Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen 2. Der Standardfehler

Transkript

1 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen 2. Der Standardfehler Martin Hutzenthaler & Dirk Metzler April 2010

2 1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung Ein Beispiel zur Warnung 2 Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Zur Verteilung von x Anwendungen Zusammenfassung

3 Inhalt Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik 1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung Ein Beispiel zur Warnung 2 Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Zur Verteilung von x Anwendungen Zusammenfassung

4 Inhalt Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung 1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung Ein Beispiel zur Warnung 2 Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Zur Verteilung von x Anwendungen Zusammenfassung

5 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung Bachstelzen fressen Dungfliegen Ra uber Beute Bachstelze (White Wagtail) Motacilla alba alba Gelbe Dungfliege Scatophaga stercoraria image (c) by Artur Mikołajewski image (c) by Viatour Luc

6 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung available dung flies number length [mm]

7 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung available dung flies number mean= length [mm]

8 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung available dung flies number mean= 7.99 sd= length [mm]

9 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung captured dung flies number length [mm]

10 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung captured dung flies number mean= length [mm]

11 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung captured dung flies number mean= 6.79 sd= length [mm]

12 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Beobachtung Mittelwert und Standardabweichung In der Biologie sind viele Datenverteilungen annähernd glockenförmig und können durch den Mittelwert und die Standardabweichung angemessen beschrieben werden.

13 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Beobachtung Mittelwert und Standardabweichung In der Biologie sind viele Datenverteilungen annähernd glockenförmig und können durch den Mittelwert und die Standardabweichung angemessen beschrieben werden. Es gibt aber auch Ausnahmen.

14 Inhalt Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung 1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung Ein Beispiel zur Warnung 2 Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Zur Verteilung von x Anwendungen Zusammenfassung

15 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung Kupfertolerantes Rotes Straußgras Rotes Straußgras Agrostis tenuis image (c) Kristian Peters Kupfer Cuprum Hendrick met de Bles

16 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung Browntop Bent (n=50) density per cm m s m m+s meadow plants root length (cm)

17 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung Browntop Bent (n=50) density per cm m s m m+s meadow plants root length (cm) In etwa 2/3 der Wurzellängen innerhalb [m-sd,m+sd]????

18 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung Browntop Bent (n=50) density per cm m s m m+s meadow plants root length (cm) In etwa 2/3 der Wurzellängen innerhalb [m-sd,m+sd]???? Nein! Deutlich mehr.

19 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung Manche Verteilungen können nur mit mehr als zwei Variablen angemessen beschrieben werden.

20 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung Manche Verteilungen können nur mit mehr als zwei Variablen angemessen beschrieben werden. z.b. mit den fünf Werten der Boxplots: min, Q 1, median, Q 3, max

21 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Ein Beispiel zur Warnung Browntop Bent n=50+50 copper mine plants meadow plants root length (cm)

22 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Schlussfolgerung Ein Beispiel zur Warnung In der Biologie sind viele Datenverteilungen annähernd glockenförmig und können durch den Mittelwert und die Standardabweichung angemessen beschrieben werden.

23 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Schlussfolgerung Ein Beispiel zur Warnung In der Biologie sind viele Datenverteilungen annähernd glockenförmig und können durch den Mittelwert und die Standardabweichung angemessen beschrieben werden. Es gibt aber auch Ausnahmen. Also: Immer die Daten erst mal graphisch untersuchen!

24 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Schlussfolgerung Ein Beispiel zur Warnung In der Biologie sind viele Datenverteilungen annähernd glockenförmig und können durch den Mittelwert und die Standardabweichung angemessen beschrieben werden. Es gibt aber auch Ausnahmen. Also: Immer die Daten erst mal graphisch untersuchen! Verlassen sie sich niemals allein auf numerische Kenngrößen!

25 Inhalt Der Standardfehler 1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung Ein Beispiel zur Warnung 2 Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Zur Verteilung von x Anwendungen Zusammenfassung

26 Inhalt Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen 1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung Ein Beispiel zur Warnung 2 Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Zur Verteilung von x Anwendungen Zusammenfassung

27 Ein allgemeiner Rahmen Population (sämtliche Transpirationsraten) n=oo

28 Ein allgemeiner Rahmen Population (sämtliche Transpirationsraten) n=oo Stichprobe n=14

29 Ein allgemeiner Rahmen Population (sämtliche Transpirationsraten) µ Stichprobe x

30 Ein allgemeiner Rahmen Wir schätzen den Populationsmittelwert µ durch den Stichprobenmittelwert x.

31 Ein allgemeiner Rahmen Jede neue Stichprobe liefert einen neuen Wert von x.

32 Ein allgemeiner Rahmen Jede neue Stichprobe liefert einen neuen Wert von x. x hängt vom Zufall ab: eine Zufallsgröße

33 Ein allgemeiner Rahmen Jede neue Stichprobe liefert einen neuen Wert von x. x hängt vom Zufall ab: eine Zufallsgröße FRAGE: Wie variabel ist x?

34 Ein allgemeiner Rahmen Jede neue Stichprobe liefert einen neuen Wert von x. x hängt vom Zufall ab: eine Zufallsgröße FRAGE: Wie variabel ist x? Genauer: Wie weit weicht x typischerweise von µ ab?

35 Ein allgemeiner Rahmen Hypothethische Transpirationsratenverteilung Dichte Population Transpiration (ml/(tag*cm^2))

36 Ein allgemeiner Rahmen Hypothethische Transpirationsratenverteilung Dichte Population Transpiration (ml/(tag*cm^2)) Stichprobenmittel (n=16)

37 Die allgemeine Regel Ein allgemeiner Rahmen Die Standardabweichung des Mittelwerts einer Stichprobe vom Umfang n

38 Die allgemeine Regel Ein allgemeiner Rahmen Die Standardabweichung des Mittelwerts einer Stichprobe vom Umfang n ist 1/ n mal der Standardabweichung der Population.

39 Ein allgemeiner Rahmen Die Standardabweichung der Population bezeichnet man mit σ (sigma).

40 Ein allgemeiner Rahmen Die Standardabweichung der Population bezeichnet man mit σ (sigma). Die Regel schreibt man häufig so: σ(x) = 1 n σ(x)

41 Ein allgemeiner Rahmen In der Praxis ist σ unbekannt.

42 Ein allgemeiner Rahmen In der Praxis ist σ unbekannt. Es wird durch die Stichproben-Standardabweichung s geschätzt:

43 Ein allgemeiner Rahmen In der Praxis ist σ unbekannt. Es wird durch die Stichproben-Standardabweichung s geschätzt: σ =??

44 Ein allgemeiner Rahmen In der Praxis ist σ unbekannt. Es wird durch die Stichproben-Standardabweichung s geschätzt: σ s

45 Ein allgemeiner Rahmen Die geschätzte Standardabweichung von x s/ n nennt man den Standardfehler.

46 Ein allgemeiner Rahmen Die geschätzte Standardabweichung von x s/ n nennt man den Standardfehler. (Englisch: standard error of the mean, standard error, SEM)

47 Inhalt Der Standardfehler Zur Verteilung von x 1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung Ein Beispiel zur Warnung 2 Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Zur Verteilung von x Anwendungen Zusammenfassung

48 Zur Verteilung von x Wir haben gesehen: Auch wenn die Verteilung von x mehrgipfelig & asymmetrisch ist

49 Zur Verteilung von x Hypothethische Transpirationsratenverteilung Dichte Population Transpiration (ml/(tag*cm^2))

50 Zur Verteilung von x ist die Verteilung von x trotzdem (annähernd) eingipfelig & symmetrisch (wenn der Stichprobenumfang n nur groß genug ist)

51 Zur Verteilung von x Hypothethische Transpirationsratenverteilung Dichte Population Transpiration (ml/(tag*cm^2)) Stichprobenmittel (n=16)

52 Zur Verteilung von x Die Verteilung von x hat annähernd eine ganz bestimmte Form: die Normalverteilung.

53 Zur Verteilung von x Dichte der Normalverteilung Normaldichte µ σ µ µ + σ

54 Zur Verteilung von x Dichte der Normalverteilung Normaldichte µ σ µ µ + σ Die Normalverteilungsdichte heisst auch Gauß sche Glockenkurve

55 Zur Verteilung von x Dichte der Normalverteilung Die Normalverteilungsdichte heisst auch Gauß sche Glockenkurve (nach Carl Friedrich Gauß, )

56 Wichtige Folgerung Zur Verteilung von x Wir betrachten das Intervall x s/ n x + s/ n x

57 Wichtige Folgerung Zur Verteilung von x Mit Wahrscheinlichkeit ca. 2/3 liegt µ innerhalb dieses Intervalls x s/ n x + s/ n x

58 Wichtige Folgerung Zur Verteilung von x Mit Wahrscheinlichkeit ca. 2/3 liegt µ innerhalb dieses Intervalls x s/ n x + s/ n x Mit Wahrscheinlichkeit ca. 1/3 liegt µ ausserhalb des Intervalls

59 Zur Verteilung von x Demnach: Es kommt durchaus vor, dass x von µ um mehr als s/ n abweicht.

60 Inhalt Der Standardfehler Anwendungen 1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung Ein Beispiel zur Warnung 2 Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Zur Verteilung von x Anwendungen Zusammenfassung

61 Anwendungen ANWENDUNG 1: Welche Werte von µ sind plausibel?

62 Anwendungen ANWENDUNG 1: Welche Werte von µ sind plausibel? x = 0,12 s/ n = 0,007

63 Anwendungen ANWENDUNG 1: Welche Werte von µ sind plausibel? x = 0,12 s/ n = 0,007 Frage: Könnte es sein, dass µ = 0,115?

64 Anwendungen Antwort: Es ist gut möglich.

65 Anwendungen Antwort: Es ist gut möglich. Abweichung x µ = 0,120 0,115 = 0,005.

66 Anwendungen Antwort: Es ist gut möglich. Abweichung x µ = 0,120 0,115 = 0,005. Standardfehler s/ n = 0,007

67 Anwendungen Antwort: Es ist gut möglich. Abweichung x µ = 0,120 0,115 = 0,005. Standardfehler s/ n = 0,007 Abweichungen dieser Größe kommen häufig vor.

68 Anwendungen Antwort: Es ist gut möglich. Abweichung x µ = 0,120 0,115 = 0,005. Standardfehler s/ n = 0,007 Abweichungen dieser Größe kommen häufig vor. (Die Frage, welche Abweichungen nicht mehr plausibel sind, untersuchen wir später.)

69 Anwendungen ANWENDUNG 2: Vergleich von Mittelwerten

70 Anwendungen ANWENDUNG 2: Vergleich von Mittelwerten Beispiel: Springkrebs Galathea squamifera image (c) by Matthias Buschmann

71 Anwendungen Vergleich der Carapaxlänge: (c): public domain

72 Anwendungen Galathea: Carapaxlänge in einer Stichprobe Männchen: x 1 = 3,04 mm s 1 = 0,9 mm n 1 = 25 Weibchen: x 2 = 3,23 mm s 2 = 0,9 mm n 2 = 29

73 Anwendungen Die Weibchen scheinen größer zu sein.

74 Anwendungen Die Weibchen scheinen größer zu sein. Ist das ernst zu nehmen?

75 Anwendungen Die Weibchen scheinen größer zu sein. Ist das ernst zu nehmen? Oder könnte es nur Zufall sein?

76 Anwendungen Wie genau sind die beiden Mittelwerte?

77 Anwendungen Wie genau sind die beiden Mittelwerte? Männchen: x 1 = 3,04 mm s 1 = 0,9 mm n 1 = 25 s 1 / n 1 = 0,18 [mm]

78 Anwendungen Wie genau sind die beiden Mittelwerte? Männchen: x 1 = 3,04 mm s 1 = 0,9 mm n 1 = 25 s 1 / n 1 = 0,18 [mm] Mit Schwankungen von ±0,18 (mm) in x 1 müssen wir rechnen.

79 Anwendungen Wie genau sind die beiden Mittelwerte?

80 Anwendungen Wie genau sind die beiden Mittelwerte? Weibchen: x 2 = 3,23 mm s 2 = 0,9 mm n 2 = 29 s 2 / n 2 = 0,17 [mm]

81 Anwendungen Wie genau sind die beiden Mittelwerte? Weibchen: x 2 = 3,23 mm s 2 = 0,9 mm n 2 = 29 s 2 / n 2 = 0,17 [mm] Es ist nicht unwahrscheinlich, dass x 2 um mehr als ±0,17 (mm) vom wahren Mittelwert abweicht.

82 Anwendungen Die Differenz der Mittelwerte 3,23 3,04 = 0,19 [mm]

83 Anwendungen Die Differenz der Mittelwerte 3,23 3,04 = 0,19 [mm] ist kaum größer als die zu erwartenden Schwankungen.

84 Anwendungen Die Differenz der Mittelwerte 3,23 3,04 = 0,19 [mm] ist kaum größer als die zu erwartenden Schwankungen. Es könnte also einfach Zufall sein, dass x 2 > x 1

85 Anwendungen GENAUER FORMULIERT: Wenn in Wirklichkeit die Populationsmittelwerte gleich sind, µ Weibchen = µ Männchen

86 Anwendungen GENAUER FORMULIERT: Wenn in Wirklichkeit die Populationsmittelwerte gleich sind, µ Weibchen = µ Männchen kann es trotzdem leicht passieren, dass die Stichprobenmittelwerte x 2 und x 1 so weit auseinander liegen.

87 Anwendungen Der Statistiker sagt: Die Differenz der Mittelwerte ist (statistisch) nicht signifikant.

88 Anwendungen nicht signifikant = könnte Zufall sein

89 Anwendungen ANWENDUNG 3: Wenn man Mittelwerte graphisch darstellt, sollte man auch ihre Genauigkeit (±s/ n) anzeigen.

90 Anwendungen Also nicht so: Carapaxlängen: Mittelwerte nach Geschlecht Carapaxlänge [mm] Männchen Weibchen

91 Anwendungen sondern so: Carapaxlängen: Mittelwerte ± Standardfehler nach Geschlecht Carapaxlänge [mm] Männchen Weibchen

92 Anwendungen ANWENDUNG 4: Bei der Versuchsplanung:

93 Anwendungen ANWENDUNG 4: Bei der Versuchsplanung: Wieviele Beobachtungen brauche ich? (Wie groß sollte die Stichprobenlänge n sein?)

94 Anwendungen Wenn man weiß, welche Genauigkeit (Standardfehler s/ n) für x man erreichen will,

95 Anwendungen Wenn man weiß, welche Genauigkeit (Standardfehler s/ n) für x man erreichen will, und wenn man (aus Erfahrung oder aus einem Vorversuch) s ungefähr kennt,

96 Anwendungen Wenn man weiß, welche Genauigkeit (Standardfehler s/ n) für x man erreichen will, und wenn man (aus Erfahrung oder aus einem Vorversuch) s ungefähr kennt, dann kann man das notwendige n ungefähr abschätzen: s/ n = g (g = gewünschter Standardfehler)

97 Anwendungen Beispiel: Gestresste Transpirationswerte bei einer anderen Hirse-Sorte: x = 0,18 s = 0,06 n = 13

98 Anwendungen Beispiel: Gestresste Transpirationswerte bei einer anderen Hirse-Sorte: x = 0,18 s = 0,06 n = 13 Nehmen wir an, der Versuch soll wiederholt werden und man will Standardfehler 0,01 erreichen.

99 Anwendungen Beispiel: Gestresste Transpirationswerte bei einer anderen Hirse-Sorte: x = 0,18 s = 0,06 n = 13 Nehmen wir an, der Versuch soll wiederholt werden und man will Standardfehler 0,01 erreichen. Wie groß sollte n sein?

100 Anwendungen Lösung: gewünscht: s/ n 0,01

101 Anwendungen Lösung: gewünscht: s/ n 0,01 aus dem Vorversuch wissen wir: s 0,06,

102 Anwendungen Lösung: gewünscht: s/ n 0,01 aus dem Vorversuch wissen wir: s 0,06, n 0,06 0,01 = 6

103 Anwendungen Lösung: gewünscht: s/ n 0,01 aus dem Vorversuch wissen wir: s 0,06, n 0,06 0,01 = 6 n 36

104 Inhalt Der Standardfehler Zusammenfassung 1 Eine kurze Wiederholung zur deskriptiven Statistik Mittelwert und Standardabweichung Ein Beispiel zur Warnung 2 Der Standardfehler Ein allgemeiner Rahmen Zur Verteilung von x Anwendungen Zusammenfassung

105 Zusammenfassung ZUSAMMENFASSUNG Nehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ und Standardabweichung σ.

106 Zusammenfassung ZUSAMMENFASSUNG Nehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ und Standardabweichung σ. Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobe vom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x.

107 Zusammenfassung ZUSAMMENFASSUNG Nehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ und Standardabweichung σ. Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobe vom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x. x ist eine Zufallsgröße

108 Zusammenfassung ZUSAMMENFASSUNG Nehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ und Standardabweichung σ. Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobe vom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x. x ist eine Zufallsgröße mit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/ n.

109 Zusammenfassung ZUSAMMENFASSUNG Nehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ und Standardabweichung σ. Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobe vom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x. x ist eine Zufallsgröße mit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/ n. Man schätzt die Standardabweichung von x mit s/ n.

110 Zusammenfassung ZUSAMMENFASSUNG Nehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ und Standardabweichung σ. Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobe vom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x. x ist eine Zufallsgröße mit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/ n. Man schätzt die Standardabweichung von x mit s/ n. s/ n nennt man den Standardfehler.

111 Zusammenfassung ZUSAMMENFASSUNG Nehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ und Standardabweichung σ. Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobe vom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x. x ist eine Zufallsgröße mit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/ n. Man schätzt die Standardabweichung von x mit s/ n. s/ n nennt man den Standardfehler. Schwankungen in x von der Größe s/ n kommen häufig vor.

112 Zusammenfassung ZUSAMMENFASSUNG Nehmen wir an, eine Population hat Mittelwert µ und Standardabweichung σ. Aus dieser Population ziehen wir eine Zufallsstichprobe vom Umfang n, mit Stichprobenmittelwert x. x ist eine Zufallsgröße mit Mittelwert µ und Standardabweichung σ/ n. Man schätzt die Standardabweichung von x mit s/ n. s/ n nennt man den Standardfehler. Schwankungen in x von der Größe s/ n kommen häufig vor. Solche Schwankungen sind nicht signifikant : sie könnten Zufall sein.