Die Summen- bzw. Differenzregel

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1 Die Summen- bzw Differenzregel Seite

2 Kapitel mit Aufgaben Seite WIKI Regeln und Formeln Level Grundlagen Aufgabenblatt ( Aufgaben) Lösungen zum Aufgabenblatt Aufgabenblatt (7 Aufgaben) Lösungen zum Aufgabenblatt Aufgabenblatt ( Aufgaben) Lösungen zum Aufgabenblatt Level Fortgeschritten Aufgabenblatt ( Aufgaben) Lösungen zum Aufgabenblatt Aufgabenblatt (7 Aufgaben) Lösungen zum Aufgabenblatt 7 Aufgabenblatt ( Aufgaben) Lösungen zum Aufgabenblatt Level Expert Aufgabenblatt ( Aufgaben) Lösungen zum Aufgabenblatt Aufgabenblatt (7 Aufgaben) Lösungen zum Aufgabenblatt 7 Aufgabenblatt ( Aufgaben) Lösungen zum Aufgabenblatt Level Universität Aufgabenblatt ( Aufgab Lösungen zum Aufgabenblatt Seite

3 Definition des Begriffs Ableitung Merksatz Die Ableitung einer Funktion an der Stelle ist gleich der Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt Sie entsteht über den Grenzwert des Differenzenquotienten Δ Δ für Δ Die Summenregel Gegeben sei die Funktion mit Funktionsgleichung? Wie lautet die erste Ableitung Wir dürfen hier die Funktionsgleichung in Unterfunktionsgleichungen aufteilen mit und Somit ist Wir leiten nun alle einzelnen Glieder der Funktionsgleichung nach den bislang gelernten Regeln ab und erhalten dadurch abgeleitet nach der Faktor-/Potenzregel ergibt abgeleitet nach der Faktor-/Potenzregel ergibt abgeleitet nach der Faktor-/Potenzregel ergibt abgeleitet nach der Konstantenregel ergibt Die Ableitung der gegebenen Funktion ist damit Die Differenzregel Da die Differenz nichts anderes ist als die Umkehrung der Addition gilt die Differenzregel als Umkehrung der Additionsregel Gegeben sei die Funktion mit Funktionsgleichung abgeleitet nach der Faktor-/Potenzregel ergibt abgeleitet nach der Faktor-/Potenzregel ergibt abgeleitet nach der Faktor-/Potenzregel ergibt abgeleitet nach der Konstantenregel ergibt Die Ableitung der gegebenen Funktion ist damit Merksatz Die Summen- bzw Differenzregel lautet: Sind zwei (oder mehr) Funktionen und (und in differenzierbar so ist an dieser Stelle auch die Summen- bzw Differenzfunktion mit differenzierbar Es gilt: Seite

4 Level Grundlagen Blatt Dokument mit Aufgaben Aufgabe A Bilde die Ableitungen mithilfe der Summen- bzw Differenzregel Aufgabe A Bilde die Ableitungen mithilfe der Summen- bzw Differenzregel Aufgabe A Bilde die Ableitungen mithilfe der Summen- bzw Differenzregel Seite

5 Level Grundlagen Blatt Lösung A Lösung A! Lösung A Seite

6 Level Grundlagen Blatt Dokument mit 7 Aufgaben Aufgabe A Ordne den gegebenen Funktionen () () () bis ihre korrekte Ableitung zu () () () () () () () () () () () () f) () () () Aufgabe A Bestimme die und Ableitung der gegebenen Funktionen mithilfe der Ableitungsformeln! f)!!! g) h) Aufgabe A Zur Wiederholung: Die Ableitung einer Konstanten ist (null): & & Faktoren bleiben beim Ableiten erhalten: ( ( & + Die Potenzregel lautet: Die Summen- bzw Differenzregel besagt dass einzelne Summanden/Subtrahenden einzeln abgeleitet werden: ( / & (& / Trage jeweils die Ableitung der gegebenen Funktionsgleichungen in nachfolgender Tabelle ein und kreuze an welche der genannten Regeln du für die Ableitung verwendest Dabei steht: KR (Konstantenregel) FAK (Faktorregel) POT (Potenzregel) und SD (Summen- Differenzregel) KR Seite FAK POT SD

7 Level Grundlagen Blatt KR g) POT SD f) FAK Aufgabe A Ordne die nachfolgende Tabelle so dass die Ableitungsfunktion deren Ableitung ihre zugehörige Ursprungsfunktion jeweils in einer Zeile stehen & && f) & und Seite 7

8 Level Grundlagen Blatt Lösung A () () () () () f) () Lösung A h)!!!! f) g)!!! POT SD Lösung A KR 7 f) g) FAK ( Lösung A Seite / / / / / / / / f) / / + / /

9 Level Grundlagen Blatt Dokument mit Aufgaben Aufgabe A Leite nach der Summen- bzw Differenzregel ab Manchmal musst du zuvor Klammern auflösen g) i) k) f) h) m) j) l) o) n) q) p) r) s) t) u) \% v) 7 Aufgabe A Leite nach der Summen- bzw Differenzregel ab f) ( g) h) i) k) + o) q) s) u) l) 7 ( 7 7 n) p) r) - j) m) 7 t) v) Seite

10 Level Grundlagen Blatt Aufgabe A Leite nach der Summen- bzw Differenzregel ab Manchmal musst du zuvor Klammern auflösen ( 7 7 ( f) 7 g) h) i) k) / m) o) q) l) n) / p) 7 Seite an der Stelle / 7 und in den Schnittpunkten mit 7 7 r) Aufgabe A Berechne die Steigung von den Koordinatenachsen j)

11 Level Grundlagen Blatt Lösung A f) g) h) i) j) l) n) p) r) k) m) o) q) s) t) u) v) Lösung A g) i) k) m) o) q) s) u) % g)! Lösung A 7 f) h) j) l) n) p) r) t) v) 7 f) h) 7 % 7 Seite

12 Level Grundlagen Blatt i) k) ( m) + o) q) - j) l) ) n) ( p) r) Lösung A Nullstellen: / Nullstellen: 7 % % / : : Schnittpunkt mit der -Achse: Seite Schnittpunkt mit der -Achse: - ( ) kann nicht gebildet werden wegen

13 Level Fortgeschritten Blatt Dokument mit Aufgaben Aufgabe A Bilde die Ableitungen mithilfe der Summen- bzw Differenzregel Aufgabe A Bilde die Ableitungen mithilfe der Summen- bzw Differenzregel Aufgabe A Bilde die Ableitungen mithilfe der Summen- bzw Differenzregel & & & Seite

14 Level Fortgeschritten Blatt Lösung A Lösung A Lösung A % % % % ( & ) ( Seite % & ( % ) ( (

15 Level Fortgeschritten Blatt Dokument mit 7 Aufgaben Aufgabe A Wende die Summen-/Differenzregel an um die Ableitungen zu berechnen Berücksichtige dass du eventuell zuerst Klammern auflösen musst Vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich falls möglich Aufgabe A Ordne den Funktionsgleichungen die Bezeichnungen und zu indem du die Summen /Differenzregel anwendest = =! 7 = = 7!! Aufgabe A Bringe die Funktionsgleichung zuerst auf die Form % & & ) leite sie dann nach der Summen-/Differenzregel ab und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich Funktionsgleichung Expandierte Funktionsgleichung / Ableitung Seite

16 Level Fortgeschritten Blatt Funktionsgleichung + / Seite Expandierte Funktionsgleichung / Ableitung / - -

17 Level Fortgeschritten Blatt Lösung A 7 Lösung A = = & = = 7 & 7 & & Lösung A Funktionsgleichung Expandierte Funktionsgleichung / Ableitung 7 Seite 7

18 Level Fortgeschritten Blatt Funktionsgleichung ( Seite ) + Expandierte Funktionsgleichung / Ableitung + & & + + &

19 Level Fortgeschritten Blatt Dokument mit Aufgaben Aufgabe A Wende die Summen-/Differenzregel an um die Ableitungen zu berechnen Berücksichtige dass du eventuell zuerst Klammern auflösen musst Vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich falls möglich Aufgabe A Ordne den Funktionsgleichungen die Bezeichnungen zu indem du die Summen /Differenzregel anwendest 7 und Aufgabe A Bringe die Funktionsgleichung zuerst auf die Form! leite sie dann nach der Summen-/Differenzregel ab und vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich Funktionsgleichung & Expandierte Funktionsgleichung / Ableitung & % Seite

20 Level Fortgeschritten Blatt Funktionsgleichung ) + + Seite Expandierte Funktionsgleichung / Ableitung +

21 Level Fortgeschritten Blatt Lösung A! %! Lösung A - ((( (( (( ((( ((( % ( ) ((( (( 7 (( Lösung A Seite

22 Level Expert Blatt Dokument mit Aufgaben Aufgabe A Bestimme die und Ableitung der gegebenen Funktionen f) g) i) h)!! Aufgabe A Berechne die Steigung des Graphen der Funktion Schnittpunkt von mit der % Achse an der Stelle Gegeben ist die Funktion mit () Aufgabe A und im \+- Bestimmen Sie Punkte des Graphen von in denen die Tangenten an parallel zur Geraden % sind Aufgabe A Gibt es für die Funktionen mit mit / jeweils eine Stelle mit gleicher Ableitung? und / mit Aufgabe A Ein Körper fällt ohne Luftreibung so dass er in der Zeit (in ) den Weg ( in ) zurücklegt Nach welcher Zeit hat der Körper die Geschwindigkeit /? Seite

23 Level Expert Blatt Lösung A f) g) Lösung A Nullstellen mit -- % % % %! : % : Nullstellen mit - i) &% h) - Seite

24 Nullstellen mit : 7 : : 7 : </>-Formel Nullstellen mit : 77 7 : Wegen negative Diskriminante hat Level Expert Blatt keine Nullstellen : 7 : Lösung A Lösungslogik Wegen der gegebenen die Steigung A haben also - sind die Punkte der Funktion gesucht die Klausuraufschrieb: Im Punkt B C hat die Steigung A Lösung A Lösungslogik Gesucht werden die -Koordinaten in denen D und E dieselbe Steigung haben Die Berechnung erfolgt über Gleichsetzungen der Ableitungen Klausuraufschrieb: D D E E Wegen E als Konstante sind die -Stellen von A gesucht Seite und D mit der Steigung

25 D hat in D in und Level Expert Blatt F F dieselbe Steigung wie E Lösung A Lösungslogik Die Ableitung des Weges nach der Zeit ergibt die Geschwindigkeit also ist G Klausuraufschrieb: Der Körper hat nach Sekunde die Geschwindigkeit A/ Seite

26 Level Expert Blatt Dokument mit 7 Aufgaben Aufgabe A Gegeben ist die Funktion Bestimme die Steigung von Hinweis: im Punkt Hinweis:! Aufgabe A In welchem Punkt? Geraden mit mit mit ist die Tangente an den Graphen von mit mit ( mit f) mit parallel zur ( Aufgabe A Gegeben sind die beiden Funktion und mit und An welchen Stellen sind die Funktionswerte der beiden gegebenen Funktionen gleich groß? Prüfe ob es eine gemeinsame Stelle gibt in der und die gleiche Steigung haben An welchen unterschiedlichen Stellen ) bzw sind die Ableitungen der beiden gegebenen Funktionen gleich groß? Aufgabe A Mithilfe der Fotosynthese wandeln Blätter Kohlenstoffdioxid in Sauerstoff um der dann an seine Umegbung abgegeben wird Die abgegebene Sauerstoffmenge hängt u a von der Tageszeit + ab Die Funktion ( + in - + in ) gibt den Messzeitraum von Stunden während eines Tages näherungsweise an wie viel Sauerstoff von den Blättern eines Baumes insgesamt bis zum Zeitpunkt + an seine Umgebung abgegeben worden ist Zeichne den Graphen von in ein geeignetes Koordinatensystem Wie viel Sauerstoff hat der Baum während der Messzeit an seine Umgebung insgesamt abgegeben? Welche Bedeutung hat +? Bestimme und Bestimme näherungsweise zu welcher Zeit der Baum am meisten Sauerstoff an seine Umgebung abgibt Wie lässt sich das Ergebnis begründen? Seite

27 Level Expert Blatt Lösung A Lösung A Die Tangente an den Graphen von Geraden im Punkt % Der Graph von besitzt keinen Punkt % Geraden gelegt werden kann ) + Geraden - Geraden - ist parallel zur in dem eine Parallele zur ) im Punkt % )+ ist parallel zur im Punkt % + Die Tangente an den Graphen von Geraden + / Die Tangente an den Graphen von Die Tangenten an den Graphen von in den Punkten % und % sind parallel zur Geraden keine Lösung Die Tangente an den Graphen von im Punkt % + ist parallel zur + ist parallel zur Lösung A hat keine Lösung Seite 7

28 und haben für denselben Funktionswert Level Expert Blatt : /-Formel Die Diskriminante ist negativ somit keine Lösung Es existiert keine gemeinsame Stelle in der die Ableitung der beiden gegebenen Funktionen gleich sind Zur Verdeutlichung der Situation betrachten wir uns nebenstehende Grafik ist eine ganzrationale Funktion Grades die streng monoton steigend ist also nur positive Steigungen aufweist hingegen ist eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt : Diese Parabel hat positive Steigungen nur im Bereich von < Somit kommen unterschiedliche Stellen von und = nur für < vor Wegen der Punktsymmetrie von gehören dann aber zu jeder Stelle < zwei Stellen = Berechnung: Es soll ja gelten >? = Diese Gleichung lösen wir nach auf = =A B was bedeutet dass Diese Gleichung hat nur Lösungen für < sein muss (Für ist die Wurzel gleich Null was bedeutet dass es für nur eine Stelle = gibt mit gleicher Steigung von und ) Die Stellen = und mit gleicher Steigung berechnen sich über: =A Seite D <

29 Level Expert Blatt Lösung A Grafik siehe Abbildung rechts E 7 Der Baum hat etwa G in Stunden an seine Umgebung abgegeben E H gibt die momentane Änderungsrate in G/I an E G/I E 7 G/I E G/I K E 7 L E 7 G/I Etwa zum Zeitpunkt H gibt der Baum den meisten Sauerstoff an seine Umgebung ab Begründung: Die Messung wurde offensichtlich im Zeitraum von Uhr morgens bis Uhr abends durchgeführt sodass der Zeitpunkt H zur Mittagszeit zu liegen kommt dem Zeitpunkt mit der stärksten Sonneneinstrahlung Seite

30 Level Expert Blatt Dokument mit Aufgaben Aufgabe A In einer wissenschaftlichen Studie wurde eine Bakterienkultur in einem Gefäß beobachtet Jede Stunde wurde die Fläche die von den Bakterien bedeckt war gemessen Die bedeckte Fläche modelliert kann mithilfe der Funktion werden: ( in in ) Berechne die Größe der von den Bakterien bedeckten Fläche zu Beginn der Messung und nach drei bzw nach acht Stunden Skizziere den Graphen der Funktion Bestimme die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit der bakterienbesetzten Fläche in / in den ersten vier Stunden der Messung Wann war die momentane Wachstumsgeschwindigkeit genauso groß wie zu Beginn der Messung? Wann war die momentane Wachstumsgeschwindigkeit am größten? Wann wurde die Fläche wieder kleiner? Aufgabe A In einem Einkaufszentrum wurde an einem Samstag die Anzahl der Besucher gezählt Die Funktion mit gibt näherungsweise an wie viele Besucher zum Zeitpunkt (in ) nach Öffnung in dem Einkaufszentrum waren Wie viele Besucher befanden sich etwa eine Stunde nach Öffnung im Einkaufszentrum? Zu welchem Zeitpunkt waren die meisten Besucher im Einkaufszentrum? Wie groß war der Zuwachs der Besucher pro Stunde nach drei bzw nach Stunden nach Öffnung im Einkaufszentrum? Seite Wie viele Personen haben das Einkaufszentrum in den ersten fünf Minuten vermutlich betreten? Wie lange war das Einkaufszentrum vermutlich geöffnet?

31 Level Expert Blatt Lösung A Beginn der Messung: Zu Beginn der Messung waren mit Bakterien bedeckt Nach drei Stunden: Nach drei Stunden waren 7 mit Bakterien bedeckt Nach acht Stunden: Nach acht Stunden waren mit Bakterien bedeckt Siehe Grafik rechts Die mittlere Änderungsrate in den ersten vier Stunden beträgt etwa / Wachstumsgeschwindigkeit zu Beginn der Messung:!!! Die Wachstumsgeschwindigkeit zu Beginn der Messung betrug / Stelle mit gleicher Wachstumsgeschwindigkeit:!!!!!!!! Satz vom Nullprodukt!! Nach etwa 7 Stunden war die Wachstumsgeschwindigkeit gleich groß wie zu Beginn der Messung Größte momentane Wachstumsgeschwindigkeit: Die größte Wachstumsgeschwindigkeit ist im Wendepunkt des Graphen von!!!!! % &! Die größte Wachstumsgeschwindigkeit mit etwa Stunden nach Beobachtungsbeginn / ist ca Seite

32 Level Expert Blatt Zeitpunkt ab dem die Fläche wieder kleiner wird: Nach Erreichen des Hochpunktes des Graphen von kleiner!!!!!!! )! + + ) : /--Formel wird die Fläche wieder Wegen! / ist! die einzigste Lösung Die Fläche nimmt für! wieder ab Lösung A Anzahl der Besucher eine Stunde nach Öffnung: Eine Stunde nach Öffnung befinden sich etwa Personen im Zentrum Zeitpunkt der größten Besucheranzahl: Ermittlung der Maxima des Graphen von :!!!!!!!!! Etwa Stunden nach Eröffnung waren die Einkaufszentrum Zuwachs der Besucher nach drei bzw Stunden: meisten Besucher im 7 Der Zuwachs der Besucher nach drei bzw Stunden betrug zur Stunde drei etwa Besucher pro Stunde zur Stunde etwa 7 Besucher pro Stunde Die Besucheranzahl nahm also ab Anzahl Besucher in den ersten Minuten: % &! % & % & % & In den ersten fünf Minuten betraten etwa Personen das Einkaufszentrum Länge der Öffnung des Einkaufszentrums: Das Einkaufszentrum schließt dann wenn sich keine Personen mehr darin befinden Geometrisch ist dies die Nullstelle der Funktion für!!!!!!! Das Einkaufszentrum war vermutlich Stunden lang geöffnet Seite

33 Level Universität Blatt Dokument mit Aufgabe Aufgabe A Zeige mithilfe des Differenzenquotienten dass gilt: Sei mit und so ist Seite

34 Level Universität Blatt Lösung A Differenzenquotient: Daraus folgt:! qed Seite