Archimedische und Platonische Körper

Transkript

1 Archimedische und Platonische Körper Eine Bauanleitung für den Einsatz in der Lehre Mai 2016 Julia Bienert

2 Inhalt 1 Einleitung Konstruktion Idee und Material Grundkörper (Archimedischer Körper) Ecken Fertige Beispiele... 3

3 Einleitung 1 1 Einleitung Geometrische Körper wie Würfel, Tetraeder, Dodekaeder oder andere tauchen an verschiedenen Stellen im Alltag auf und bieten eine Reihe von Anknüpfungspunkten für mathematische Fragestellungen. Aus diesem Grund werden sie auch in unterschiedlichen Stadien der mathematischen Ausbildung immer wieder aufgegriffen: Während in der Grundschule zunächst nur Alltagsgegenstände Kategorien zugeordnet werden, betrachtet man in den unteren Klassen der weiterführenden Schule bereits Regelmäßigkeiten und Eigenschaften, wie die Anzahl der Kanten, Ecken und Flächen. Dabei kann man z.b. auch den Eulerschen Polyeder-Satz entdecken. Später können außerdem weitere Eigenschaften wie Oberflächeninhalt und umschlossenes Volumen betrachtet werden. Auch in der Oberstufe können Körper erneut untersucht werden, z.b. wenn nur die Eckpunkte als Vektoren angegeben sind. Zwei große Gruppen der regelmäßigen Körper sind die Platonischen und die Archimedischen Körper. Abb. 1: Die fünf Platonischen Körper zeichnen sich dadurch aus, dass sie jeweils nur aus der gleichen Art gleichseitiger Flächen zusammengesetzt sind Letztere entstehen aus den Platonischen Körpern, in dem man Ecken und/oder Kanten abschneidet. Auf diese Weise erhält man aus den fünf Platonischen Körpern die 13 Archimedischen. Im Folgenden werden die fünf Beispiele untersucht, die durch das Abschneiden von Ecken entstehen. Für diese wird hier eine Bastelanleitung vorgestellt. 2 Konstruktion 2.1 Idee und Material Schneidet man von den fünf Platonischen Körpern die Ecken immer auf die gleiche Weise ab, so erhält man die ersten fünf Archimedischen Körper. Um zu untersuchen ob und welche Eigenschaften des Körpers sich dabei verändern müssen die Ecken also reversibel abgenommen werden können. Dazu werden die Bestandteile des Modells mit Magneten versehen, sodass die Ecken von allein an dem Modell haften. Festeren Pappkarton und Tonzeichenpapier erhält man in jedem Schreibwarengeschäft, Magnete in der richtigen Größe lassen sich über das Internet bestellen. Man kann diese auch mit einem Klebestreifen auf der Rückseite kaufen, was die Befestigung erleichtert. Die Kosten für das Material Abb. 2: Ein fertiges Pappmodell für ein etwa 20 cm großes Modell wie in Abb. 2 zu sehen liegen dann bei etwa 7.

4 Konstruktion Grundkörper (Archimedischer Körper) Im Anhang zu dieser Anleitung befinden sich die Netze zu den ersten fünf Archimedischen Körpern. Diese druckt man zunächst in der gewünschten Größe aus, schneidet sie aus und befestigt sie auf einem farbigen Karton. Ab einer Körperhöhe von etwa 12 cm sollte dazu festerer Pappkarton (ca. 300 g), kein Tonzeichenpapier verwendet werden (s. Abb. 3). Verwendet man zum Befestigen des Netzes keinen Papierkleber sondern nur Klebefilm kann die Vorlage mehrfach verwendet werden. Die Netze beinhalten bereits zusätzliche Flächen, die später als Klebekanten verwendet werden können. Diese müssen, wie auch die anderen Kanten, die später geknickt werden, vor dem Zusammenbau einritzt werden. Das passiert durch kräftiges Nachzeichnen der Linien mit einem spitzen Bleistift oder Kugelschreiber. Die Seitenflächen, auf die später die Ecken gesetzt werden, sind außerdem mit einem kleinen Kreis markiert, dort werden die Magneten platziert. Auch diese Markierungen müssen nachgezeichnet werden, sodass sich das vollständige Netz auf die Pappe überträgt. Abb. 3: Netz auf der Pappe Anschließend wird die Form ausgeschnitten und die Magneten platziert. Zur Sicherheit können diese anschließend noch mit einem Klebestreifen gesichert werden, sodass sie sich nicht lösen können. Dabei ist aber darauf zu achten, dass die Magnete alle die gleiche Ausrichtung haben, also immer der gleiche Pol unten liegt. Andernfalls lässt sich später nicht jede Ecke an jeder Stelle anbringen, was die Nutzung erschwert. Um es dem Nutzer leichter zu machen, die Ecken zu platzieren, kann die Position der Magneten noch auf der Rückseite markiert werden. Der Zusammenbau gelingt außerdem leichter, wenn man die Kanten nun noch einmal vorknickt, insbesondere dann, wenn es sich um dickeren Pappkarton handelt. Anschließend wird der Körper zusammengesetzt. Abb. 4: Übertragung des Netzes auf die Pappe: a) vorher und b) hinterher Dafür eignet sich Flüssigkleber besonders gut, da man diesen leichter auftragen und besser dosieren kann. Abb. 5: Nach dem Befestigen der Magneten (a) und dem Kleben (b) ist das Modell fertig (c)

5 Konstruktion Ecken Kleinere Ecken können auch aus Tonpapier statt aus Karton angefertigt werden, dieses Material kann leichter und präziser verarbeitet werden. Das Ergebnis ist bei kleinen Ecken auch dann stabil genug. Hergestellt werden die Ecken auf die gleiche Weise, wie der Körper selbst: Abb. 6: Bau einer Ecke: Übertragung der Vorlage auf die Pappe (1)-(3), Knicken der Kanten (4), markieren und festlegen der Position des Magneten (5)-(6), Zusammenbau (7) und die fertige Ecke (8) Das Positionieren der Magneten kann man sich aber erleichtern, indem man die offenen Ecke über die Seite des Archimedischen Körpers stülpt und den Magneten einfach loslässt (s. Abb. 6, (6)). 2.4 Fertige Beispiele Diese Modelle sind alle ca. 20 cm hoch und aus 300 g-pappkarton. Die zueinander dualen Körper Hexaeder und Oktaeder (s. Abb. 7, 2) und 3)) sind jeweils farbinvertiert : Die Farbe der Ecken des einen entspricht der Farbe der Flächen des anderen. Der Tetraeder ist zu sich selbst dual und hat daher andere Farben. Abb. 7: Fertige Beispiele: 1) Tetraeder, 2) Oktaeder, 3) Hexaeder