgastes Geschwindigkeitsvektor am Rand der Drehscheibe Zeichnet den Geschwindigkeitsvektor an den Punkt in die Abbildung ein. Entscheidend ist zunächst die Richtung des Vektors, die Länge kann beliebig gewählt werden. Hinweis: Die Drehscheibe dreht sich gegen den Uhrzeigersinn. Weiterer Geschwindigkeitsvektor der Drehscheibe Ein Passagier des Break Dancers befindet sich während seiner Fahrt nicht nur am Rand der Drehscheibe, sondern auch weiter innen (Erinnert euch an Experiment 3.). Zeichnet den Geschwindigkeitsvektor ein, der auf den Passagier wirkt. Die Drehscheibe dreht sich weiterhin gegen den Uhrzeigersinn. Überlegt euch zuerst, wie ihr vorgeht. 13

15 Aufgabe 4: Zerlegte Bewegung des Fahrgastes Experiment 5: Wovon hängt die Bahngeschwindigkeit ab? Die Bahngeschwindigkeit drehenden Objekt. ist die Geschwindigkeit eines Punktes auf einem sich Es gilt:, wobei der zurückgelegte Weg ist und die dazu benötigte Zeit Material Bohrmaschine rotierende Scheibe Zeitungsartikel Tesafilm Schere Schneidet ein kreisförmiges Blatt vom Durchmesser der Plexiglas Scheibe aus der Zeitung aus und befestigt dieses mit Klebeband auf der Scheibe. Wählt zunächst eine kleine Drehzahl und erhöht diese dann schrittweise. Beobachtung: Erklärung: Bedeutung für den Break Dancer: Weitere Informationen findet ihr auf der Seite Winkelgeschwindigkeit. 14

16 Aufgabe 5: Überlagerte Bewegung Würde sich der Fahrgast aber mit einer konstanten Geschwindigkeit nur im Kreis drehen, so wäre das eher mit einem etwas schnelleren Kinderkarussell zu vergleichen. Der Fahrgast auf dem Break Dancer führt jedoch eine überlagerte Bewegung aus, die sich aus zwei einzelnen Bewegungen zusammensetzt, nämlich die Bewegung der Drehscheibe und die entgegengesetzte Bewegung des Gondelkreuzes. Nun soll im Folgenden untersucht werden, wie diese beiden Bewegungen zusammenwirken. Experiment 6: Zusammensetzung zweier gleichförmiger Bewegungen Material Holzdreieck Spanbrett mit Holzleiste Zeichenpapier Faden mit Schlaufe und Ring 2 kleine Nägel Bringt das Holzdreieck kurz vor das linke Ende der Holzplatte (Ausgangslage). Haltet einen Stift an der oberen Ecke des Dreiecks fest und verschiebt das Dreieck auf der Holzleiste nach rechts. Zeichnet die Spur. Bringt Dreieck und Stift in die Ausgangslage zurück und bewegt den Stift am ruhenden Dreieck senkrecht nach unten. Zeichnet auch diese Spur. Bringt den Stift zurück in die Ausgangsposition. Steckt den Stift in den Ring, der am Ende des Fadens befestigt ist. Den Faden führt man senkrecht nach unten, um die Schraube im Dreieck herum und dann horizontal nach links, bis zur Schraube am Tafelrand. Dort wird das Ende des Fadens befestigt. Bewegt nun das Dreieck nach rechts. Dabei bewegt sich der Ring mit dem Stift gleichzeitig vertikal nach unten. Zeichnet seinen Weg auf. Der Stift vollführt nun sowohl eine horizontale als auch eine vertikale Bewegung. Führt ein Körper gleichzeitig zwei gleichförmige Bewegungen aus, so ergibt sich als resultierende Bewegungsrichtung die im Rechteck bzw. allgemein im Parallelogramm. 15

17 Der resultierende Vektor Station Rollkurven Aufgabe 5: Überlagerte Bewegung Im Folgenden ist ein Schlitten zu sehen, welcher von 2 Hunden (2 Vektoren) gezogen wird. Die Hunde laufen aber nicht parallel und mit gleicher Kraft geradeaus, sondern in verschiedene Richtungen mit unterschiedlichen Kräften. Zeichnet den resultierenden Vektor ein. Informationen findet ihr unter Vektoraddition I. Simulation 4: Vektoraddition II Auf der Seite Vektoraddition II findet ihr eine Simulation, die euch beim Beantworten der nachfolgenden Fragen hilft. Warum laufen Hunde, die einen Schlitten ziehen, parallel in die gleiche Richtung? In welchem Fall würde der Schlitten zum Stillstand kommen, obwohl beide Hunde mit gleicher Kraft daran ziehen? 16

18 Übertragung auf den Break Dancer Station Rollkurven Aufgabe 5: Überlagerte Bewegung Die Winkelgeschwindigkeit der Drehscheibe sei Vierfache, also. ; die der Gondelkreuze das Der Radius der Drehscheibe sei, der eines Gondelkreuzes. Benutzt die Zeichnung auf der nächsten Seite! Geschwindigkeiten des Passagiers aufgrund der Bewegung der Drehscheibe: Punkt : Punkt : Punkt : Punkt : Wir gehen davon aus, dass der Passagier immer am Rand eines Gondelkreuzes sitz. Somit ist die Geschwindigkeit des Passagiers aufgrund der Bewegung des Gondelkreuzes an jeder Stelle gleich. Sie beträgt: a) Zeichnet die beiden Geschwindigkeitsvektoren des Drehkreuzes und des Gondelkreuzes für jeden Punkt ein. Vektorlänge entspricht dabei einer Geschwindigkeit von. b) Zeichnet den jeweils resultierenden Vektor mit Farbe ein, messt seine Länge und schreibt das Ergebnis in an den jeweiligen Vektor. Dies ist die Gesamtgeschwindigkeit des Passagiers an der entsprechenden Stelle. 17

19 Aufgabe 5: Überlagerte Bewegung Wichtige Wiederholung: Die Drehscheibe dreht sich rechtsherum und die Gondelkreuze linksherum! 18

20 Zusammenfassung der Ergebnisse: Station Rollkurven Aufgabe 5: Überlagerte Bewegung a) An welchen Punkten ist die Geschwindigkeit am höchsten, mittelhoch, am niedrigsten? Tragt ein: Geschwindigkeit: : : : : : b) Vergleicht euer Ergebnis mit eurer Vorabvermutung auf Seite 11. Verbessert dieses gegebenenfalls mit einer anderen Farbe! c) In welchem Abschnitt wird der Passagier beschleunigt, in welchem Abschnitt gebremst? Kreuzt in der Tabelle das Zutreffende an: Abschnitt beschleunigt stark beschleunigt gebremst stark gebremst A B B C C D D E d) Welche beiden Faktoren machen den besonderen Kick auf dem Break Dancer aus? Begründet eure Vermutungen! (1) (2) 19

21 Simulation 5: 3-Scheiben-Modell Station Rollkurven Aufgabe 6: Bahnkurve bei beweglichen Sitzen Beim realen Break Dancer bewegen sich nicht nur Drehscheibe und Gondelkreuz, sondern auch die Sitze. Dadurch wird die Bahnkurve noch turbulenter. Stellt folgende Maße auf der Seite: 3-Scheiben-Modell ein: großer Radius, mittlerer Radius. Experimentiert mit verschiedenen kleinen Radien. Hat die Bewegung der Sitze Einfluss auf die Anzahl der Ecken und die Anzahl der Umdrehungen, bis die Bahnkurve geschlossen ist? (Ecke: Punkt, an dem der Fahrgast den Rand der Drehscheibe berührt) Hängt die Anzahl der Bäuche zwischen 2 Eckpunkten vom Verhältnis und oder und ab? Findet eine Regel. Gibt es eine Einstellung, sodass der Fahrgast, obwohl Drehscheibe, Gondelkreuze und Sitze rotieren, nur eine Kreisbewegung auf dem Rand der Drehscheibe ausführt? Herzlichen Glückwunsch! Ihr habt nun alle Aufgaben gelöst! 20

22 Mathematik-Labor Mathe-ist-mehr Universität Koblenz-Landau Institut für Mathematik Prof. Dr. Jürgen Roth Fortstraße Landau Zusammengestellt von: Philipp Breiner Überarbeitet von: Sebastian Schönthaler Betreut von: Prof. Dr. Jürgen Roth Veröffentlicht am: