Die Funktion ist gegeben durch ; 0. a) Die Tangente an den Graphen von im Punkt verläuft durch 0 0,5. Bestimmen Sie die Koordinaten von.

Transkript

1 Aufgabe A1.1 Die Anzahl der Käufer einer neu eingeführen Smartphone-App soll modelliert werden. Dabei wird die momentane Änderungsrate beschrieben durch die Funktion 6000, ; 0 ( in Monaten nach Einführung, in Käufer pro Monat). a) Zunächst werden nur die ersten zwölf Monate nach der Einführung betrachtet. Geben Sie die maximale momentane Änderungsrate an. Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die momentane Änderungsrate größer als 4000 Käufer pro Monat ist. Bestimmen Sie die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate am stärksten abnimmt bzw. zunimmt. b) Zeigen Sie, dass für 2 die Funktion streng monoton fallend ist und nur positive Werte annimmt. Interpretieren Sie dies in Bezug auf die Entwicklung der Käuferzahlen. c) Ermitteln Sie die Gesamtanzahl der Käufer sechs Monate nach Einführung der App. Bestimmen Sie den Zeitraum von zwei Monaten, in dem es 5000 neue Käufer gibt. d) Bei einer anderen neuen App erwartet man maximal Käufer. In einem Modell soll angenommen werden, dass sich die Gesamtzahl der Käufer nach dem Gesetz des beschränkten Wachsatums entwickelt. Sechs Monate nach Verkausbeginn gibt es bereits Käufer. Bestimmen Sie einen Funktionsterm, welcher die Gesamtzahl der Käufer in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Aufgabe A1.2 Die Funktion ist gegeben durch ; 0. a) Die Tangente an den Graphen von im Punkt verläuft durch 0 0,5. Bestimmen Sie die Koordinaten von. b) Es gibt einen Punkt auf dem Graphen von, der den kleinsten Abstand zur Geraden mit der Gleichung "21 besitzt. Ermitteln Sie die -Koordinate dieses Punktes.

2 Aufgabe A2.1 An einem Stausee wird der Zu- und Abfluss künstlich geregelt. Dabei wird die momentane Zuflussrate beschrieben durch die Funktion $ mit $20 sin( ) *+25; 0 12 Die konstante Abflussrate wird beschrieben durch die Funktion, mit,19; 0. ( in Stunden seit Beobachtunsbeginn, $ und, in / ). a) Zunächst werden die ersten 24 Stunden nach Beobachtungsbeginn betrachtet. Bestimmen Sie die minimale momentane Zuflussrate. In welchem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Stausee ab? Bestimmen Sie die maximale momentane Änderungsrate der Wassermenge. b) Zu Beobachtungsbeginn befinden sich Wasser im See. Bestimmen Sie die Wassermenge im Stausee 12 Stunden nach Beobachtungsbeginn. Begründen Sie, dass die Wassermenge in jedem 24-Stunden-Zeitraum um zunimmt. Welchen Wert müsste die konstante Abflussrate haben, damit nach Ablauf von 14 Tagen die Wassermenge im Stausee betragen würde? Aufgabe A2.2 Gegeben ist die Funktion mit a) Die Gerade durch den Hochpunkt 4 und den Tiefpunkt 5 des Graphen von schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten und 6. Bestimmen Sie den prozentualen Anteil der Strecke 45 an der Strecke 6. b) Begründen Sie, dass die Steigung von keinen Wert kleiner als 3 annehmen kann. c) Der Graph von und die Gerade 7 mit der Gleichung "2 schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert um die Gerade 7. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers. d) Eine Parallele zur -Achse schneidet aus dem Graphen von ein Kurvenstück aus, das den Tiefpunkt enthält. Die Endpunkte dieses Kurvenstücks haben den Abstand 2,5 voneinander. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Parallelen.

3 Lösung A1.1 Lösungslogik GTR-Einstellungen: Y1=6000, Y2= 1 Y3=4000 Y4= 1 Y5=5000 Situationsgrafik: a) Maximale momentane Änderungsrate: Bestimmung des Hochpunktes von mit dem GTR. Zeitraum Änderungsrate größer 4000: Schnittpunkte des Graphen von mit der Parallelen zur -Achse mit 4000; Bestimmung mittels GTR ergibt zwei Werte und!"#. Zeitpunkte der größten Zu- bzw. Abnahme der momentanen Änderungsrate. Diese Zeitpunkte sind die Stellen der Wendestellen von. Wendestellen der Stammfunktion führen zu Extremstellen der Ableitung. Bestimmung des Maximums und Minimums von mit dem GTR. Für das Maximum ergibt sich keine Wendestelle, sondern ein Randmaximum für 0. b) Der Graph der Funktion hat ein Maximum bei 2, siehe Aufgabenteil a). Diese Stelle ist ein globales Maximum. Wegen &2 (Aufgabenstellung) und, ' stets größer Null (Exponentialfunktion), kann keine negativen Werte annehmen.

4 c) Gesamtanzahl der Käufer nach sechs Monaten: Dies ist der Inhalt der Fläche unter dem Graphen von imd Intervall von 0 bis 6. Bestimmung des Integrals über den GTR. Zeitraum von zwei Monaten mit 5000 neuen Käufern: Das Integral über im Intervall ( bis ()2 wird mit der Kostanten 5000 geschnitten. Der -Wert des Schnittpunktes entspricht dem Startmonat des gesuchten Intervalls. Bestimmung mit dem GTR. d) Funktionsgleichung des beschränkten Wachstums mit *+,-!'. Wir ermitteln die einzelnen Werte von + und - aus dem Aufgabentext, machen eine Punktprobe mit * zur Ermittlung von /. Klausuraufschrieb a) Zeitraum Änderungsrate größer 4000: ,25; 3,02 Zwischen etwa 1 1 und 3 Monaten nach Einführung 5 ist die momentane Änderungsrate größer als 4000 Käufer. Maximale Änderungsrate: ,55 für 2 Die maximale Änderungsrate beträgt etwa 4415 Käufer/pro Monat zwei Monate nach Einführung. Stärkste Zu- bzw. Abnahme der momentanen Änderungsrate: Zunahme: hat keinen Hochpunkt, somit Randmaximum: 67 Abnahme: 6" 6000 für 0,812 für 4 b) Streng monoton fallend für &2: Maximale Änderungsrate bei 2 (siehe Aufgabenteil a), keine weiteren Extremstellen vorhanden. Wegen Aufgabenstellung 90 und, ' stets größer Null, nimmt keine negativen Werte an. Interpretation: Da die Änderungsrate streng monoton fallend ist und langfristig gesehen gegen Null läuft, werden die Käuferzahlen/Monat immer weniger, sodass die Gesamtanzahl der App-Anwender auf einen festen Wert zuläuft (Beschränktes Wachstum).

5 c) Gesamtzahl der Käufer nach sechs Monaten: ; : ; 19220,44 Die Gesamtzahl der Käufer sechs Monate nach Produkteinführung beträgt etwa Anwender. Zeitraum von zwei Monaten, in dem es 5000 neue Käufer gibt: > 5000 > ( 3,9757 Im Zeitraum von vier bis sechs Monaten nach Einführung gibt es etwa 5000 neue Käufer. d) Funktionsterm beschränkten Wachstums für andere App: *+,-!' (Aufgabenstellung) , da Anfangsbestand gleich Null. *30000,30000!' * @1, ;! A B 1,;! 1 B ;! C:,6/C:D 1 B E :,6 /, 1 ; C:D1 B E 0,1831 Der Funktionsterm lautet *30000, GB1' Lösung A1.2 Lösungslogik GTR-Einstellungen: Y1=,1/ B Y2= 1 Y3=2,)1)0,5 Y4=2 Y5=2,1 Y6=,0.5,1,535 Y7=,0,5)1,535 a) Tangente an den Graphen von * durch I, Koordinaten von I: Aufstellung der Tangentengleichung über die Punktsteigungsformel und danach Punktprobe mit J0,0,5 zur Ermittlung der Koordinaten des Berührpunktes I.

6 b) Punkt kleinsten Abstands: Wenn von einem kleinsten Abstand die Rede ist, so heißt dies immer ein senkrechter Abstand. Somit liegt der gesuchte Punkt an den Stellen des Graphen von * mit der Steigung K2. Da der Graph von * zwei Stellen mit der Steigung K2 aufweist, müssen wir noch die Normalen durch die jeweiligen Punkte bilden und diese Normalen mit der Geraden 2,1 schneiden. Danach ist die Strecke zwischen jeweils dem Schnittpunkt der Normalen mit dem Graphen von * UND der Geraden 2,1 zu bilden. Es ergibt sich dabei eine kleinere und eine größere Strecke, sodass aus dem Ergebnis abzulesen ist, welcher der beiden Punkte der Gesuchte ist. Klausuraufschrieb a) Tangente an den Graphen von * durch I, Koordinaten von I: * L M, M )* M Punktprobe mit J0,0,5,0,5* L M, M ) M * L M, M ) M )0,50 M 2,0; *21,875 I2 1,875 b) Punkt kleinsten Abstands: Dies ist ein Punkt auf * mit der Steigung * L 2. * L 2: 1,1,316; 1,316 * 1,0,877 * 0,877 Normalen zu 2,1 durch J 1,1,316,0,877 und J 1,316 0,877 : 1, 1 )1,316,0,877,1,1,535 :, 1,1,316)0,877,1 )1,535 : 1 *:,1,316; *,1,316,0,877 J 1,1,316,0,877 : 1 2,1,0,214;,1,428 J,0,214,1,428 : *: 1,315; *1,3150,877 J B 1,315 0,877 : 2,1 1,014; 1,028 J 5 1,014 1,028 J 1 J O,0,214,,1,316 ),1,428,,0,877 1,23 J B J 5 O1,014,1,315 )1,028,0,877 0,3341

7 Somit ist die Strecke J B J 5 kürzer als die Strecke J 1 J. Der gesuchte Punkt auf * mit dem kleinsten Abstand zu 2,1 ist J B 1,315 0,877. Lösung A2.1 Lösungslogik GTR-Einstellungen: Y1=20sin S/12)25 Y2= 1 Y3=19 Y4=1,3 Y5=1)1 Y6=1)1,56 a) Minimale momentane Zuflussrate: Wir bestimmen den Tiefpunkt von ( mit dem GTR. Zeitraum der Abnahme der Wassermenge im Stausee: Dies ist der Zeitraum, in welchem die Differenzkurve aus Zufluss und Abfluss unterhalb der -Achse verläuft. Maximale momentane Änderungsrate: Wir bestimmen das Maximum der Differenzkurve aus Zufluss und Abfluss. b) Wassermenge nach 12 Stunden im Stausee: Dies ist der Anfangsbestand von K B zuzüglich dem Integral der Differenzkurve aus Zu- und Abflussrate im Intervall von 0 Uhr bis 12 Uhr.. Zunahme der Wassermenge im 24-Stunden-Zeitraum: Dies ist die Flächenbilanz unter der Differenzkurve aus Zu- und Abfluss im Intervall von 0 Uhr bis 24 Uhr. Wegen der periodisch wiederkehrenden Differenzfunktion wiederholt sich der Vorgang alle 24 Stunden. Wert der konstanten Abflussrate für K B nach 14 Tagen: Wir bestimmen zunächst die Differenz dieser Wassermenge und dem Anfangsbestand. Dieser Wert dividiert durch 14 ergibt die täglich zunehmende Wassermenge. Die konstanten K B /T des Zuflusses abzüglich des gesuchten Abflusses in K B /T multipliziert mit 24 Stunden ergibt dann die neue, gesuchte Abflussrate. Zu berücksichtigen ist, dass sowohl ( als auch - in K B /T angegeben sind.

8 Klausuraufschrieb a) Minimale momentane Zuflussrate: ( 6" 5 für ( 18 Die minimale Zuflussrate beträgt etwa 5000 K B /T um etwa 18 Uhr. Zeitraum der Abnahme der Wassermenge im Stausee: (, ,16 22,836 Im Zeitraum von etwa 13,2 Uhr bis etwa 22,8 Uhr nimmt die Wassermenge im Stausee ab. Maximale momentane Änderungsrate der Wassermenge: für t 6 Die maximale momentane Änderungsrate der Wassermenge beträgt K B /T um etwa 6 Uhr. b) Wassermenge nach 12 Stunden im Stausee: 1 U2500) 2724,789 Nach Stunden beträgt die Massermenge im Stausee etwa K B. Zunahme der Wassermenge im 24-Stunden- Zeitraum: (,-20 sind V 1 E)6 Bestimmung der Periode: W V V X 24! YZ Die Änderungsrate der Wassermenge ist periodisch mit W24 Stunden sind V E) Die Flächenbilanz der Änderungsrate im Intervall von 0 Uhr bis 24 Uhr beträgt K B. Wegen der Periodizität von 24 Stunden des Graphen der Änderungsrate der Wassermenge nimmt die Wassermenge in jedem 24-Stunden-Zeitraum um K B zu. Wert der konstanten Abflussrate für K B nach 14 Tagen: M15M 15 51G Statt K B Wasserzunahme pro Tag dürfen es nur noch K B sein. 25, ,-5-20 Die konstante Abflussrate - müsste einen Wert von K B /T haben.

9 Lösung A2.2 Lösungslogik GTR-Einstellungen: Y1= B,9 )24,14 Y2= 1 Y3=2 Y4= 1,3 Y5= 1,1)2,5 a) Prozentualer Anteil von [\ an J]: Wir bestimmen zunächst den Hoch- und Tiefpunkt von mit dem GTR. Wir stellen die Geradengleichung durch die Punkte [ und \ auf und bestimmen deren Schnittpunkte J und ] mit den Koordinatenachsen. Der prozentuale Anteil ist dann der Quotient aus der Länge von [\ und der Länge von J]. b) Begründung, dass Steigung von keinen Wert kleiner,3 hat: Wir bestimmen das Minimum von mit dem GTR. c) Volumen Rotationskörper: Situationsgrafik: Berechnung des Volumens über Volumenintegrale. Hierzu haben wir zwei Möglichkeiten, einmal über Obere Kurve () minus Untere Kurve (2). Wenn wir allerdings um zwei Einheiten nach unten schieben, benötigen wir lediglich das Volumenintegral unter im Intervall zwischen den dann entstehenden beiden Nullstellen. d) Gleichung einer Parallelen zur -Achse: Situationsgrafik siehe Abbildung rechts: Es muss gelten: M,^2,5 sowie ^ M - und damit ^, M 0, also,)2,50

10 Klausuraufschrieb a) Prozentualer Anteil von [\ an J] 67 6 für 2 [2 6 6" 2 für 4 \4 2 Gerade durch H und T: * ;,2)6 5 *,2,2)6,2)10 Punkt J mit *0:,2)100 5 J5 0 Punkt ] mit *0: *010 ]0 10 Länge von [\: C ab O4,2 )2,6 20 Länge von J]: C de 5 ) Prozentualen Anteil [\ an J]: Wegen der Fragestellung ist J] der Grundwert. f gh 100 %l f ij %40 % Der Anteil der Strecke [\ an der Strecke J] beträgt 40 %. b) Begründung, dass Steigung von * keinen Wert kleiner,3 hat: 6",3 für 3 Die erste Ableitung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades führt zur Funktionsgleichung einer Parabel (2. Grades) mit einem Scheitel als globalem Extremum. Im vorliegenden Fall ist der kleinste Funktionswert der Ableitungsfunktion ein globales Minimum. c) Volumen Rotationskörper: Funktion um zwei Einheiten nach unten schieben: B,9 )24,12 Nullstellen von : 0 1 1; 4 5 A 65, Das Rotationsvolumen beträgt ca. 65,4 Um.

11 d) Gleichung einer Parallelen zur -Achse: Die Parallele zur -Achse sei - Die beiden Schnittpunkte von und seien n und I. Dann gilt: (1) M,^2,5 (2) ^ M - ^, M 0 Aus (1) folgt M 2,5)^ M 2 (2) ^,^)2,50 ^ 2,4422 Da das Kurvenstück den Tiefpunkt enthalten soll, ist ^ 2,4422 der gesuchte Wert. ^ 5,4998 Die Parallele zur -Achse mit 5,5 schneidet aus dem Graphen von ein Kurvenstück der Länge 2,5 pm aus, das den Tiefpunkt enthält.