K2 MATHEMATIK KLAUSUR 1. Aufgabe PT WTA WTGS Gesamtpunktzahl Punkte (max) Punkte Notenpunkte

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Albert Meyer
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1 K2 MATHEMATIK KLAUSUR Aufgabe PT WTA WTGS Gesamtpunktzahl (max) Notenpunkte PT P. (max) WT Ana A.1a) b) c) Summe P. (max) WT Geo G.a) b) c) S Summe P. (max) GTR und Formelsammlung dürfen erst nach Abgabe des Pflichtteils abgeholt werden. Bestimmen Sie exakt bedeutet, dass diese Teilaufgabe ohne GTR gelöst werden muss. 1

2 Pflichtteil (1) Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion f(x) = x e x cos(x). (2) Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion F von f(x) = 1 x + 2e 2x, die durch den Punkt A(e 1) geht. (3) Lösen Sie die Gleichung e 2x = 2e x. (4) Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = a x für ein a > 0. a) Bestimmen Sie a so, dass das Schaubild durch den Punkt P ( 1 2) geht. b) Untersuchen Sie f (mit diesem Wert von a) auf Asymptoten und Symmetrie. c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an das Schaubild von f im Punkt (1 f(1)).

3 (5) Gegeben sind die Schaubilder einer Funktion f mit f(x) = 1 x a, der Ableitung f, einer Stammfunktion F von f, sowie einer weiteren Funktion g. a) Welches Schaubild gehört zu f? Begründen Sie Ihre Aussage. b) Welche Schaubilder gehören zu f und F? Begründen Sie Ihre Aussage. c) Geben Sie einen Funktionsterm für die Funktion g an. (6) Lösen Sie das Gleichungssystem x 1 + x 2 + x 3 = 4 2x 1 x 2 = 3 3x 2 + 2x 3 = 5 und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch.

4 (7) Gegeben ist die Ebene E mit ( ( )) 40 E : x sowie der Punkt P (5 3 2). 0 ( 30 ) = 0 4 a) Bestimmen Sie den Abstand von P und E. b) Geben Sie die Gleichung einer Geraden h an, die durch P geht und parallel zu E ist. (8) In einer Urne liegen eine schwarze und vier weiße Kugeln. Nacheinander wird jeweils eine Kugel zufällig gezogen und zur Seite gelegt, bis man die schwarze Kugel erhält. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse: A: Man erhält spätestens beim zweiten Zug die schwarze Kugel. B: Man erhält die schwarze Kugel erst beim fünften Zug. b) Berechnen Sie, welche Anzahl an Ziehungen bei diesem Experiment durchschnittlich zu erwarten ist. (9) Gegeben ist eine Ebene E und ein Punkt P, der nicht in E liegt. Beschreiben Sie eine Methode, die Gleichung der Ebene F zu finden, die echt parallel zu E ist und genauso weit von P entfernt ist wie E.

5 Wahlteil Analysis Ein Bungee-Springer schwingt an einem elastischen Seil in vertikaler Richtung. Seine Höhe über dem Erdboden wird modelliert durch die Funktion h mit h(t) = 24e 0,07t cos( π t) (t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn, h(t) in Meter). a) Betrachtet werden zunächst die ersten 30 Sekunden nach Beobachtungsbeginn. Bestimmen Sie die geringste Höhe des Springers über dem Boden. Wie lange befindet sich der Springer insgesamt oberhalb von 40 Metern? Wie groß ist seine größte Fallgeschwindigkeit? b) Bestimmen Sie die durchschnittliche Höhe des Bungee-Springers in den ersten 6 Sekunden. Berechnen Sie die Länge des Weges, den er in dieser Zeit zurücklegt. c) Begründen Sie, dass sich der Springer schließlich auf einer Höhe von 30 m einpendelt. Bestimmen Sie den Zeitpunkt exakt, zu dem sich der Springer zum ersten Mal auf dieser Höhe befindet. Begründen Sie, dass er sich danach alle vier Sekunden wieder auf dieser Höhe befindet.

6 Wahlteil Geometrie / Stochastik Die x 1 x 2 -Ebene beschreibt eine flache Landschaft, über die ein Hubschrauber mit konstanter Geschwindigkeit fliegt. Seine Position wird beschrieben durch ) ) x = + t ( ( 4,5 0 1,5 (Längenangaben in Meter, t in Sekunden seit Beobachtungsbeginn). a) Wo befindet sich der Hubschrauber nach 120 Sekunden? In welchem Punkt befindet sich der Hubschrauber, wenn er seit Beobachtungsbeginn einen Höhenunterschied von 45 m überwunden hat? Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Hubschraubers. Berechnen Sie den Neigungswinkel seiner Flugbahn. b) Zeitgleich wird ein Schiff beobachtet, das auf einem Fluss geradlinig mit der Geschwindigkeit 2 m/s fährt. Zu Beobachtungsbeginn befindet es sich in P ( ) und bewegt sich in Richtung Q( ). Wie lange braucht das Schiff von P nach Q? Wie groß ist die Entfernung zwischen Hubschrauber und Schiff nach 60 Sekunden? c) In welcher Höhe befindet sich der Hubschrauber in dem Augenblick, in dem er die Schiffsroute überfliegt? Stochastik. Ein Unternehmer stellt Bauteile her. Er behauptet, dass davon höchstens 3 % defekt sind. Diese Behauptung soll mit einer Stichprobe von 200 Bauteilen überprüft werden. Die Nullhypothese lautet H 0 : p 3 %, die Irrtumswahrscheinlichkeit soll höchstens 5 % betragen. Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich. Geben Sie die zugehörige Irrtumswahrscheinlichkeit an.

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