Aufgabe b) Anfangs eine simple Aufgabe, doch nach ungefähr dem siebten Glas (64 Reiskörner) eine mühselige Arbeit.

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1 1. Schachbrett voller Reis Wir haben uns für mehr als 1000 kg entschieden, da wir glauben, dass aufgrund des stark ansteigenden Wachstums (exponentiell!) dieses Gewicht leicht zustande kommt. Anfangs eine simple Aufgabe, doch nach ungefähr dem siebten Glas (64 Reiskörner) eine mühselige Arbeit. Nicht linear modellierbar, da die Differenz zweier aufeinander folgender Schachfelder nicht konstant ist. Feld x Reiskörner y Formel: y=2 x Aufgabe e) Excel-Tabelle auf dem ganzen Schachbrett liegen insgesamt 1, Es gibt auch Leute, die das ganze schriftlich machen. Aufgabe f) Waage 85 Reiskörner wiegen 1g Reiskörner wiegen 1kg Folglich: Masse in kg = Anzahl Reiskörner =2, Die Masse aller Reiskörner beträgt 2, kg. Aufgabe g) Erdradius: 6370 km Oberfläche: 4 r 2 = km² Masse in kg pro m²: Aufgabe h) Masse aller Reiskörner Oberfläche = 2, kg kg 2 =0, km m 2=420 g m 2 Benötigte Nahrung pro Tag: ,150 kg=1, kg Zeitraum möglicher Ernährung der Weltbevölkerung in Tagen: 2, kg 1, kg

2 2. Bierschaumzerfall und Alkoholabbau Schaumhöhe Die Gruppe nimmt an, dass der Schaum linear abnimmt. Deswegen vermuten wir, dass der Graph einer Geraden entspricht. Zeit Wir haben in regelmäßigen Abständen (30s) die Schaumhöhe gemessen. Dann die Tabelle in Geogebra übertragen. Zeit in min 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 Höhe in cm 12,5 10,9 9,7 9,1 8, ,3 4,7 4,4 4 3,6 3,3 Zeit in min 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9, ,5 Höhe in cm 3 2,6 2 1,9 1,8 1,7 1,5 1,4 1,3 Nachdem wir den Graphen erstellt hatten, haben wir festgestellt, dass dieser einer exponentiellen Funktion entspricht. Bei Geogebra hatten wir dann den Graphen soweit wie möglich den Punkten genähert. Ausgerechnet: h( t) = 12,5 0, 776 x Graphisch mit Geogebra: h( t) = 12,5 0, 8 x Aufgabe e) Wir berechnen die Hälfte des Anfangswertes des Schaums (6,25cm). Dann markieren wir den Punkt an der y-achse und ermitteln den zugehörigen x-wert. Dieser entspricht 3,1 min. Die Halbwertszeit beträgt somit 3,1 min. Hier kann man also von sehr guter Bierschaumhaltbarkeit ausgehen. Aufgabe f) Unter der Annahme, dass der Körper in jeder Stunde gleich viel Alkohol abbaut, würde folgende Gleichung gelten: y= 0,1 x 0,8 (nach y=mx+t) Der Graph würde also eine Gerade beschreiben

3 Gehen wir nun davon aus, dass der Alkohol proportional zum vorhandenen Bestand abnimmt, entsteht folgende Gleichung: y=0,8 0,875 x (nach y x = b a ) Laut Wikipedia, nimmt der Blutalkoholwert linear ab: Im Mittel sinken in der Stunde die Blutalkoholspiegel um 0,15 g/kg - Wikipedia Artikel Blutalkoholkonzetration ( Aufgabe g) Es gibt viele Gründe, warum die Rechnung nicht der Realität entspricht: Der Alkohol benötigt eine gewisse Zeit, um in den Blutkreislauf zu gelangen. Körperlicher Aktivität (z.b.: Sitzen, Laufen, ) Alter Gewicht und Größe Geschlecht

4 3. Zinsen Anmerkung: Die entsprechende Excel-Datei ist auf im Bereich der 10. Klasse- Mathematik (2009/2010) zu finden. Sie liegt außerdem auf der mitgelieferten CD bei. Geld, Sparkasse/Bank, Schulden, Anlegen, Sparen, Kredite, Girokonto Aufgrund des angespannten Arbeitsmarktes gibt es immer mehr Arbeitslose Armut in Deutschland steigt immer mehr Leute sind gezwungen, bei den Banken Schulden zu machen Die Leute können ihre Schulden aber nicht mehr zurückzahlen, da sie zuerst ihre Zinsen/Schulden bei der Bank zurückzahlen müssen es entsteht ein Teufelskreis, aus dem man nur schwer wieder rauskommt Bei der Kreissparkasse Dinkelsbühl zogen wir Informationen zu den aktuellen Zinssätzen für Spareinlagen und Kreditaufnahmen ein. Da dieses Gebiet über ein breites Spektrum an Alternativen verfügt, einigten wir uns mit der Fachkraft auf Informationen über Spareinlage mit 3-monatiger Kündigungsfrist: Hier bekommt man 0.30% Zinsen auf sein Gespartes. Beim Sparkassenbrief mit einer Laufdauer von einem Jahr bekommt man 0.75% Zinsen. Die Fachkraft betonte, dass es derzeit aufgrund der angespannten Finanzlage nur sehr geringe Zinssätze gebe. Bei der Aufnahme eines Privatkredits bezahlt man zwischen 6% und 10% p.a. Zinsen, was jedoch von der Bonität abhängt. Der Zinssatz für Wohnkredite (Hausbau, -kauf etc.) beläuft sich auf 4% bis 6% p.a Sollte man sein Konto überziehen, würde man sich einen Zinssatz von 14.50% einhandeln. Grundkapital K 100 Zinssatz p pro Jahr Jahr Jahresanfang Jahresende 1 100,00 102, ,00 104, ,04 106,12 Auf die Verzinsung nach einem Jahr kommt man mit der Formel: 100 Wir haben, "(1+)" benutzt, da es sich für die später Formel besser eignet, man hätte auch " 100 1,02 " schreiben können. Aufgabe e) K t =100 t 100 : Startkapital : Zinssatz t: Anzahl der Jahre

5 Aufgabe f) Grundkapital 100 Zinssatz pro Jahr Jahr Jahresanfang Jahresmitte Jahresende Zinssatz pro Halbjahr (Zinsperiode=2) /2=0, ,00 101,00 102, ,01 103,03 104, ,06 105,10 106,15 K 2 [Erstes Halbjahr] K neu 2 [Zweites Halbjahr] =101,01 [Erstes Halbjahr] 2 101,01 2 =100 2 =102,01 [Zweites Halbjahr] Allgemein: 2 t K t =100 2 Zinssatz durch 2, da halber Zinssatz im Halbjahr Jahre mal 2, da Halbjahre Aufgabe g) n t n K t =100 wenn: n=52, dann Verzinsung pro Woche (da Jahr 52 Wochen hat) n=365, dann Verzinsung pro Tag n=4, dann Verzinsung pro viertel Jahr n=2, dann Verzinsung pro halbes Jahr Aufgabe h) Seine Hoffnungen auf unendlichen Geldsegen werden enttäuscht werden, da man mithilfe der Tabellenkalkulation sehen kann, dass sich der Kontostand nach einer bestimmten Verzinsung nur noch um einen sehr geringen Betrag ändert, der jedoch keine großen Auswirkungen auf den Kontostand hat.

6 4. Abkühlen einer Flüssigkeit Exponentiell abfallend bis zur Raumtemperatur. Raumtemperatur: 23 C Zeit t in min Temp 96,6 90,5 84,8 80,1 76,2 72,9 70,3 67,8 65,5 63,6 61,8 60,2 58,6 57,2 55,8 54,5 T in C Keine reine exponentielle Funktion, da nach größeren Zeiträumen die Modellierung stark abweicht: Wenn die Raumtemperatur erreicht ist, verläuft der Graph linear. Außerdem ist der Quotient zweier aufeinander folgender Werte nicht konstant. Werte sprechen nicht für eine lineare Funktion, da es keinen konstanten Proportionalitätsfaktor zwischen den Werten gibt. s ist die Zimmertemperatur, da sich der y-wert bzw. die Temperatur daran annähert (23 ) b ist die Starttemperatur des Wassers mit abgezogener Raumtemperatur => Differenz zwischen Anfangstemperatur und Raumtemperatur des Wassers. Funktion: 73,6 0,94 t 23 a ergibt sich in diesem Fall aus b 2 b 1

7 b 1 ist der erste Messwert des (Wassers - der Raumtemperatur) b 2 ist der zweite Messwert des (Wasser - der Raumtemperatur) Beispiel: b 2 = 67,5 b 1 73,6 =0,92 Außerdem hatten wir aus allen Werten einen Mittelwert erstellt und anschließend mit Hilfe von Geogebra den passendsten Wert ermittelt. Nur teilweise mit der Realität übereinstimmend. Da der Graph der Funktion nur in einem kleinen Bereich gültig ist, könnte man für den anderen Bereich eine eigene Funktion schreiben oder die ursprüngliche Funktion so modifizieren dass sie auch im restlichen Bereich gilt. Aufgabe f) Erst an der Luft abkühlen lassen und dann Milch rein: Da in den ersten Minuten das Wasser schneller an der Luft abkühlt (Graph in Geogebra), jedoch dann vergleichsweise langsam abkühlt. Danach sollte man den Rest durch Zugeben der kalten Milch abkühlen lassen. Wenn man jedoch zuerst die kalte Milch zugibt, dann kann man sich das schnelle Abkühlen durch die Temperaturdifferenz zwischen Luft und heißem Kaffee nicht zu Nutzen machen.

8 5. Papier falten Man kann das Papier 6 mal falten. Dies erschien uns sehr wenig. Mit Gewalt 7-mal faltbar. Berechnung der Dicke von Papier: 1cm Blätterstapel Zählen der Blätter Anzahl der Blätter = 97 d.h.: Dicke des Papiers= 1cm 97 =10mm 0,1 mm 97 3 /2 n Gleichung: W = 0,1 mm 2 Unsere Werte eingesetzt: 6 mal falten: W = 0,1 mm 2 3/ 2 6 =5,7cm 7 mal falten: W = 0,1 mm 2 3/ 2 7 =16cm Gleichung stimmt nur bedingt, da A4 ( 21cm 30cm ) Papier nicht quadratisch ist. Umformung der Formel: 0,1 mm 2 3/2 n = 0,1mm 2 3/2 n 3/ 2 = 0,1mm 2 3/2 n 2 3/ 2 b = 0,1mm 2 3/ 2 2 3/ 2 n Die Gruppe wählt weniger als und weniger als Anzahl der Faltungen n Anzahl der Lagen L(n) Dicke in mm D(n) 0,1 0,2 0,4 0,8 1,6 3,2 6,4 12,8 25,6 51,2 102,4 204,8 409,6

9 Aufgabe e) Balkendiagramm Dicke in mm Anzahl der Faltungen Aufgabe f) D n =0,1 2 n Aufgabe g) Werte in TR eingesetzt, nach einigen Versuchen Lösung: 42-maliges falten notwendig (Abstand Erde-Mond: ca km) Wir haben nicht an eine exponentielle Funktion gedacht Deshalb Abweichung Mit 100 Falten kommt man km weit. Aufgabe h) Das Papier muss 1, km km in der Breite messen. ( W = t 2 3/ 2 n ).