Quadratische Gleichungen. Kreise und Berührkreise. Binomische Formeln. Satz des Pythagoras. Goldener Schnitt

Transkript

1 Quadratische Gleichungen Kreise und Berührkreise Binomische Formeln Satz des Pythagoras Goldener Schnitt 9. Klasse Jens Möller Tel

2

3 Quadratische Gleichungen 1. Beispiel: ² 65 0 Suche Lösungen für durch systematisches Probieren. PARABEL Ergebnis: es gibt zwei Lösungen 1 1 und 5. Dies zeigt auch die nebenstehende PARABEL, welche die Wasseroberfläche -mal schneidet.. Beispiel: ² 6 0 Setze 3,, 1,..., 4 1 und 3 3. Beispiel: ² 69 0 Wie lautet die Lösung? Für positive -Werte gibt es gewiss kein Ergebnis

4 Ergebnis: es gibt nur eine Lösung Beispiel: ² 45 0 Versuche eine Lösung zu finden. Ergebnis: es gibt keine Lösung, da der quadratische Ausdruck immer größer Null ist. Übungen: Finde die Lösungen durch systematisches Probieren. 1. ² ² ² ² ² ² k. Lösg - -

5 Zur Erinnerung I a² ab b² ( ab)² II a² ab b² ( a b)² binomische Formeln III a² b² ( a b)( a b) Wie löst man eine quadratische Gleichung in NORMALFORM? 1. Beispiel: ² ² 6 5 : ² 6 3² 5 9 : ( 3 ) ² 4 qudratische Ergänzung immer positiv zusammenfassen aufsplitten Übungen 01 (siehe Anhang) - 3 -

6 Quadratische Gleichung mit einem Faktor vor dem ². Beispiel: 3 ² : ² : ² qudratische Ergänzung immer positiv ² Brüche gleichnamig machen ² zusammenfassen aufsplitten Übungen 0 (siehe Anhang) - 4 -

7 3. Beispiel SPIEGELAUFGABE Ein Spiegel von 60cm Höhe und 56 cm Breite soll mit einem Rahmen von überall gleicher Breite versehen werden, so dass die Rahmenfläche genauso groß ist wie die Spiegelfläche. Wie breit muss der Rahmen werden? 56 56cm Skizze: 56cm = Spiegelbreite cm = Spiegelhöhe 60cm = Rahmenbreite 56 Gleichung: Rahmenfläche = Spiegelfläche 4 ² = ² = ² + 3 = 3360 : 4 ² + 58 = 840 quadratische Ergänzung ² + = ( 6 9) Ergebnis: cm entfällt - 5 -

8 WEITERE ZAHLEN ZUR SPIEGELAUFGABE cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm Für die Klassenarbeit reserviert: cm cm Übung 03 (siehe Anhang) - 6 -

9 DIE NORMALFORM DER QUADRATISCHEN GLEICHUNG Jede quadratische Gleichung lässt sich zurückführen auf eine quadratische Gleichung in NORMALFORM. Diese laute allgemein: ² p q 0 Zunächst muss jede quadratische Gleichung auf NORMALFORM gebracht werden. Dann erst kann das Lösungsschema ablaufen. 4. Beispiel: ² ² NORMALFORM Beispiel: ² ² 3 0 :9 1 ²

10 6. Beispiel: kreuzweise multiplizieren (35) 7 ( 60) Klammern auflösen 3 ² ² :3 ² Übungen 04.1 und 04. (siehe Anhang) - 8 -

11 Die allgemeine Lösung einer quadratischen Gleichung mit Hilfe der p-q-formel ² + p + q = 0 konstantes Glied lineares Glied quadratisches Glied Herleitung der Formel: ² p q 0 q ² p q quadratische Ergänzung p p ² p q zusammenfassen p p q p p q p p p q Lösungsformel: 1/ p q Formel Beispiel: ² = 0 p = 1 und q = 0 einsetzen 1/ / 64 und

12 Kreise und Berührkreise 1. Aufgabe Konstruiere einen Spitzbogen, dessen Basis 8 cm beträgt, dessen Seiten aus Bögen mit r = 8 cm gebildet werden und der innen von einem Kreis berührt wird. Wie groß muss der Radius des Innenkreises gewählt werden? Zuerst rechne, dann konstruiere. C M 8 - A 4 B 8 cm Rechnerischer Ansatz: Satz des Pythagoras a² ² b² c² 4² (8 )² (a - b)² = a² ab + b² ² ² ² wegstreichen ² ² cm

13 Wende den Satz des Pythagoras an Kathetenquadrat Kathethenquadrat Hypotenusenquadrat a² b² c² Beispiel: Berechne. - 4 a² + b² = c² 4² + ( )² = ² 16 ² 4 4 ² ² wegstreichen = 0 4 = 0 5 Beispiel: Berechne a² + b² = c² ( + )² + 5² = ( + 3)² ² 445 ² 6 9 ² wegstreichen = =

14 . Aufgabe Konstruiere einen Spitzbogen mit der Basis 9 cm. Über der Basis soll ein Halbkreis mit r = 4,5 cm gezeichnet werden. Die Bögen und der Halbkreis werden von einem Innenkreis berührt. Wie groß ist sein Radius? Zuerst rechne, dann konstruiere. C M 4, A F 4,5 B 9 cm Rechnerischer Ansatz: Satz des Pythagoras a² b² c² (4,5 + )² + 4,5² = (9 )² 0, ² + 0,5 = ² ² wegstreichen 40,5 9 ² 8118 ² 7 40,5 1,5 cm - 1 -

15 Wie löst man Sonderfälle von quadratischen Gleichungen? Häufig ist es geschickter und schneller, eine quadratische Gleichung nicht mit Hilfe der p-q-formel zu lösen. Ein Sonderfall liegt z.b. vor, wenn in der Gleichung entweder das lineare oder das konstante Glied fehlt. Man benutzt dann die folgenden Lösungsverfahren: Typ A: 5² 80 = 0 :5 ² isolieren ² 16 = ² = 16 1/ 4 Typ B: 3² + 15 = 0 :3 ² + 5 = 0 ausklammern ( 5) 0 jeden Faktor gleich Null setzen 1 0 ( + 5) = Typ C: ( 4) ( + 7) = 0 jede Klammer gleich Null setzen ( 4) = ( + 7) = Merke: Wenn ein Produkt gleich Null ist, dann ist mindestens einer der Faktoren gleich Null: AB 0 A0 oder B

16 3. Aufgabe Konstruiere einen Rundbogen mit r = 6cm. Er soll die Gestalt eines Halbkreises haben. Über der Basis (1 cm) sollen zwei Halbkreise mit r = 3 cm gezeichnet werden. Der Rundbogen und die beiden Halbkreise werden von einem Innenkreis berührt. Wie groß ist sein Radius? Zuerst rechne, dann konstruiere. M A E 3 F B 1 cm Rechnerischer Ansatz: Satz des Pythagoras a² b² c² (6 - )² + 3² = ( + 3)² 36 1 ² 9 ² = -36 cm ² + 9 wegstreichen Merke: Das rechtwinklige Dreieck wird von den 3 Kreismittelpunkten gebildet

17 Herleitung der Mitternachtsformel Schon bekannt ist die p-q-formel 1/ p p q Die allgemeine quadratische Gleichung lautet: a ² bc 0 :a ² p-q-formel anwenden 1/ 0 a b a c b a b a a c c 4a 4 b a² ² b 1/ a a 4a 1/ 1/ b a b a b² 4a² 4ac b² 4ac a Mitternachtsformel: 1/ b b² 4ac a Achtung: Beim Einsetzen Vorzeichenwechsel!!! Beispiel: 3² 7 0 a 3 b 7 c einsetzen 1/ 1/

18 4. Aufgabe Drei Kreise mit den Radien r 1 = cm, r = 3cm und r 3 = cm berühren sich und sind so angeordnet, dass ihre Mittelpunkte auf einer Geraden liegen. Konstruiere einen 4. Kreis, der die drei Kreise berührt. Hinweis: r 4 = muss berechnet werden. A Radius: = MA M Rechnerischer Ansatz: ( - 3)² + 5² = ( - )² ² 695 ² 4 4 ² wegstreichen - = cm

19 5. Aufgabe Zeichne zwei Kreise mit dem Radius r = 4cm. Diese sollen sich berühren und zwei gemeinsame Tangenten haben. Konstruiere zwei kleine Berührkreise, die die beiden Kreise und jeweils eine Tangente berühren. Wie groß muss der Radius sein? Zuerst rechne, dann konstruiere. M cm Rechnerischer Ansatz: Satz des Pythagoras a² b² c² (4 - )² + 4² = ( + 4)² 16 8 ² 16 ² = cm ² + 16 wegstreichen

20 6. Aufgabe Gotisches Kirchenfenster Konstruiere einen großen Spitzbogen mit R = 1 cm und über der Basis (1 cm) zwei weitere kleine Spitzbögen mit r = 6 cm. Es soll ein Innenkreis konstruiert werden, der alle drei Spitzbögen berührt. Der Berührkreismittelpunkt liegt im Schnittpunkt der beiden gestrichelten Mittellinien

21 CHINESISCH RECHNEN Ne Kl O Z I 1. Beispiel: Nenner weg (3 5) 30 ( 8) kürzen (35) 5 (8) 450 Klammer weg Ordnen Zusammenfassen : 8 Isolieren 0. Beispiel: ( ) Nenner weg 0 ( ) 1 ( ) 3 ( ) kürzen 0 ( ) 1 3 ( ) Klammer weg ² 6 Ordnen 0 3 ² zusammenfassen 3 ² Isolieren 1/ a-b-c-formel

22 1. LÖSE DIE FOLGENDEN BRUCHGLEICHUNGEN [NE KL O Z - I] ( 6) 6 4(1) (113) mit Probe mit Probe 4 6 Ergebnisse: 1) 10 ) 1 3) 6 4) 5) 3 6) 10 7) 7 8) 8 9) 11 10)

23 DIE KLASSENFAHRT Eine Klasse hatte für eine Fahrt 350 gespart. Der Betrag sollte gleichmäßig verteilt werden. Am Tage der Abreise waren aber drei Schüler krank. Dadurch erhöhte sich der Zuschuss für jeden Schüler um 1,50. - Wie viele Schüler hatte die Klasse? Anzahl der Schüler in der Klasse: Anzahl der Schüler, die mitfahren: 3 Zuschuss pro Schüler, wenn alle mitfahren: 350 Zuschuss pro Schüler, wenn 3 Schüler fehlen: [kleiner Zuschuss] [großer Zuschuss] GLEICHUNG kl. Zuschuss Unterschied gr. Zuschuss , 50 3 ( 3) HN 350 ( 3) 1,50 ( 3) 350 Klammern auflösen ,50 ² 4, ,50 ² 4,5 0 neu ordnen 1,50 ² 4, : 1,5 ² p-q-formel anwenden 1/ 1,5, / 1,5 70,5 1/ 1, 5 6, 5 1 1, 5 6, 5 8 Schüler 1, 5 6, 5 5 entfällt - 1 -

24 Die PROBEN nach VIETA [Vieta war französischer Mathematiker und Jurist ] ² ² ² Gleichung in Normalform ² pq (1) () 14 1 Proben nach Vieta p 1 q 1 MERKE: Die Proben gelten nur für die Normalform. Die Summe der Ergebnisse ergibt p mit verkehrtem Vorzeichen. Das Produkt der Ergebnisse ergibt q mit dem richtigen Vorzeichen. Übungen: ² / Mache die Proben. 1 ² / 5 Mache die Proben. 1 ² / 4 Mache die Proben. 1 ² /... Rechne und mache die Proben. 1 ² /... Rechne und mache die Proben. 1 ² /... Rechne und mache die Proben. 1 ² /... Rechne und mache die Proben. 1 Beweise zu den Proben: p p P p p p p² p q q 4 4 ( AB) ( AB) A² - - B² A² B²

25 7. Aufgabe Die Baumeister der Gotik verwendeten zur Gestaltung der Fenster Kreisbögen, wie sie die Abbildung zeigt. Berechne und konstruiere den Mittelpunkt des Innenkreises, der alle vier Kreisbögen berührt. Wähle als Basislänge 8 cm. C A F B 8 cm - 3 -

26 7. Aufgabe Die Baumeister der Gotik verwendeten zur Gestaltung der Fenster Kreisbögen, wie sie die Abbildung zeigt. Berechne und konstruiere den Mittelpunkt des Innenkreises, der alle vier Kreisbögen berührt. Wähle als Basislänge 8 cm. C M h A E F B 8 cm Man benötigt zur Lösung der Aufgabe zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Die beiden Unbekannten sind und h. Die beiden Gleichungen erhält man, indem man den Satz des Pythagoras einmal auf das Dreieck EFM und einmal auf das Dreieck FBM anwendet. (I): 4² h² (8 )² =,4 einsetzen 16 h² (8,4)² (II): ² h² ( )² (-1) 16 h² 5,6² 4² ² (8 )² ( )² 16 h² 31, ² (4 4 ²) h² 15, ² 4 4 ² h 3,9... cm Der Kreis kann nun in die 48 0 Figur eingezeichnet werden.,4 cm - 4 -

27 ÜBERSICHT Berechne jeweils den unbekannten Radius : = 3/8 R = 1/6 R = 1/6 D = 1/4 R = = 3/56 R - 5 -

28 Übersicht Lösungen Klassenarbeiten Blatt Muster KL.A KL.B Figur 1 R ,75 1,875,5 4,5 1,5 3, ,5 3,75 Figur R ,5, , ,33..,66.. Figur 3 D , ,33.. 1, Figur 4 R ,75 1,5 Figur 5 r ,5 4 r 1,5 1, , ,75 1 Figur 6 R 8 4 y 3/7 3/14-6 -

29 Konstruktion eines gotischen Kirchenfensters [SCHÜLERARBEIT] E I C M F A H D G B Konstruktionsbeschreibung Zunächst machen wie eine gerade Linie mit beliebiger Länge und bezeichnen die beiden Enden mit A und B. Anschließend konstruieren wir einen Spitzbogen über dieser Linie, indem wir jeweils um A und B einen Kreis mit dem Radius AB schlagen. Die Kreuzung der beiden Linien ergibt den Punkt C. Dann wird die Strecke AB halbiert und man erhält den Mittelpunkt D. Stechen wir bei Punkt D ein und ziehen mit dem Radius AB einen Kreis, dann finden wir auf der Verlängerung von Linie a den Kreuzungspunkt E. Stechen wir nun bei E ein und ziehen einen Kreis mit dem Radius AB, so erhalten wir die Schnittpunkte F und G. Jetzt haben wir ein sogenanntes krummliniges Dreieck. Es besteht aus den Punkten F, C und G. Nun wollen wir den Winkel in diesem Dreieck im Punkt G halbieren. Dazu stechen wir bei G ein und schlagen, mit dem Radius GC einen Kreis. Dieser schneidet den Kreisbogen GF im Punkt H. Um H und C schlagen wir nun jeweils einen Kreis mit den Radius GC. Diese Kreise schneiden sich in dem Punkt I. verbindet man nun I mit G, hat man die Winkelhalbierende und sogleich einen Punkt auf der Linie a (dies ist der Punkt M). Sticht man dort ein und zieht einen Kreis mit dem Radius MD, hat man einen Kreis der den Spitzbogen an seinen Seiten berührt. Damit ist die Aufgabe gelöst

30 Konstruktionsbegründung Als Ausgangsform haben wir eine Kämpferlinie AB und einen darauf stehenden Spitzbogen, mit der Spitze C. Der Kreis, den wir konstruieren wollten, soll die Linie AB und die krummen Linien AC und BC als Tangente berühren. Wenn wir nun die krumme Linie GF konstruieren, haben wir ein krummliniges Dreieck. Halbiert man nun einen der Winkel (. zb. FGC), so erhält man die Winkelhalbierende, die gleichzeitig auch die krumme Linie FC halbiert. Sie geht aus Symmetriegründen genau durch die Mitte der Form. Die Linie CD ist eine Winkelhalbierende und schneidet sich mit der anderen Winkelhalbierenden in M, dem Mittelpunkt des gesuchten Kreises. Dies alles würde nicht funktionieren, wenn die 3 krummen Linien, die den Aufbau bestimm, nicht den gleichen Radius hätten