Originalklausur Abitur Mathematik

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1 Originalklausur Abitur Mathematik Bundesland: Nordrhein-Westfalen Jahrgang: 2009 Die Musterlösung zu dieser und über 100 weiteren Originalklausuren ab dem Abiturjahrgang 2006 finden Sie im Download-Center auf in der Rubrik Prüfungstraining Abitur. Das Passwort steht in der assenden Buchausgabe am Ende des Inhaltsverzeichnisses und auf der Imressumseite. Die Veröffentlichung der Prüfungsaufgaben erfolgt mit der Genehmigung des zuständigen Kultusministeriums. Duden Prüfungstraining Abitur otimal vorbereitet! Viele Trainingsaufgaben mit ausführlichen Lösungen Über 100 Originalklausuren der Jahrgänge 2006 bis 2009 aus 6 Bundesländern mit Musterlösungen Für die Fächer Deutsch, Englisch, Mathematik, Biologie und Geschichte

2 M LK HT 1 Seite 1 von 3 Abiturrüfung 2009 Mathematik, Leistungskurs Aufgabenstellung Die Höhe eines Strauches in den ersten zwanzig Tagen nach dem Ausflanzen wird durch 0,1 t 0,9 die Funktion h mit ht ( ) = 0,2 e (t in Tagen, ht () in Metern) beschrieben. Diese Pflanze hat zum Zeitunkt des Ausflanzens eine Höhe von 8 cm und ist am Ende des 20. Tages ( t = 20) auf eine Höhe von etwa 60 cm gewachsen. Vom Beginn des 21. Tages an verringert sich die Wachstumsgeschwindigkeit des Strauches. Von diesem Zeitunkt an ist nur noch die Zuwachsrate bekannt, sie wird beschrieben durch die Funktion z mit 0,1 t + 3,1 z ( t) = 0,02 e. a) Berechnen Sie, zu welchem Zeitunkt der Strauch eine Höhe von 50 cm hat. (5 Punkte) b) Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitunkt innerhalb der ersten zwanzig Tage (0 t 20), an dem die Pflanze am schnellsten wächst. Berechnen Sie die zugehörige Wachstumsgeschwindigkeit. Begründen Sie, warum die angegebene Funktion h nur für einen begrenzten Zeitraum die Höhe der Pflanze beschreiben kann. (11 Punkte) c) Ermitteln Sie einen Term h () 2 t, der die Höhe des Strauches nach t Tagen ( t > 20) beschreibt. Begründen Sie anhand dieses Terms, dass der Strauch nicht beliebig hoch wird, und geben Sie die maximale Höhe des Strauches an. [Zur Kontrolle: h t e t > ] (10 Punkte) 0,1 t+ 3,1 2 () 1,2 0,2, 20

3 M LK HT 1 Seite 2 von 3 Die Abbildung 1 auf Blatt 3 zeigt den Grahen, der die Höhe des Strauches in Metern in Abhängigkeit von der Zeit t in Tagen beschreibt. Er ist aus den Funktionen h (0 < t 20) und h 2 ( t > 20) zusammengesetzt. d) Eine Funktion f soll nun die Pflanzenhöhe für den gesamten Zeitraum, also über die ersten zwanzig Tage hinaus, möglichst zutreffend modellieren. (1) Da der Strauch nicht höher als ungefähr 1,2 m wird, muss die Modellfunktion beschränkt sein. Zunächst wird eine Modellfunktion vom Ty f 1 mit f 1 kt () t = G c e gewählt. Dabei ist G mit G = 1,2 die obere Grenze, die die Höhe der Pflanze auf lange Sicht nicht überschreitet. Bestimmen Sie die Parameter c und k so, dass der Strauch beim Ausflanzen und am 20. Tag die beobachteten Höhen von 0,08 m bzw. von 0,60 m besitzt. (2) Ein alternativer Ansatz führt zu einer Modellfunktion f 2 mit 0,096 f () t = 0,08 1,12 2 0,132 t + e. Berechnen Sie die Höhen des Strauches zum Zeitunkt t = 0 und t = 20 und vergleichen Sie diese mit den tatsächlichen Werten. Zeigen Sie, dass die mit der Modellfunktion f 2 beschriebene Pflanzenhöhe den Wert 1,2 m tatsächlich nicht überschreitet. (3) Begründen Sie anhand des Krümmungsverhaltens, welche der beiden Modellfunktionen f 1 und f 2 eher geeignet ist, die Strauchhöhe (s. Abbildung 1) in Metern in Abhängigkeit von der Zeit in Tagen zu beschreiben (vgl. Abbildungen 1, 2 und 3 auf Blatt 3). (4) Beschreiben Sie ein Verfahren zur Berechnung der größten Differenz zwischen einer (differenzierbaren) Modellfunktion f und der Funktion h im Intervall [0;20]. (24 Punkte)

4 M LK HT 1 Seite 3 von 3 Abbildung 1: Strauchhöhe h (einschließlich h 2 ) in Metern in Abhängigkeit von der Zeit t in Tagen Abbildung 2: Modellfunktion f 1 zur Beschreibung der Strauchhöhe in Metern in Abhängigkeit von der Zeit t in Tagen Abbildung 3: Modellfunktion f 2 zur Beschreibung der Strauchhöhe in Metern in Abhängigkeit von der Zeit t in Tagen Zugelassene Hilfsmittel: Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

5 M LK HT 5 Seite 1 von 2 Abiturrüfung 2009 Mathematik, Leistungskurs Aufgabenstellung 2 In der Ebene IR sei Z ein Punkt mit dem Ortsvektor x Z, und k sei eine ositive reelle Zahl. Dann heißt die Abbildung f eine zentrische Streckung mit dem Zentrum Z und dem Streckfaktor k, wenn für alle x 2 IR f x x = k x x. gilt: ( ) ( ) Z a) Gegeben ist die zentrische Streckung f 1 mit dem Zentrum Z 1 (3 4) und dem Streckfaktor k 1 = (1) Zeigen Sie, dass die Abbildung f 1 durch f1 ( x) = x+ beschrieben wird. (2) Berechnen Sie bezüglich der Abbildung f 1 die Koordinaten der Bildunkte A und B der Punkte A( 1 3) und B (4 0). [Zur Kontrolle: A ( 9 1), B (6 8) ] Z (3) Zeigen Sie, dass Z 1 der einzige Punkt ist, der durch f 1 auf sich selbst abgebildet wird. (4) Zeigen Sie, dass die Gleichung in der obigen Definition einer zentrischen Streckung k 0 äquivalent ist zu f ( x) = x+ ( 1 k) x Z 0 k. (13 Punkte) b) (1) Untersuchen Sie die Lagebeziehung der Geraden g AB und g AB. (2) Berechnen Sie anschließend den Flächeninhalt des Vierecks ABBA. (11 Punkte)

6 M LK HT 5 Seite 2 von 2 c) Es seien P und Q verschiedene Punkte. P und Q seien ihre Bildunkte bezüglich der Abbildung f 1. M 1 beziehungsweise M 2 sei der Mittelunkt von PQ bzw. P Q. (1) Zeigen Sie, dass die Abbildung f 1 den Punkt M 1 auf den Punkt M 2 abbildet. Eine Gerade heißt Fixgerade der Abbildung f 1, wenn sie durch f 1 auf sich selbst abgebildet wird. (2) Beweisen Sie, dass die Menge aller Fixgeraden der Abbildung f 1 aus den Geraden durch das Zentrum Z 1 besteht. (12 Punkte) d) Gegeben ist die zentrische Streckung f 2 mit dem Zentrum Z ( 2 4) 2 und dem Streckfaktor k 2 = 0,5. Wendet man zuerst die Abbildung f 1 und dann die Abbildung f 2 an, so erhält man die Verkettung f 2 f 1 der beiden Abbildungen. (1) Bestimmen Sie die Gleichungen von f 2 f 1 und f 1 f 2 in Matrixform. 1,5 0 4 [Zur Kontrolle: ( f2 f1)( x) = x+ ] 0 1,5 2 (2) Prüfen Sie, ob f 1 f 2 = f 2 f 1 gilt. (3) Zeigen Sie, dass f 2 f 1 eine zentrische Streckung ist. Ermitteln Sie die Koordinaten des Zentrums und den Streckfaktor von f 2 f 1. (14 Punkte) Zugelassene Hilfsmittel: Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

7 Seite 1 von 8 Abiturrüfung 2009 Mathematik, Leistungskurs Aufgabenstellung Die folgende Tabelle zeigt die Häufigkeit der Blutgruen in Deutschland in Prozent. Blutgrue A 0 B AB Rh Rh Quelle: Wikiedia.org/wiki/Blutgruen Die Universitätsklinik einer deutschen Großstadt ruft zur Blutsende auf. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass (1) von 90 Sendern höchstens zwei die Blutgrue A Rh besitzen, (2) von 100 Sendern mindestens 5 die Blutgrue AB besitzen. (8 Punkte) b) Ermitteln Sie die Anzahl der Sender, die benötigt werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens einmal die seltene Blutgrue AB Rh zu erhalten. (7 Punkte)

8 Seite 2 von 8 c) Vor der Einlagerung müssen die Blutkonserven im sog. PCR-Verfahren auf HIV-Erreger untersucht werden. Da dieser Test sehr kostsielig ist, werden die Sender in Gruen von je k Personen eingeteilt. Dann wird zunächst jeweils ein Gemisch aus dem Blut der Personen einer Grue hergestellt; anschließend werden diese Gemische untersucht. Nur bei denjenigen Gruen, bei denen Erreger der Infektionskrankheit gefunden werden, wird anschließend das Blut jeder Einzelerson getestet. Der Anteil HIV-infizierter Personen unter den Blutsendern beträgt in der Bundesreublik 0,07 %. Die Zufallsgröße X bezeichne die Anzahl der erforderlichen Untersuchungen, die bei einer Grue von k Personen durchgeführt werden müssen. (1) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. (2) Ermitteln Sie, wie viele Untersuchungen sich in Abhängigkeit von der Gruengröße k erwartungsgemäß ro Person durch den Gruentest gegenüber der Einzeluntersuchung einsaren lassen. k [Zur Kontrolle: Die Ersarnis beträgt Gk ( ) = 0,9993 1/ k.] (3) Berechnen Sie die mögliche Ersarnis ro Person bei einer Gruengröße von 40 Personen gegenüber der Einzeluntersuchung. (14 Punkte) d) Es ist bekannt, dass in Euroa der Anteil der Personen mit Blutgrue B zwischen 10 % und 20 % schwankt. In einer bestimmten euroäischen Region soll der Bevölkerungsanteil mit der Blutgrue B bestimmt werden. Ermitteln Sie den Umfang, den die Stichrobe haben muss, damit der Anteil an Personen mit Blutgrue B in der Stichrobe mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % um höchstens 0,05 vom tatsächlichen Anteil der Grundgesamtheit abweicht. (11 Punkte) e) Bei einer Untersuchung an einer euroäischen Klinik wurde unter 200 Personen bei 17 die Blutgrue B festgestellt. Untersuchen Sie, für welche Werte des tatsächlichen (unbekannten) Anteils von Personen mit der Blutgrue B das Ergebnis der Untersuchung um höchstens 2 σx vom Erwartungswert μ X abweicht. (10 Punkte)

9 Seite 3 von 8 Zugelassene Hilfsmittel: Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Tabelle 1: σ-regeln für Binomialverteilungen Eine mit den Parametern n und binomialverteilte Zufallsgröße X hat den Erwartungswert μ = n und die Standardabweichung σ= n (1 ). Wenn die LAPLACE-Bedingung σ> 3 erfüllt ist, gelten die σ-regeln: P( μ σ< X <μ +σ) 0,683 P( μ 1,64σ< X <μ + 1,64 σ) 0,90 P( μ 2σ< X <μ + 2 σ) 0,954 P( μ 1,96σ< X <μ + 1,96 σ) 0,95 P( μ 3σ< X <μ + 3 σ) 0,997 P( μ 2,58σ< X <μ + 2,58 σ) 0,99

10 Seite 4 von 8 Tabelle 2: Kumulierte Binomialverteilung für n = 10 und n = 20 n n Fnk ( ; ; ) = Bn ; ; Bnk ; ; = k 0 n 0 k ( ) ( ) ( ) ( ) n k 0,02 0,05 0,1 0,2 0,25 0,3 0,5 n 0 0,8171 0,5987 0,3487 0,1074 0,0563 0,0282 0, ,9838 0,9139 0,7361 0,3758 0,2440 0,1493 0, ,9991 0,9885 0,9298 0,6778 0,5256 0,3828 0, ,9990 0,9872 0,8791 0,7759 0,6496 0, ,9999 0,9984 0,9672 0,9219 0,8497 0, ,9999 0,9936 0,9803 0,9527 0, ,9991 0,9965 0,9894 0, ,9999 0,9996 0,9984 0, ,9999 0, Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1, , ,6676 0,3585 0,1216 0,0115 0,0032 0,0008 0, ,9401 0,7358 0,3917 0,0692 0,0243 0,0076 0, ,9929 0,9245 0,6769 0,2061 0,0913 0,0355 0, ,9994 0,9841 0,8670 0,4114 0,2252 0,1071 0, ,9974 0,9568 0,6296 0,4148 0,2375 0, ,9997 0,9887 0,8042 0,6172 0,4164 0, ,9976 0,9133 0,7858 0,6080 0, ,9996 0,9679 0,8982 0,7723 0, ,9999 0,9900 0,9591 0,8867 0, ,9974 0,9861 0,9520 0, ,9994 0,9961 0,9829 0, ,9999 0,9991 0,9949 0, ,9998 0,9987 0, ,9997 0, , , , Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1, , n 0,98 0,95 0,9 0,8 0,75 0,7 0,5 k n Bei grau unterlegtem Eingang, d. h. 0,5, gilt: Fnk ( ; ; ) = 1 abgelesener Wert n k

11 Seite 5 von 8 Tabelle 3: Kumulierte Binomialverteilung für n = 50 n n Fnk ( ; ; ) = Bn ; ; Bnk ; ; = k 0 n 0 k ( ) ( ) ( ) ( ) n k 0,02 0,05 0,1 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5 n 0 0,3642 0,0769 0,0052 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,7358 0,2794 0,0338 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,9216 0,5405 0,1117 0,0013 0,0001 0,0000 0,0000 0, ,9822 0,7604 0,2503 0,0057 0,0005 0,0000 0,0000 0, ,9968 0,8964 0,4312 0,0185 0,0021 0,0002 0,0000 0, ,9995 0,9622 0,6161 0,0480 0,0070 0,0007 0,0000 0, ,9999 0,9882 0,7702 0,1034 0,0194 0,0025 0,0000 0, ,9968 0,8779 0,1904 0,0453 0,0073 0,0001 0, ,9992 0,9421 0,3073 0,0916 0,0183 0,0002 0, ,9998 0,9755 0,4437 0,1637 0,0402 0,0008 0, ,9906 0,5836 0,2622 0,0789 0,0022 0, ,9968 0,7107 0,3816 0,1390 0,0057 0, ,9990 0,8139 0,5110 0,2229 0,0133 0, ,9997 0,8894 0,6370 0,3279 0,0280 0, ,9999 0,9393 0,7481 0,4468 0,0540 0, ,9692 0,8369 0,5692 0,0955 0, ,9856 0,9017 0,6839 0,1561 0, ,9937 0,9449 0,7822 0,2369 0, ,9975 0,9713 0,8594 0,3356 0, ,9991 0,9861 0,9152 0,4465 0, ,9997 0,9937 0,9522 0,5610 0, ,9999 0,9974 0,9749 0,6701 0, ,9990 0,9877 0,7660 0, ,9996 0,9944 0,8438 0, ,9999 0,9976 0,9022 0, ,9991 0,9427 0, ,9997 0,9686 0, ,9999 0,9840 0, ,9924 0, ,9966 0, ,9986 0, ,9995 0, ,9998 0, ,9999 0, , , Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1,0000 0, , n 0,98 0,95 0,9 0,8 0,75 0,7 0,6 0,5 k n Bei grau unterlegtem Eingang, d. h. 0,5, gilt: Fnk ( ; ; ) = 1 abgelesener Wert n k

12 Seite 6 von 8 Tabelle 4: Kumulierte Binomialverteilung für n = 100 n k 0,02 0,05 0,1 1/6 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5 n 0 0,1326 0,0059 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,4033 0,0371 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,6767 0,1183 0,0019 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,8590 0,2578 0,0078 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,9492 0,4360 0,0237 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,9845 0,6160 0,0576 0,0004 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,9959 0,7660 0,1172 0,0013 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,9991 0,8720 0,2061 0,0038 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,9998 0,9369 0,3209 0,0095 0,0009 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,9718 0,4513 0,0213 0,0023 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,9885 0,5832 0,0427 0,0057 0,0001 0,0000 0,0000 0, ,9957 0,7030 0,0777 0,0126 0,0004 0,0000 0,0000 0, ,9985 0,8018 0,1297 0,0253 0,0010 0,0000 0,0000 0, ,9995 0,8761 0,2000 0,0469 0,0025 0,0001 0,0000 0, ,9999 0,9274 0,2874 0,0804 0,0054 0,0002 0,0000 0, ,9601 0,3877 0,1285 0,0111 0,0004 0,0000 0, ,9794 0,4942 0,1923 0,0211 0,0010 0,0000 0, ,9900 0,5994 0,2712 0,0376 0,0022 0,0000 0, ,9954 0,6965 0,3621 0,0630 0,0045 0,0000 0, ,9980 0,7803 0,4602 0,0995 0,0089 0,0000 0, ,9992 0,8481 0,5595 0,1488 0,0165 0,0000 0, ,9997 0,8998 0,6540 0,2114 0,0288 0,0000 0, ,9999 0,9369 0,7389 0,2864 0,0479 0,0001 0, ,9621 0,8109 0,3711 0,0755 0,0003 0, ,9783 0,8686 0,4617 0,1136 0,0006 0, ,9881 0,9125 0,5535 0,1631 0,0012 0, ,9938 0,9442 0,6417 0,2244 0,0024 0, ,9969 0,9658 0,7224 0,2964 0,0046 0, ,9985 0,9800 0,7925 0,3768 0,0084 0, ,9993 0,9888 0,8505 0,4623 0,0148 0, ,9997 0,9939 0,8962 0,5491 0,0248 0, ,9999 0,9969 0,9307 0,6331 0,0398 0, ,9984 0,9554 0,7107 0,0615 0, ,9993 0,9724 0,7793 0,0913 0, ,9997 0,9836 0,8371 0,1303 0, ,9999 0,9906 0,8839 0,1795 0, ,9999 0,9948 0,9201 0,2386 0, ,9973 0,9470 0,3068 0, ,9986 0,9660 0,3822 0, ,9993 0,9790 0,4621 0, ,9997 0,9875 0,5433 0, ,9999 0,9928 0,6225 0, ,9999 0,9960 0,6967 0, ,9979 0,7635 0, ,9989 0,8211 0, ,9995 0,8689 0, ,9997 0,9070 0, ,9999 0,9362 0, ,9999 0,9577 0, ,9729 0, ,9832 0, ,9900 0, ,9942 0, ,9968 0, ,9983 0, ,9991 0, ,9996 0, ,9998 0, ,9999 0, , , , , , , , , Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1, , , n 0,98 0,95 0,9 5/6 0,8 0,75 0,7 0,6 0,5 k n n 0 n 0 n k n k Fnk ( ; ; ) = B( n ; ;0) B( nk ; ; ) = ( 1 ) ( 1 ) 0 k Bei grau unterlegtem Eingang, d. h. 0,5, gilt: Fnk ( ; ; ) = 1 abgelesener Wert

13 Seite 7 von 8 Tabelle 5: Kumulierte Binomialverteilung für n = 200 Fnk ( ; ; ) = Bn ; ; Bnk ; ; = n n k 1 n k 0,02 0,05 0,1 0,2 n 0 0,0176 0,0000 0,0000 0, ,0894 0,0004 0,0000 0, ,2351 0,0023 0,0000 0, ,4315 0,0090 0,0000 0, ,6288 0,0264 0,0000 0, ,7867 0,0623 0,0000 0, ,8914 0,1237 0,0001 0, ,9507 0,2133 0,0005 0, ,9798 0,3270 0,0014 0, ,9925 0,4547 0,0035 0, ,9975 0,5831 0,0081 0, ,9992 0,6998 0,0168 0, ,9998 0,7965 0,0320 0, ,9999 0,8701 0,0566 0, ,9219 0,0929 0, ,9556 0,1431 0, ,9762 0,2075 0, ,9879 0,2849 0, ,9942 0,3724 0, ,9973 0,4655 0, ,9988 0,5592 0, ,9995 0,6484 0, ,9998 0,7290 0, ,9999 0,7983 0, ,8551 0, ,8995 0, ,9328 0, ,9566 0, ,9729 0, ,9837 0, ,9905 0, ,9946 0, ,9971 0, ,9985 0, ,9992 0, ,9996 0, ,9998 0, ,9999 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , n 0 k ( ) ( ) ( ) ( ) 59 0, Nicht aufgeführte Werte sind 60 0, (auf 4 Dezimalen) 1, , , n 0,98 0,95 0,9 0,8 k n Bei grau unterlegtem Eingang, d. h. 0,5, gilt: Fnk ( ; ; ) = 1 abgelesener Wert n k

14 Seite 8 von 8 Tabelle 6: Normalverteilung ( z) 0,... ( z) 1 ( z) φ = φ = φ z , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Beisiele für den Gebrauch: ( 2,32) 0,9898 ( ) ( ) φ = φ 0,9 = 1 φ 0,9 = 0,1841 ( z) 0,994 z 2,51 φ = =