M 1.14 Lineare Funktionen

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1 SZ Förderkonzept M. Seite M. Verständnisaufgaben ) Kg Äpfel kosten 0,8. a) Erstelle eine Wertetabelle und zeichne den dazugehörigen Graph in das Koordinatensstem! kg ,8 b) Begründe mit eigenen Worten, warum hier eine proportionale Zuordnung besteht. kg ) a) Ergänze die Tabellen Hundefutter in Dosen Preis je Dose in,0 Jogurt in Bechern Preis je Becher in b) Welcher proportionale Zusammenhang wird in dem Funktionsgraph rechts dargestellt? Preis in 0 8 c) Zeichne den fehlenden Funktionsgraphen! Anzahl M. Funktionen_8...doc robert.hinze@afl.hessen.de

2 SZ Förderkonzept M. Seite Funktionsgraphen interpretieren ) Folgende Funktionsgraphen zeigen den Zusammenhang zwischen einem Stuhl und einer Person, die sich in einer bestimmten Zeit vom diesem Stuhl entfernt oder sich ihm nähert. Beispiel: vom Stuhl in Interpretation des Funktionsgraphen: Eine Person entfernt sich in gleichmäßiger Geschwindigkeit vom Stuhl und ist nach m vom Stuhl entfernt. Aufgabe: Bildet Zweiergruppen und wählt einen der unten abgebildeten Funktionsgraphen aus. Was sagt der Graph über die einer Person vom Stuhl aus? Stellt einen Stuhl an eine Klassenraumwand und zeigt euren Mitschülern eure Interpretation des Funktionsgraphen, in dem einer von euch sich dem Stuhl nähert, oder sich von ihm entfernt. Achtet dabei auf die angegebene Zeit, in dem ein Schüler die laut mitzählt. Eure Mitschüler müssen nun an Hand eurer Bewegung den richtigen Funktionsgraphen erkennen. a) b) c) d) e) f) M. Funktionen_8...doc robert.hinze@afl.hessen.de

3 SZ Förderkonzept g) h) i) M. Seite j) k) l) m) n) o) p) q) r) M. Funktionen_8...doc

4 SZ Förderkonzept Steigung einer Graden, Proportionalitätsfaktor ) Auf dem Rummel kostet eine Achter- bahnfahrt, eine Geisterbahnfahrt pro Fahrt. a) Welcher Graph kennzeichnet welche Fahrt? Preis in M. * Aufgaben lineare Funktionen * Steigungsdreieck g Y= Zähler g Seite g = g = X= Zähler Ist bei einer proportionalen Zuordnung ein Wertepaar bekannt, lassen sich alle weiteren Wertepaare bestimmen. Achterbahnfahrten Anzahl Der Quotient aus -Wert und -Wert wird Proportionalitätsfaktor, bzw. Steigungsfaktor genannt. Aus der Achterbahntabelle kann abgelesen werden, dass zum -Wert der -Wert gehört : = : = Der Proportionalitätsfaktor/Steigungsfaktor beträgt. Den Preis für Achterbahnfahrten könnte man auch durch die Funktion: = ausdrücken. Das Steigungsdreieck Um aus einem Graph direkt den Steigungsfaktor abzulesen, zeichnet man in das Koordinatensstem ein Steigungsdreieck ein. Dazu sucht man sich auf dem Graph einen Punkt, an dem der Graph die senkrechten Koordinatenlinien schneidet. Dann geht man einen -Zähler nach rechts. Von diesem Punkt aus geht man wieder senkrecht nach oben und bestimmt den Punkt, an dem der Graph wieder geschnitten wird. Nun muss man nur noch zusammenrechnen, wie viele Zähler die Dreiecksseite hat, die parallel zu der -Achse liegt. In unserem Achterbahnbeispiel können wir aus dem Steigungsdreieck herauslesen, dass auf einen - Wert zwei -Werte kommen. Der Steigungsfaktor beträgt also: = = Der mathematische Ausdruck für den Steigungsfaktor heißt m = m bezeichnet den Funktionsgraph mit der Steigung m a) Zeichne oben in das Koordinatensstem ein Steigungsdreieck für den Graph der Geisterbahnfahrt ein Zähler b) Bestimme den Steigungsfaktor m = = Zähler der Geisternahfahrt (g) M. Funktionen_8...doc robert.hinze@afl.hessen.de

5 SZ Förderkonzept M. Seite ) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden! g, g und g mit Hilfe eines Steigungsdreiecks! 0 9 g g Hinweis: Um ein besseres Ergebnis zu erzielen, 8 kann es hilfreich sein, nicht nur einen Zähler auf der -Achse nach rechts zu gehen. 7 g : m = Zähler = = Zähler g g : m = Zähler = Y = Zähler Zähler g : m = = = Zähler ) Der Steigungsfaktor m legt den Verlauf einer Graden fest. Beschreibe bei folgenden Funktionen den Verlauf der Geraden mit eigenen Worten und zeichne sie in das Koordinatensstem. Nimm als Anhaltspunkt den Funktionsgraph = Beispiel: Y = Die Gerade verläuft durch den Ursprungspunkt und den ersten und dritten Quadranten von links unten nach rechts oben. Sie ist steiler als der die Gerade = = = = / = M. Funktionen_8...doc robert.hinze@afl.hessen.de

6 SZ Förderkonzept M. Seite Lineare Gleichungen mit negativem Steigungsfaktor m Lineare Funktionsgraphen mit positivem Steigungsfaktor m gehen immer durch den ersten und dritten Quadranten. Was passiert, wenn m negativ ist? 8a) Stelle eine Wertetabelle für die Funktion Y = - auf b) Zeichne den dazugehörigen Funktionsgraphen in das Koordinatensstem! 8c) Beschreibe mit eigenen Worten den Verlauf der Geraden = -! = ) Bestimme bei den Geraden g, g und g den Steigungsfaktor mit Hilfe eines Steigungsdreiecks und stelle die dazugehörige Geradengleichung auf! g g Zähler g : m = = = Zähler Zähler g : m = = Y = Zähler g Zähler g : m = = = Zähler M. Funktionen_8...doc robert.hinze@afl.hessen.de

7 SZ Förderkonzept mit der Gleichung = m + b M. Seite 7 Beispiel: Jan will mit dem Tai nach Hause fahren. Die Einschaltgebühr beträgt,0, pro Kilometer kommen,80 hinzu. Stelle die Taikosten in einem Funktionsgraphen dar. Die Fahrkosten lassen sich mathematisch so ausdrücken:,0 +,80 km, oder als Geradengleichung: =,8 +,. Um den Graph zu zeichnen, stellen wir zuerst 0 eine Wertetabelle auf. 9 0,,8 7, 9, 8 7 Wie wir erkennen können, bezeichnet das Glied b in einer Geradengleichung den Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der Y Achse. Wenn das b fehlt oder gleich Null ist, schneidet der Graph die Y- Achse im Nullpunkt. So eine Gerade wird auch Ursprungsgerade genannt ) Zeichne die Funktionsgraphen folgender Gleichungen! G : = + G : = + G : = - G : = - 8 G : = G : = 0, + G 7 : = - - G 8 : = Erreichte Punkte Bearbeite * ** Ergänzende Materialien M. Funktionen_8...doc robert.hinze@afl.hessen.de

8 SZ Förderkonzept M. ** Aufgaben: lineare Funktionen ** Bestimmung der Gradengleichung, wenn die Steigung und ein Punkt bekannt sind: Wie heißt die Gradengleichung, wenn die Steigung m und ein Punk t P bekannt sind? Beispiel: m = ; P (/) Diese Aufgabe lässt sich rechnerisch oder zeichnerisch lösen. Zunächst die rechnerische Lösung: Seite 8 die allgemeine Gradengleichung lautet: = Der Punkt P (hier im Beispiel (/) ist bekannt und damit muss die Gleichung auch für diesen Punkt gelten. Wir setzen nun für den Wert, für den Wert und für die Steigung m den Wert in die allgemeine Gradengleichung ein. = m + b = + b und lösen die Gleichung nach b auf. - = b b = Nun die zeichnerische Lösung Wir markieren den Punkt / und zeichnen von diesem Punkt aus das Steigungsdreieck mit den Werten = und = Dies wiederholen wir und erhalten dann den Schnittpunkt der Gerden mit der Y-Achse. Die Gradengleichung lautet: = m + b = M. Funktionen_8...doc robert.hinze@afl.hessen.de

9 SZ Förderkonzept ) Bestimme rechnerisch und zeichnerisch folgende Gradengleichungen M. Seite 9 a) m =,; P (/-) b) m = -; P (-/) rechnerische Lösung: zeichnerische Lösungen: M. Funktionen_8...doc robert.hinze@afl.hessen.de

10 SZ Förderkonzept M. Seite 0 Bestimmung der Gradengleichung, wenn Punkte bekannt sind: Auch hier gibt es eine rechnerische und eine zeichnerische Lösung. Beispiel: P (/) und P (/) Rechnerische Lösung: Um die Gradengleichung aufzustellen, muss ich die Steigung m und den Schnittpunkt mit der Achse b bestimmen. Die Steigung ermittle ich mit der Formel:. Dabei ist es egal, welchen der beiden gegebenen Punkte ich als oder bezeichne. m = = = oder m = = = Mit der ermittelten Steigung ist es jetzt einfach, mit Hilfe der allgemeinen Gradengleichung den Schnittpunkt b zu ermitteln. Wir wählen einen der gegebnen Punkte und setzen dessen Werte in die allgemeine Gradengleichung ein. = m + b = + b = + b - 0 = b Die Gleichung lautet: = Probe mit dem zweiten Punkt: = m + b = + 0 = Zeichnerische Lösung: Zähler Zähler Wir markieren die gegebenen Punkte (/) und (/) und können so die Grade zeichnen. Die Steigung ermitteln wir über das Steigungsdreieck, der Schnittpunkt b mit der Achse kann direkt abgelesen werden. = m + b Die Gleichung lautet: = M. Funktionen_8...doc robert.hinze@afl.hessen.de

11 SZ Förderkonzept M. Seite ) Bestimme rechnerisch und zeichnerisch folgende Gradengleichungen a) P (-/) und P (/) b) P (/) und P (-/) rechnerische Lösung: zeichnerische Lösungen: M. Funktionen_8...doc robert.hinze@afl.hessen.de

12 SZ Förderkonzept M. Seite Bestimmung der Geradengleichung, wenn Punkt der Ursprungsgeraden bekannt ist: ) Eine Ursprungsgerade geht durch den Punkt P. Ermittle mit der Formel Gradengleichung. die a) P (/) b) P (-,/-) c) P (-/) Überprüfe den ermittelten Steigungsfaktor zeichnerisch mit Hilfe des Steigungsdreiecks: M. Funktionen_8...doc robert.hinze@afl.hessen.de

13 SZ Förderkonzept M. Seite Gleichungen in die allgemeine Form bringen Viele Gleichungen müssen erst in die allgemeine Form umgeformt werden, damit wir die Steigung und den Schnittpunkt mit der Y-Achse leicht erkennen können. Beispiel: = - - die allgemeine Gradengleichung lautet = m + b = zuerst die auf die linke Seite zu stellen, damit sie positiv sind + = - - nun stellen wir die auf die rechte Seite = - - / damit allein steht, müssen wir beide Seiten durch teilen = = - - und am Schluss den Bruch in die Elemente m und b trennen Auf einen Blick können wir nun erkennen, dass die Grade eine negative Steigung hat, dass sie flacher ist als die Grade = - und dass die Grade die Y-Achse bei - schneidet. ) Bringe folgende Gleichungen in die Normalform: a) - = b) + = c) + = d) + = e) + = - f) + = Auswertung ** 0 - Erreichte Punkte M. Funktionen_8...doc robert.hinze@afl.hessen.de 7-0 Bearbeite ** *** Ergänzende Materialien

14 SZ Förderkonzept M. *** Aufgaben: lineare Funktionen *** Seite ) Welche Punkte gehören zu welcher Gleichung? Löse die Gleichungen zuerst nach auf! g : = a) P(/) ; Q(/) g : + = 0 g : + = b) P(-/) ; Q(0/) g : = 0 - c) P(-/) ; Q (/0) g : = 8 g : - = - d) P(0/0) ; Q /8) M. Funktionen_8...doc robert.hinze@afl.hessen.de

15 SZ Förderkonzept M. Seite Parallel laufende Geraden Graden laufen dann parallel, wenn sie die gleiche Steigung haben. Die Grade der Gleichung g : = + verläuft parallel zu der Graden mit der Gleichung g : = Nur der Schnittpunkt mit der Y Achse ist bei den beiden Graden um Einheiten verschoben ) Welche der Graden verlaufen parallel? g : = - g : = g : = - 8 g : = + g : = + 9 g : = 0, - g 7 : = + g 8 : = +0,8 g 9 : = -0,87 - g 0 : = -0, + Geradengleichungen aus Geraden bestimmen 7) Bestimme die Geradengleichungen aus folgenden Graden: G : = g : = g : = - - g : = M. Funktionen_8...doc robert.hinze@afl.hessen.de

16 SZ Förderkonzept Anwendungsaufgaben 8) Herr Müller leiht sich ein Auto aus. Pro Tag muss er 0 und für jeden gefahrenen Kilometer 0 Cent bezahlen. a)stelle eine Funktionsgleichung zu den Kosten in Euro auf und zeichne den Funktionsgraphen ( ) M. Seite b) Wie viel zahlt er, wenn er 80 km fährt? 0 0 9) Ein 900 Liter Heiztank, in dem sich noch00 Liter Öl befinden, wird mit 70 Litern/Minute befüllt. a) Stelle eine Funktionsgleichung zum Füllstand in Litern auf und zeichne den Funktionsgraphen Y (l) (km) b) Wie lange dauert es, den Tank zu befüllen ) Ein Teich wird leer gepumpt. Nach Stunden enthält er noch 000 m³, nach weiteren Stunden 00m³ Wasser. a) Stelle die Funktionsgleichung auf: Zeit () in Stunden und Restmenge ()in m³ und zeichne den Funktionsgraphen. Y (m³) X min) b)wann ist der Teich leer gepumpt? c) Wie viel m³ Wasser waren in dem Teich? Auswertung *** 0- - Erreichte Punkte Bearbeite *** Ni mehr,) Ergänzende Materialien X (h) M. Funktionen_8...doc robert.hinze@afl.hessen.de