Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10

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1 TU München Prof. Dr. P. Vogl, Dr. S. Schlicht Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10 Vorlesung 1, Montag vormittag Vektoralgebra Ein Vektor lässt sich geometrisch als eine gerichtete Strecke darstellen, d.h. durch eine Strecke, der man einen Richtungssinn zuordnet. Den Betrag (Länge) eines Vektors a schreibt man als a =: a. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die kartesischen Einheitsvektoren definiert, die in Richtung der positiven x-, y- bzw. z-achse zeigen. Sie werden mit e x oder e 1 oder i, e y oder e 2 oder j, e z oder e 3 oder k bezeichnet. Mit ihrer Hilfe kann man jeden beliebigen Vektor a in der Form a = a x e x + a y e y + a z e z schreiben (Komponentendarstellung). Abkürzende Schreibweise als Komponentenspalte: a = Addition von Vektoren: Die Addition von zwei Vektoren a und b ist definiert durch das geometrische Aneinandersetzen der entsprechenden gerichteten Strecken. Das Ergebnis a + b ist wieder eine gerichtete Strecke, also ein Vektor. a x a y a z Komponentendarstellung der Vektoraddition: a + b = a x + b x a y + b y a z + b z Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar: Unter dem Produkt λa eines Vektors a mit einer reellen Zahl λ versteht man den Vektor mit Betrag λ a und derselben Richtung wie a, wenn λ > 0 bzw. der entgegengesetzten Richtung wie a, wenn λ < 0. Komponentendarstellung der S-Multiplikation: λa = λa x λa y λa z Skalarprodukt zweier Vektoren: Unter dem Skalarprodukt a b zweier Vektoren versteht man die reelle Zahl a b = a b cos ϕ

2 wobei ϕ der von a und b eingeschlossene Winkel ist. Geometrische Interpretation: a b ist die Länge von a multipliziert mit der Länge der Projektion von b auf a. (Oder auch umgekehrt, denn es gilt das Kommutativgesetz a b = b a.) Man beachte: Das Skalarprodukt zweier Vektoren verschwindet genau dann, wenn die beiden Vektoren aufeinander senkrecht stehen ( orthogonale Vektoren ). Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist das Quadrat seines Betrages: a a = a 2. Komponentendarstellung des Skalarprodukts: a b = a x b x + a y b y + a z b z = 3 a i b i i=1 Komponentendarstellung des Betrages: a = a 2 x + a2 y + a2 z Vektorprodukt zweier Vektoren: Unter dem Vektorprodukt a b zweier Vektoren versteht man den Vektor a b = ( a b sin ϕ ) n Dabei ist ϕ der von a und b eingeschlossene Winkel und n der Einheitsvektor, der auf der von a und b aufgespannten Ebene senkrecht steht. Der Richtungssinn von n wird festgelegt durch die Bedingung, dass a,b und n gemäß der Rechten-Hand-Regel zusammenhängen sollen. Geometrische Interpretation: Der Betrag von a b ist die Fläche des von a und b aufgespannten Parallelogramms. Man beachte: Das Vektorprodukt zweier Vektoren verschwindet genau dann, wenn die beiden Vektoren zueinander parallel oder antiparallel sind. Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ und nicht assoziativ. Es gilt: a b = b a a (b c) = (a c)b (a b)c (a b) c = (a c)b (b c)a Komponentendarstellung des Vektorprodukts: a y b z a z b y a b = a z b x a x b z a x b y a y b x Darstellung eines 2dimensionalen Vektors durch Betrag und Richtung: Wenn von einem 2dimensionalen Vektor a sein Betrag a = a und seine Richtung durch den Winkel ϕ zur x-achse bekannt sind, dann sind seine Komponenten a x = acos ϕ, a y = asin ϕ und der Vektor selbst also ( ) acos ϕ a = asin ϕ = acos ϕe x + asin ϕe y = a(cos ϕe x + sin ϕe y )

3 Komplexe Zahlen Eine komplexe Zahl ist ein Gebilde der Form z = a + ib mit a,b R und i = imaginäre Einheit. Komplexe Zahlen erfüllen die Rechenregeln Addition : (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) Multiplikation : (a + ib)(c + id) = (ac bd) + i(ad + bc) Diese Regeln folgen direkt aus den üblichen Regeln der Algebra (Kommutativität, Assoziativität, Distributivität) mit dem einzigen und entscheidenden Zusatz, dass i 2 = 1 ist. Der Quotient zweier komplexer Zahlen ist a + ib c + id ac + bd bc ad = c 2 + i + d2 c 2 + d 2 Beweis: Erweitern des Bruchs mit c id ergibt: (a + ib)(c id) (c + id)(c id) = ac iad + ibc i2 bd c 2 + d 2 = ac + bd bc ad c 2 + i + d2 c 2 + d 2 Der Betrag einer komplexen Zahl z = a + ib ist definiert als z := a 2 + b 2 Zu jeder komplexen Zahl z = a + ib gibt es eine komplex-konjugierte Zahl z. Diese ist definiert durch z = a ib. a heißt Realteil und b heißt Imaginärteil von z = a + ib. Man schreibt auch a = Re(z) bzw. b = Im (z). Es gilt: Re(z) = 1 2 (z + z ), Im (z) = 1 2i (z z ) Eine komplexe Zahl z = x+iy kann durch einen Punkt P mit den Koordinaten (x,y) dargestellt werden. Es gilt x = z cos ϕ, y = z sin ϕ wobei ϕ der Winkel zwischen der positiven x-achse und der Strecke OP ist. Imz y z P O ϕ x Rez

4 Man kann also z = x + iy auch in der Form schreiben. Betrachten wir den Ausdruck z = z (cos ϕ + isin ϕ) cos ϕ + isin ϕ =: cis ϕ mit ϕ R genauer. Mit Hilfe der Additionstheoreme für Winkelfunktionen folgt: also cis (ϕ 1 + ϕ 2 ) = cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + isin(ϕ 1 + ϕ 2 ) = cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin ϕ 1 sinϕ 2 + i(sin ϕ 1 cos ϕ 2 + cos ϕ 1 sin ϕ 2 ) = (cos ϕ 1 + isin ϕ 1 ) (cos ϕ 2 + isin ϕ 2 ) = cis ϕ 1 cis ϕ 2 cis (ϕ 1 + ϕ 2 ) = cis ϕ 1 cis ϕ 2 Das ist eine charakteristische Eigenschaft der Exponentialfunktion. Es liegt daher nahe, die Exponentialfunktion für imaginäre Exponenten per e iϕ := cos ϕ + isin ϕ zu definieren. Dies ist die sog. Eulersche Formel. (Die Bezeichnung cis ϕ wird im folgenden nicht mehr verwendet.) Es gilt also: e i(ϕ 1+ϕ 2 ) = e iϕ 1 e iϕ 2 Damit kann man eine beliebige komplexe Zahl nun in der Form z = z e iϕ schreiben ( Polarform ). Aus dieser Darstellung ergibt sich eine einfache geometrische Interpretation der Multiplikation von komplexen Zahlen: z 1 = z 1 e iϕ 1, z 1 = z 2 e iϕ 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 e iϕ 1 e iϕ 2 = z 1 z 2 e i(ϕ 1+ϕ 2 ) Also: Der Betrag des Produktes ist das Produkt der Beträge und der Winkel des Produktes ist die Summe der Winkel der Faktoren. Darstellung der Winkelfunktionen mithilfe der e-funktion: e iϕ = cos ϕ + isin ϕ e iϕ = cos ϕ isin ϕ } { ( cos ϕ = 1 2 e iϕ + e iϕ) sin ϕ = 1 ( 2i e iϕ e iϕ) Komplexe Darstellung von harmonischen Schwingungen mithilfe der e-funktion: Eine harmonische Schwingung ist z.b. x(t) = cos ωt

5 Gemäß der Eulerschen Formel kann man dies als Linearkombination von zwei komplexen Exponentialfunktionen schreiben: x(t) = 1 2 eiωt e iωt Die allgemeinste reelle harmonische Schwingung ist x(t) = Acos(ωt + ϕ) (A = Amplitude, ϕ = Phasenverschiebung). Mit der Eulerschen Formel kann man den cos durch die Exponentialfunktion ersetzen und erhält: x(t) = A 1 2 Also: Die harmonische Schwingung ( e i(ωt+ϕ) + e i(ωt+ϕ)) = 1 2 Aeiϕ e iωt Ae iϕ e iωt x(t) = Acos(ωt + ϕ) hat die komplexe Darstellung mit der komplexen Zahl x(t) = 1 2 αeiωt α e iωt α = Ae iϕ Man kann also jede harmonische Schwingung als Linearkombination zweier komplexer Exponentialfunktionen schreiben. Diese komplexe Darstellung von Schwingungen wird sehr oft verwendet und hat gegenüber der Darstellung mit Winkelfunktionen erhebliche rechentechnische Vorteile.