Tutorium: Analysis und lineare Algebra

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1 Tutorium: Analysis und lineare Algebra Vorbereitung der Abschlussklausur (Teil 2) Steven Köhler mathe.stevenkoehler.de 2

2 Determinanten 3 Determinanten Determinanten kleiner Matrizen Zur Berechnung der Determinanten kleiner Matrizen käonnen die folgenden Formeln verwendet werden: det det a 11 = a11 a11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 12 a 21 2 det 4 a 3 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 5 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 31 a 32 a 33 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 4

3 Determinanten Laplacescher Entwicklungssatz Mithilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes kann die Determinante einer Matrix nach einer Zeile oder Spalte entwickelt werden. ² Entwicklung nach der j-ten Spalte: det A = nx ( 1) i+j a ij det A ij i=1 ² Entwicklung nach der i-ten Zeile: det A = nx ( 1) i+j a ij det A ij j=1 Bei den Matrizen A ij handelt es sich um dijenigen Matrizen, die man erhäalt,wennmanindermatrixa die i-te Zeile und die j-te Spalte streicht. 5 Determinanten Aufgabe 1 Gegeben sei die folgende Matrix: 2 A = : a) Berechne die Determinante der Matrix A (i) durch Entwicklung nach der zweiten Spalte; (ii) mithilfe der Regel von Sarrus; (iii) durch UberfÄuhren Ä der Matrix A in eine obere Dreiecksmatrix. b) Welche Aussage Äuber die Invertierbarkeit der Matrix ist anhand der Determinante mäoglich? c) Wie lautet die Determinante der inversen Matrix A 1? 6

4 Determinanten Zusammenhänge mit Determinanten Im Folgenden sei eine quadratische n n -MatrixA betrachtet: ² det (A) =0() rg (A) <n ² det (A) =0() dim (N(A)) > 0 ² det (A) 6= 0() rg (A) =n ² det (A) 6= 0() dim (N(A)) = 0 ² det (A) =0() A 1 existiert nicht ² det (A) 6= 0() A 1 existiert 7 Newton-Verfahren 8

5 Das Newton-Verfahren Beschreibung des Verfahrens I Das Newtonsche Verfahren dient zur näaherungsweisenberechnung von Nullstellen einer Funktion f :[a; b]! R. Die Funktion f unterliegt dabei den folgenden Bedingungen: (i) f 0 (x) 6= 0fÄur alle x 2 [a; b]; (ii) f 00 (x) ist auf ganz [a; b] vorhanden und stetig; (iii) f(a) f(b) < 0. Nach(i)giltalsof 0 (x) > 0fÄur alle x 2 [a; b] oderf 0 (x) < 0 fäur alle x 2 [a; b], d.h., (i) sorgt dafäur, dass f streng monoton (steigend oder fallend) ist. Bedingung (iii) sichert, dass (nach dem Zwischenwertsatz) Äuberhaupt eine Nullstelle c 2 [a; b] vorhanden ist. 9 Das Newton-Verfahren Beschreibung des Verfahrens II Dem Newtonschen Verfahren liegt eine einfache geometrische Idee zugrunde. Man geht von einer ersten NÄaherung x 0 fäur die Nullstelle c aus, legt im Punkt (x 0 ;f(x 0 )) die Tangente an den Graphen von f und bestimmt den Schnittpunkt x 1 der Tangente mit der x-achse (siehe Zeichnung). 10

6 Das Newton-Verfahren Beschreibung des Verfahrens III Indem man y = 0 setzt, erhäalt man aus der Tangentengleichung y = f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 ): x 1 = x 0 f(x 0) f 0 (x 0 ) Allgemein erhäalt man eine Folge von fortlaufend verbesserten NÄaherungswerten durch: x n+1 = x n f(x n) f 0 (x n ) 11 Das Newton-Verfahren Aufgabe 2 Bestimme mithilfe des Newton-Verfahrens einen auf vier Nachkommastellen genauen NÄaherungswert von p 3. Verwende x 0 =3alsStartwert. (Zum Vergleich: p 3=1: :::) 12

7 Die Regeln von de l Hospital 13 Die Regeln von de l Hospital Die Regeln von de l Hospital I Der Typ 0 0 Es sei I ein Intervall und x 0 2 I. Die Funktionen f und g seien fäur alle x 2 I mit x 6= x 0 di erenzierbar. Es gelte g(x) 6= 0 und g 0 (x) 6= 0 fäur alle x 2 I, x 6= x 0. Ferner sei lim f(x) = lim g(x) =0. x!x 0 x!x 0 Dann gilt: μ μ f(x) f 0 (x) lim = lim ; x!x 0 g(x) x!x 0 g 0 (x) falls der rechte Grenzwert existiert bzw. gleich +1 oder 1 ist. Analog fäur x!1. 14

8 Die Regeln von de l Hospital Die Regeln von de l Hospital II Der Typ 1 1 Es sei I ein Intervall und x 0 2 I. Die Funktionen f und g seien fäur alle x 2 I mit x 6= x 0 di erenzierbar. Es gelte g(x) 6= 0 und g 0 (x) 6= 0 fäur alle x 2 I, x 6= x 0. Ferner sei lim f(x) = lim g(x) = 1. x!x 0 x!x 0 Dann gilt: μ μ f(x) f 0 (x) lim = lim ; x!x 0 g(x) x!x 0 g 0 (x) falls der rechte Grenzwert existiert bzw. gleich +1 oder 1 ist. Analog fäur x!1. 15 Die Regeln von de l Hospital Die Regeln von de l Hospital III Der Typ 0 1 Es seien lim f(x) =0und lim g(x) = 1. x!x 0 x!x 0 Dann gilt: ³ lim f(x) g(x) = lim x!x 0 x!x 0 Ã! Ã! f(x) g(x) 1 = lim x!x 1 : 0 g(x) f(x) 16

9 Die Regeln von de l Hospital Die Regeln von de l Hospital IV Der Typ 1 1 Es sei lim f(x) = lim g(x) = 1. x!x 0 x!x 0 Dann gilt: 0 ³ lim f(x) g(x) = lim x!x 0 x!x 0 1 B g(x) 1 1 f(x) 1 A : f(x) g(x) 17 Die Regeln von de l Hospital Die Regeln von de l Hospital V Die Typen 0 0,1 1 und 1 0 ² Typ 0 0 :Esseien lim x!x 0 f(x) = 0 und lim x!x 0 g(x) =0. ² Typ 1 1 : Es seien lim x!x 0 f(x) =1und lim x!x 0 g(x) = 1. ² Typ 1 0 : Es seien lim f(x) = 1 und lim g(x) =0. x!x 0 x!x 0 Dann gilt: ³ g(x) ³ g(x) ln lim f(x) = lim e f(x) = e lim g(x) ln f(x) x!x 0 x!x 0 x!x 0 18

10 Die Regeln von de l Hospital Aufgabe 3 Bestimme die folgenden Grenzwerte: ³ a) lim x 1 x x!1 μ 1 b) lim x!0 ln (x +1) 2 x μ x 2 4x +2 c) lim x!5 2x +4 μ 2 x 1 d) lim x!1 2 3 x+1 19 Die Regeln von de l Hospital Aufgabe 3 20 Skizze der Funktion f(x) = 1 ln (x+1) 2 x

11 Die Regeln von de l Hospital Aufgabe 4 Zeige, dass die Funktion f(x) =a x (fäur a>1) schneller wäachst als die Funktion g(x) =x n (mit n 2 N). 21 Taylorpolynome & -reihen 22

12 Taylorpolynome & -reihen Satz von Taylor I Die Funktion f sei im Intervall [a; b](n+1)-mal di erenzierbar und die (n + 1)-te Ableitung sei stetig auf [a; b]. Es gelte x 0 2 (a; b). Dann folgt fäur alle x 2 [a; b]: f(x) =T n (x)+r n (x): P Dabei ist T n (x) = n ³ k f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) das n-te Taylorpolynom (an der Stelle x 0 )undfäur das Restglied k=0 gilt: R n (x) = 1 n! Z x x 0 (x t) n f (n+1) (t) dt: 23 Taylorpolynome & -reihen Satz von Taylor II Die Formel fäur die AbschÄatzung des Restglieds lautet fäur ein beliebiges x 0 : f(x) T n (x) = R n (x) Mn+1 (n +1)! jx x 0j n+1 : M n+1 ist wie zuvor eine Konstante, fäur die M n+1 jf (n+1) (t)j fäur alle t 2 [a; b] gilt. 24

13 Taylorpolynome & -reihen Satz von Taylor III Skizze der Taylorpolynome T 1 ;:::;T 25 fäur die Funktion sin x 25 Taylorpolynome & -reihen Taylorreihen Die Funktion f sei im Intervall [a; b] beliebig oft di erenzierbar. Es gelte 0 2 (a; b). Dann hei¼t die Potenzreihe 1X k=0 f (k) (0) k! x k die Taylorreihe von f. (Genauer mäusste man sagen: Taylorreihe mit Entwicklungspunkt x 0 = 0. Statt Taylorreihe sagt man auch Taylor-Entwicklung.) 26

14 Taylorpolynome & -reihen Einige Potenzreihen e x = sin x = cos x = ln (1 + x) = arctan x = 1X k=0 1X k=0 1X k=0 x k k! = 1+ x 1! + x2 2! + x3 3! + x4 4! + ::: ( 1) k (2k +1)! x2k+1 = x x3 3! + x5 5! x7 7! + ::: ( 1) k (2k)! 1X ( 1) i+1 i=1 1X i=0 i x 2k x i ( 1) i 2i +1 x2i+1 = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! + ::: = x x2 2 + x3 3 x4 + ::: (fäur x 2 ( 1; 1]) 4 = x x3 3 + x5 5 x7 + ::: (fäur x 2 [ 1; 1]) : 7 27 Taylorpolynome & -reihen Aufgabe 5 Gegeben sei die Funktion f(x) =sinhx = 1 2 ³e x e x : a) Bestimme die Taylorpolynome T 0 (x), :::, T 5 (x) fäur den Entwicklungspunkt x 0 =0. b) Bestimme die Taylorreihe der Funktion f(x) fäur den Entwicklungspunkt x 0 =0. 28

15 Taylorpolynome & -reihen Aufgabe 6 Benutze die Ergebnisse aus Aufgabe 7, um eine Potenzreihe fäur die folgende Funktion zu bestimmen: f(x) =coshx = 1 2 ³e x + e x : 29 Taylorpolynome & -reihen Aufgabe 7 Gegeben sei die folgende Funktion: f(x) =(3x 1) 2 a) Bestimme die ersten 4 Ableitungen der Funktion f(x). b) Stelle eine Vermutung fäur die n-te Ableitung der Funktion f(x) auf. c) ÄUberprÄufe mit vollstäandiger Induktion, ob es sich bei deiner Vermutung aus b) tatsäachlich um die n-te Ableitung handelt. d) Gib eine Taylorreihe fäur die Funktion f(x) an. 30

16 Differenzieren von Funktionen mit mehreren Variablen 31 Differenzieren von Funktionen mit mehreren Variablen Aufgabe 8 Bestimme die partiellen Ableitungen erster Ordnung fäur die folgende Funktion: f(x; y; z) =sin x 2 y cos y p z e xz 32

17 Differenzieren von Funktionen mit mehreren Variablen Einführung Beispielfunktion: f(x; y) =cos p x sin (y) 33 Differenzieren von Funktionen mit mehreren Variablen (Extremstellen) Bestimmung des Gradienten I ZunÄachst werden die stationäaren Stellen der Funktion bestimmt: Dazu wird der Gradient grad ³f x 1 ;:::;x n gebildet und gleich 0 gesetzt. grad ³f x 1 ;:::;x n n ³ = 0;:::;0 34

18 Differenzieren von Funktionen mit mehreren Variablen (Extremstellen) Bestimmung des Gradienten II Dies läasst sich auch als Gleichungssystem n = 0. = 0: Die LÄosungen x (i) dieses Gleichungssystem sind die gesuchten stationäaren Stellen. 35 Differenzieren von Funktionen mit mehreren Variablen (Extremstellen) Aufstellen der Hesse-Matrix I Anschlie¼end werden die Hesse-Matrizen H i wie folgt erstellt: 2 H i = 2 1 ³x 1 x n n x (i) ³x (i)

19 Differenzieren von Funktionen mit mehreren Variablen (Extremstellen) Aufstellen der Hesse-Matrix II Abschlie¼end muss die De nitheit der Hesse-Matrizen bestimmt werden, um die Art des Extremums zu ermitteln. Dazu werden zunäachst die Abschnittsdeterminanten 1, :::, n bestimmt: ² Sind alle i > 0(i 2f1;:::;ng), so ist die Matrix positiv de nit und es liegt ein Minimum vor. ² Haben die i ein alternierendes Vorzeichen, beginnend mit \-", so ist die Matrix negativ de nit und es liegt ein Maximum vor. Formal ausgedräuckt: 2m+1 < 0und 2m > 0 fäur m 2 N. 37 Differenzieren von Funktionen mit mehreren Variablen (Extremstellen) Aufstellen der Hesse-Matrix III FÄur Funktionen mit 2 Variablen ergibt sich der folgende Spezialfall: ² Gilt 2 =deth<0, so ist die Matrix inde nit und es liegt kein Extremum vor. ² FÄur 2 =deth>0gilt: { Ist 1 = f xx < 0, so ist die Matrix negativ de nit; es liegt ein Maximum vor. { Ist 1 = f xx > 0, so ist die Matrix positiv de nit; es liegt ein Minimum vor. 38

20 Differenzieren von Funktionen mit mehreren Variablen (Extremstellen) Aufstellen der Hesse-Matrix IV Ist die Matrix weder positiv noch negativ de nit, so kann (mit Ausnahme von Matrizen) ohne weitere Untersuchung keine genaue Aussage Äuber die De nitheit getro en werden. Dazu wird z.b. die Bilinearform b A benutzt: b A (x; y) =x A y T Eine Alternative stellt die quadratische Form dar: Q A (x) = nx i=1 j=1 nx a ij x i x j = x A x T Gibt es nun Vektoren x und y, sodassb A (x; x) =Q A (x) > 0und b A (y;y) =Q A (y) < 0, so ist die Matrix inde nit und es liegt kein Extremum vor. 39 Differenzieren von Funktionen mit mehreren Variablen (Extremstellen) Aufgabe 9 Bestimme die Extremstellen der folgenden Funktionen a) f(x; y) = 6xy + x 2 +2y 3 b) f(x; y) = x 2 +2x + xy 2y 2 c) f(x; y; z) = 2x 2 3y 2 z 2 +2xz +2x +8y 40

21 Integration von Funktionen mit zwei Variablen 41 Integrieren von Funktionen mit zwei Variablen Einführungsbeispiel I Halbkugel, angenäahert durch 5 5SÄaulen 42

22 Integrieren von Funktionen mit zwei Variablen Einführungsbeispiel II Halbkugel, angenäahert durch SÄaulen 43 Integrieren von Funktionen mit zwei Variablen Einführungsbeispiel III Halbkugel, angenäahert durch SÄaulen 44

23 Integrieren von Funktionen mit zwei Variablen Einführungsbeispiel IV Halbkugel, angenäahert durch SÄaulen 45 Integrieren von Funktionen mit zwei Variablen Berechnung eines Volumens I Oftmals interessiert uns das von der Grund Äache G, der Funktion f(x; y) sowie den senkrechten SeitenwÄanden eingeschlossene Volumen. Dieses kann ZZ mithilfe des Doppelintegrals f(x; y) d(x; y) berechnet werden. G 46

24 Integrieren von Funktionen mit zwei Variablen Berechnung eines Volumens II y Die Integrationsgrenzen werden durch die Grund Äache G bestimmt: 0 1 Z x 2 Z' f(x; y) dya dx x 1 ' 1 ' 2 ' 1 x 1 x 2 x 47 Integrieren von Funktionen mit zwei Variablen Berechnung eines Volumens III Spezialfall: ' 1 und ' 2 sind konstante Funktionen. In diesem Fall kann das Integral auf zwei Arten bestimmt werden: 0 1 Z x Z y 2 x 1 y 1 Z y 2 Z x 2 y 1 x 1 f(x; y) dya dx 1 f(x; y) dxa dy y 2 y 1 y ' 2 ' 1 x 1 x 2 x 48

25 Integrieren von Funktionen mit zwei Variablen Aufgabe 10 ZZ Berechne f(x; y) d(x; y) auf zwei G Arten. Hierbei gelte y f(x; y) =(x +1) 2 y und die Grund Äache G sei de niert durch die Punkte (1; 1), (3; 1) und (5; 5). 1 1 x 49 Viel Erfolg bei der Klausur 50