Mathematik I (MATHE1) Klausuren lineare Algebra & analytische Geometrie

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1 Mathematik I (MATHE1) Klausuren lineare Algebra & analytische Geometrie Prof. Dr. Thomas Risse Fakultät Elektrotechnik & Informatik Hochschule Bremen WS 2012 Inhaltsverzeichnis 1 Klausur MATH1 WS12w 2 2 Klausur MATH1 WS12 7 Aufgaben und zugehörige Lösungen sind wechselseitig verzeigert. 1

2 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 2 1 Klausur MATH1 WS12w Wiederholer-MATHE1-Klausur Name lineare Algebra und analytische Geometrie Matrikel Taschenrechner sind nicht zugelassen! Es ist ausschließlich ein eigener, handschriftlicher DIN A4 Spickzettel zugelassen! Bloß keine halben Sachen! Leserlich! 1. Konstruieren Sie 7 auf dem Zahlenstrahl mit Beschreibung! Hausaufgaben Bestimmen Sie tan π analytisch und geometrisch. Hausaufgaben 10./ Skizzieren Sie M = {e ig2π/8 : g Z} C. Geben Sie alle Elemente von M Hausaufgaben exakt und so einfach wie möglich an. ( ) ( ) ( ) x x y 4. Gegeben die Matrix-Transformation f( ) = y 1 x = T 2 x + y y Bestimmen Sie die Transformationsmatrix T und charakterisieren Sie die Abbildung f : R 2 R Hausaufgaben ff 5. Gegeben die Ebene p(s, t) = (1, 0, 1) + s(1,, 5) t(2, 4, 6) im Raum. In Hausaufgaben der Computer-Graphik sind für s rendering die Normalen-Vektoren wichtig Bestimmen Sie beide normierte Normalen-Vektoren der Ebene. 6. Geben Sie die Gleichung des kubischen Polynoms durch die vier Punkte Hausaufgaben p 1 = ( 1, 4), p 2 = (0, 4), p = (1, 8) und p 4 = (2, 10) in der Ebene ff an. 7. Geben Sie die Gleichung der Tangenten an die Ellipse um (x M, y M ) mit Hausaufgaben Achsen-parallelen Halbachsen a und b in (x B ) in einer Parameter-Darstellung an. (2 Pkt) 8. Sei AB der Durchmesser eines Halb-Kreises, C liege auf dem Halb-Kreis. Hausaufgaben Zeigen Sie: das Dreieck (ABC) ist rechtwinklig. 9. Verifizieren Sie die Parameter-Darstellung der Hyperbel. Hausaufgaben 10. Hyperbeln sind Ortslinien welcher Art? (1 Pkt) Hausaufgaben 11. In welchem Körper (Z p, +, ) mit der Addition und Multiplikation modulo Hausaufgaben p für primes p gilt 2 7 = 1? (1 Pkt) 12. Sei C ein linearer [n, k, d] Code über F mit Generator-Matrix G. Charak- Hausaufgaben 16./ terisieren Sie G. (Summe 24 Punkte)

3 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik Wiederholer-MATH1-Klausur Lösungen lineare Algebra und analytische Geometrie Konstruieren Sie 7 auf dem Zahlenstrahl mit Beschreibung! Hausaufgaben Offensichtlich gilt ( 7) 2 = ( 6) = (( 2) ) Man konstruiert zunächst 6 als Hypotenuse des rechtwinkligen Dreieckes mit Katheten 2 und 2 und danach 7 als Hypotenuse des rechtwinkligen Dreieckes mit Katheten 6 und 1. Man kann auch konstruieren und dann 7 2 = nutzen. Beide Vorgehensweisen sind effizienter, als nacheinander 2,, 4, 5, 6 und endlich 7 zu konstruieren. 2. Bestimmen Sie tan π analytisch und geometrisch. Hausaufgaben 10./ Einerseits gilt analytisch tan π = sin π = /2 =. cos π 1/2 Spiegelt man das Dreieck (OP Q) an der Seite P Q, so ergibt sich ein π gleichseitiges (drei Winkel ) Dreieck (ORQ) mit Seitenlänge OR = 2 OP = 2. Für dessen Höhe h = P Q = tan π gilt 12 + h 2 = 2 2 per Pythagoras. Geometrisch gilt also andererseits ebenfalls tan π =.. Skizzieren Sie M = {e ig2π/8 : g Z} C. Geben Sie alle Elemente von M Hausaufgaben exakt und so einfach wie möglich an. Die n-ten Einheitswurzeln liegen auf dem Einheitskreis in der komplexen Zahlenebene. Sie bilden die Eckpunkte des einbeschriebenen regelmäßigen n-eckes mit einem Eckpunkt in 1 + 0i R C.

4 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 4 M = {e ig2π/8 : g Z} = {cos gπ + i sin gπ : g = 0, 1,..., 7} = {1 + 0i, i 2, i, 2 + i, 1 + 0i, 2 i 2, 0 i, 2 i 2 } = {±1 + 0i, ± 2 ± i 2, 0 + ±i}. 2 ( ) ( ) ( ) x x y 4. Gegeben die Matrix-Transformation f( ) = y 1 x = T 2 x + y y Bestimmen Sie die Transformationsmatrix T und charakterisieren Sie die Abbildung f : R 2 R 2. ( ) ( ) ( ) ( 1 Mit T = 1 x x x gilt f( ) = T = 2 1 y y 1 y ). Es handelt 2 x + y sich um eine Rotation um den Ursprung mit dem Rotationswinkel π.. Hausaufgaben ff 5. Gegeben die Ebene p(s, t) = (1, 0, 1) + s(1,, 5) t(2, 4, 6) im Raum. In Hausaufgaben der Computer-Graphik sind für s rendering die Normalen-Vektoren wichtig Bestimmen Sie beide normierte Normalen-Vektoren der Ebene. Die normierten Normalen-Vektoren sind u 1,2 = ± v w mit den beiden v w Richtungsvektoren v = (1,, 5) und w = (2, 4, 6). Dann gilt v w = e x e y e z 1 5 = ( 2, 4, 2) und v w = = 24 = 2 6, so daß zusammen u 1,2 = ±1 6 ( 1, 2, 1) = ± 6( 1, 2, 1) folgt Geben Sie die Gleichung des kubischen Polynoms durch die vier Punkte Hausaufgaben p 1 = ( 1, 4), p 2 = (0, 4), p = (1, 8) und p 4 = (2, 10) in der Ebene ff an. Der Ansatz p(x) = ax + bx 2 + cx + d und p 2 liefert p(0) = 4 und damit d = 4. Bleibt das System a + b c 4 = 4 a + b + c 4 = 8 8a + 4b + 2c 4 = 10 von drei linearen Gleichungen in den Unbekannten a, b und c zu lösen. Gauß liefert

5 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 5 a + b c = 0 a + b + c = 4 8a + 4b + 2c = 6 sowie a + b c = 0 2b + 0 = 4, was in der zweiten Gleichung 12b 6c = 6 b = 2, in der dritten Gleichung c = und in der ersten Gleichung a = 1 impliziert. Führe für p(x) = x 2x 2 x 4 eine Probe durch! 7. Geben Sie die Gleichung der Tangenten an die Ellipse um (x M, y M ) mit Hausaufgaben Achsen-parallelen Halbachsen a und b in (x B ) in einer Parameter-Darstellung an. (2 Pkt) Die Tangenten-Gleichung lautet (x x M )(x B x M ) + (y y a 2 M )(y B x M ) = 1 oder b 2 aufgelöst y y B y M = y b 2 M (y B y M ) + 1 x x b 2 B x M + x a 2 M (x B x M ) bzw. eben y = a 2 y M + b2 y B y (1 x x B x M + x M a 2 M (x B x M ) a ) mit Steigung m = b2 x x B x M 2 a 2 M. Ein y B y M Richtungsvektor ist also r = (1, m). Die Tangente verläuft durch (x B ). Ein Stützvektor ist also p o = (x B ). Eine Parameter-Darstellung ist somit p(t) = p o + tr = (x B ) + t (1, m) für t R. 8. Sei AB der Durchmesser eines Halb-Kreises, C liege auf dem Halb-Kreis. Hausaufgaben Zeigen Sie: das Dreieck (ABC) ist rechtwinklig.

6 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 6 Da die Strecken MA, MB und MC Radien sind, sind die beiden Dreiecke (AM C) und (CM B) gleichschenklig. Also gilt für die jeweiligen Spitzenwinkel in M eben γ = π 2α sowie δ = π 2β. Addieren der beiden Gleichungen liefert π = γ + δ = 2π 2α 2β und Auflösen α + β = π 2. Das Dreieck (ABC) hat also einen rechten Winkel in C. (a cosh t)2 a 2 (b sinh t)2 b 2 9. Verifizieren Sie die Parameter-Darstellung der Hyperbel. Hausaufgaben ( ) a cosh t Es ist zu zeigen, daß alle Punkte p(t) = der Parameter-Dar- b sinh t stellung die Hyperbel-Gleichung erfüllen, d.h. = 1 cosh 2 t sinh 2 t = 1, was wegen cosh 2 t sinh 2 t = 1 4 (et +e t ) (et e t ) 2 = 1 4((e 2t e 2t ) (e 2t 2 + e 2t )) = 1 ja auch zutrifft. 10. Hyperbeln sind Ortslinien welcher Art? (1 Pkt) Hausaufgaben Hyperbeln sind die Ortslinie aller Punkte, deren Abstände von zwei gegebenen Brennpunkte eine vorgegebene Differenz aufweisen. 11. In welchem Körper (Z p, +, ) mit Addition und Multiplikation modulo p Hausaufgaben für primes p gilt 2 7 = 1? (1 Pkt) Wegen 2 7 = 14 = 1 mod p muß p < 14 sein. Man probiert aus: 14 mod 2 = 0, 14 mod = 2, 14 mod 5 = 4, 14 mod 7 = 0, 14 mod 11 = und endlich 14 mod 1 = 1. Also ist p = Sei C ein linearer [n, k, d] Code über F mit Generator-Matrix G. Charak- Hausaufgaben 16./ terisieren Sie G. Die Generator-Matrix G von C ist eine k n-matrix mit Elementen aus F. Die Zeilen von G stellen eine Basis des k-dimensionalen Unterraumes C von F n dar und es gilt C = F k G. (Summe 24 Punkte)

7 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 7 2 Klausur MATH1 WS12 MATHE1-Klausur lineare Algebra und analytische Geometrie Name Matrikel Taschenrechner sind nicht zugelassen! Ausschließlich Spickzettel zugelassen! Bloß keine halben Sachen! Leserlich! Es sind mindestens 12 Punkte zu erreichen! 1. Konstruieren Sie auf dem Zahlenstrahl mit Beschreibung! Hausaufgaben , , Skizzieren Sie M = {e ig2π/6 : g Z} C. Geben Sie die Elemente von M Hausaufgaben exakt und so einfach wie möglich an ) ) ( ( x x. Die Abbildung f : R 2 R 2 mit f( ) = ist eine Matrix-Transfory y mation. Bestimmen Sie die Transformationsmatrix. (1 Pkt) Hausaufgaben ff 4. Geben Sie die beiden zu v = (1, 2, ) R und w = (4, 5, 6) R senkrech- Hausaufgaben ten Einheitsvektoren u 1,2 an. 5. Geben Sie die Gleichung der Parabel durch die drei Punkte p 1 = ( 1, 6), Hausaufgaben ff p 2 = (1, 2) und p = (2, 9) in der Ebene an. x y 1 6. Zeigen Sie: x 1 y 1 1 = 0 ist die Gleichung der Geraden durch die beiden Hausaufgaben x 2 y Punkte (x 1, y 1 ) und (x 2, y 2 ) in der Ebene. 7. Geben Sie die Gleichung der Tangenten an den Kreis um (x M, y M ) mit Hausaufgaben Radius r in (x B ) in einer Parameter-Darstellung an. 8. Bestimmen Sie die Gleichung der Mittelsenkrechten der Strecke von p 1 = Hausaufgaben (x 1, y 1 ) nach p 2 = (x 2, y 2 ). 9. Parabeln sind Ortslinien welcher Art? (1 Pkt) Hausaufgaben, Welche Elemente hat Z 6 und warum ist (Z 6, +, ) mit der Addition und Hausaufgaben Multiplikation modulo 6 kein Körper? 11. Sei C der [n, n 1, d] Parity-Code über F = GF. Bestimme d. Hausaufgaben (Summe 22 Punkte)

8 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 8 MATH1-Klausur Lösungen lineare Algebra und analytische Geometrie Konstruieren Sie auf dem Zahlenstrahl mit Beschreibung! Hausaufgaben , , Offensichtlich ist 2 = = = Wenn man also einmal als Diagonale des Einheitsquadrates konstruiert hat, ergibt sich als Hypotenuse zu den beiden Katheten 1 und Skizzieren Sie M = {e ig2π/6 : g Z} C. Geben Sie die Elemente von M Hausaufgaben exakt und so einfach wie möglich an. Die n-ten Einheitswurzeln liegen auf dem Einheitskreis in der komplexen Zahlenebene. Sie bilden die Eckpunkte des einbeschriebenen regelmäßigen n-eckes mit einem Eckpunkt in 1 + 0i R C. {e ig2π/6 : g Z} = {cos gπ + i sin gπ : g = 0, 1, 2,, 4, 5} = {1 + 0i, i, 1 + i, 1 + i0, 1 i, 1 i } = {±1 + 0i, ± 1 ± i } ( ) ( ) x x. Die Abbildung f : R 2 R 2 mit f( ) = ist eine Matrix-Transfory y mation. Bestimmen Sie die Transformationsmatrix. (1 Pkt) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 x x 1 0 x x Mit T = gilt f( ) = T = =. 0 1 y y 0 1 y y Hausaufgaben ff 4. Geben Sie die beiden zu v = (1, 2, ) R und w = (4, 5, 6) R senkrech- Hausaufgaben ten Einheitsvektoren u 1,2 an. e x e y e z u 1,2 = ± v w mit v w = 1 2 = (, 6, ) und v w = v w = 54 = 6, so daß u1,2 = ±1 6 ( 1, 2, 1) = ± 6( 1, 2, 1) 6 folgt.

9 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 9 5. Geben Sie die Gleichung der Parabel durch die drei Punkte p 1 = ( 1, 6), Hausaufgaben ff p 2 = (1, 2) und p = (2, 9) in der Ebene an. Der Ansatz p(x) = ax 2 + bx + c liefert das System a b + c = 6 a + b + c = 2 4a + 2b + c = 9 von drei linearen Gleichungen in den Unbekannten a, b und c. Gauß liefert a b + c = 6 2b + 0 = 4 6b c = 15 a =. sowie a b + c = 6 2b + 0 = 4. Auflösen liefert c = 1, b = 2 und c = Probe! x y 1 6. Zeigen Sie: x 1 y 1 1 = 0 ist die Gleichung der Geraden durch die beiden Hausaufgaben x 2 y Punkte (x 1, y 1 ) und (x 2, y 2 ) in der Ebene. x y 1 x 1 y 1 1 = 0 x(y 1 y 2 ) y(x 1 x 2 ) + x 1 y 2 x 2 y 1 = 0 x 2 y 2 1 x 2 y 1 + x 1 y 1 + x 1 y 2 x 1 y 1 = (y 2 y 1 )x (x 2 x 1 )y (x 2 x 1 )y 1 + (y 2 y 1 )x 1 = (y 2 y 1 )x (x 2 x 1 )y (x 2 x 1 )(y y 1 ) = (y 2 y 1 )(x x 1 ) y y 1 x x 1 = y 2 y 1 x 2 x 1, also die Zwei-Punkte-Form der Geraden durch (x 1, y 1 ) und (x 2, y 2 ). 7. Geben Sie die Gleichung der Tangenten an den Kreis um (x M, y M ) mit Hausaufgaben Radius r in (x B ) in einer Parameter-Darstellung an. Die Tangente p(t) verläuft durch (x B ) und ihre Richtungsvektoren r stehen senkrecht auf dem Verbindungsvektor (x B x M y M ), d.h. z.b. r = (y M y B, x B x M ), so daß p(t) = (x B ) + t r für t R folgt. 8. Bestimmen Sie die Gleichung der Mittelsenkrechten der Strecke von p 1 = Hausaufgaben (x 1, y 1 ) nach p 2 = (x 2, y 2 ).

10 Th. Risse, HSB: Klausuren zur Mathematik 10 Mittelpunkt p o der Strecke von p 1 = (x 1, y 1 ) nach p 2 = (x 2, y 2 ) ist p o = (x o, y o ) = 1(p 2 1 +p 2 ) = 1(x 2 1 +x 2, y 1 +y 2 ). Einer ihrer Richtungsvektoren ist r = p 2 p 1 = (x 2 x 1, y 2 y 1 ). Dann steht beispielsweise der Vektor n = (y 1 y 2, x 2 x 1 ) senkrecht auf r. Der Normalen-Vektor n hat die Steigung m = x 2 x 1 y 1 y 2. Laut Punkt-Steigungsformel gilt dann y yo x x o = m = x 2 x 1 y 1 y 2 für die Mittelsenkrechte. 9. Parabeln sind Ortslinien welcher Art? (1 Pkt) Hausaufgaben, Parabeln sind die Ortslinie aller Punkte, die von einem gegebenen Brennpunkt und von einer gegebenen Leitlinie jeweils denselben Abstand haben. 10. Welche Elemente hat Z 6 und warum ist (Z 6, +, ) mit der Addition und Hausaufgaben Multiplikation modulo 6 kein Körper? Z 6 = {0, 1, 2,, 4, 5} hat also sechs Elemente. (Z 6, +, ) ist kein Körper, weil die Multiplikation auf Z 6 = {1, 2,, 4, 5} nicht abgeschlossen ist: es gilt nämlich 2 = 6 = 0 Z 6 für 2, Z Sei C der [n, n 1, d] Parity-Code über F = GF. Bestimme d. Hausaufgaben Man zählt etwa alle c C auf und bestimmt d = min{w(c) : 0 c C}. Nun gilt c = (u, p) mit Parity-Ziffer p = n 1 i=1 u i für u = (u 1,..., u n 1 ) GF n 1. Nun ist w(c) minimal ist, wenn das Gewicht w(u) minimal ist, also w(u) = 1, d.h. u = (0,..., 0, u io, 0,..., 0) GF n 1 mit u io 0, so daß p = u io 0 und damit w(c) = 2 folgt. Insgesamt gilt also d = 2. (Summe 22 Punkte)