Mathematik. Februar 2016 AHS. Kompensationsprüfung 2 Angabe für Kandidatinnen/Kandidaten

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1 Name: Datum: Klasse: Kompensationsprüfung zur standardisierten kompetenzorientierten schriftlichen Reifeprüfung AHS Februar 2016 Mathematik Kompensationsprüfung 2 Angabe für Kandidatinnen/Kandidaten

2 Hinweise zur Kompensationsprüfung Sehr geehrte Kandidatin, sehr geehrter Kandidat! Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig voneinander bearbeitbar sind. Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der Aufgabenstellung müssen Sie die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden Leitfrage sollen Sie Ihre Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen. Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten. Beurteilung Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden. Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema: Note zumindest erreichte Punkte Genügend Befriedigend Gut Sehr gut 4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte 3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte 4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte 5 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 4 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen. Viel Erfolg! Kompensationsprüfung 2 / Februar 2016 / MAT / Kandidat/in S. 2/7

3 Aufgabe 1 Zueinander normale Geraden in R 2 1 Die Gerade g wird durch X = ( 4 ) ( ) + t 3 1 mit t R beschrieben. Zeichnen Sie die Gerade g in dem nachstehenden Koordinatensystem ein und geben Sie eine parameterfreie Gleichung der Geraden g an! y x Die Gerade h wird durch die parameterfreie Gleichung a x 2 y = 10 mit a R beschrieben. Bestimmen Sie den Wert des Parameters a in der Gleichung der Geraden h so, dass die Gerade h normal zur Geraden g verläuft, und berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S der beiden Geraden g und h! Kompensationsprüfung 2 / Februar 2016 / MAT / Kandidat/in S. 3/7

4 Aufgabe 2 Winkelfunktionswerte Mithilfe von Sinus, Cosinus und Tangens können unter anderem Berechnungen an rechtwinkeligen Dreiecken und an Figuren, die in rechtwinkelige Dreiecke unterteilt werden können, ausgeführt werden. Von einem spitzwinkeligen Dreieck ABC kennt man die Seite a sowie die Winkel α und β. Geben Sie anhand der nachstehenden Skizze einen Lösungsweg dafür an, wie die Länge der Seite b mithilfe der rechtwinkeligen Dreiecke AFC und FBC aus den gegebenen Größen a, α und β berechnet werden kann! C b a h c A α F c β B Nachstehend sind ein rechtwinkelig-gleichschenkeliges Dreieck und ein gleichseitiges Dreieck abgebildet. c h 1 1 Geben Sie die jeweiligen Längen von c und h an, ermitteln Sie die Winkelfunktionswerte (Sinus, Cosinus und Tangens) der Winkel 45 und 60 mithilfe der abgebildeten Dreiecke und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise! Kompensationsprüfung 2 / Februar 2016 / MAT / Kandidat/in S. 4/7

5 Aufgabe 3 Radioaktiver Zerfall Von einer radioaktiven Substanz sind am Beginn des Beobachtungszeitraums (Zeitpunkt t 0 = 0) 200 g vorhanden. Pro Jahr verringert sich die vorhandene Menge um 5 %. Beschreiben Sie den geschilderten exponentiellen Zerfallsprozess mithilfe einer Funktion des Typs f : R R : t f(t) mit f(t) = N 0 e λ t, λ R, f(t) in Gramm, t in Jahren, gemessen ab dem Zeitpunkt t 0! Betrachten Sie Funktionen f des Typs f : R R : t f(t) mit f(t) = N 0 e λ t (λ R, λ 0, N 0 > 0). Bilden Sie die Ableitungsfunktion f der Funktion f und beschreiben Sie unter Bezugnahme auf f das Monotonieverhalten der Funktion f in Abhängigkeit vom Parameter λ! Kompensationsprüfung 2 / Februar 2016 / MAT / Kandidat/in S. 5/7

6 Aufgabe 4 Bestimmtes Integral Für eine Polynomfunktion f dritten Grades und r, s R mit r < s gilt: s f(x) dx = 0. Skizzieren Sie einen möglichen Graphen von f und erläutern Sie anhand dieses Graphen, welche der beiden nachstehenden Aussagen richtig sein kann / können und welche Aussage(n) sicher richtig ist/sind! Begründen Sie Ihre Entscheidung! I. f hat im Intervall (r; s) mindestens eine Nullstelle. II. r und s sind Nullstellen von f. r f(x) x Für alle t [r; s] gilt: t f(x) dx + s f(x) dx = 0. r t Beurteilen Sie den Wahrheitsgehalt dieser Aussage und erläutern Sie Ihre Überlegungen! Nachstehend ist der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades gegeben. Kennzeichnen Sie ungefähr diejenige Stelle x 3 [x 1 ; x 2 ], für die gilt: x 3 h(x) dx = x2 h(x) dx! x 1 x 3 h x 1 x 2 x Kompensationsprüfung 2 / Februar 2016 / MAT / Kandidat/in S. 6/7

7 Aufgabe 5 Zentralmaße Bei einem Verfahren werden sechs Messungen vorgenommen. Die ersten fünf Messungen haben folgende Werte ergeben: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 3,4 2,0 2,0 2,0 1,6 Geben Sie denjenigen Wert an, den die sechste Messung ergeben muss, damit das arithmetische Mittel aller sechs Messungen den Wert 2,0 hat! Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise! Begründen Sie, warum der Median aller sechs Messdaten auf jeden Fall den Wert 2,0 hat unabhängig davon, welchen Messwert die sechste Messung ergibt! Erläutern Sie anhand eines Beispiels, wie viele weitere Messwerte zur gegebenen Datenliste mindestens hinzukommen müssten, damit sich der Wert des Medians der Datenliste verändern kann! Kompensationsprüfung 2 / Februar 2016 / MAT / Kandidat/in S. 7/7