Kartesische Nachgiebigkeitsregelung für Robotersysteme mit verteilter Steuerungsarchitektur

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1 artesische Nachgiebigkeitsregelung für Robotersysteme mit erteilter Steuerungsarchitektur Cartesian compliance control for robot systems with istribute control architecture. Dr.-Ing. Christian Ott, Uniersität on Tokio, Japan. Prof. Yoshihiko Nakamura, Uniersität on Tokio, Japan. urzfassung Bei er Regelung komplexer Robotersysteme tritt in er Praxis oftmals as Problem auf, ass ie entworfenen Regelungserfahren auf unterschielichen Rechnern implementiert weren müssen, ie jeweils unterschieliche Teilsysteme steuern. Die ommunikation zwischen en Teilsystemen läßt sich im regelungstechnischen Entwurf als interne Totzeit beschreiben. In iesem Beitrag wir ein Verfahren orgestellt welches es erlaubt für erartige totzeitbehaftete erteilte Robotersysteme eine koorinierte kartesische Nachgiebigkeitsregelung zu realisieren. Als Grunlage wir hierfür as aus er Literatur bekannte onzept er Wellenariablen (engl. wae ariables herangezogen um en ommunikationskanal zwischen en Rechnern in ein passies Teilsystem zu transformieren. Des Weiteren weren ie stationären Eigenschaften er Wellenariablen berücksichtigt, welche ohne gezielte Behanlung as resultierene Steifigkeitserhalten beeinflussen würen. Hierfür wir eine Methoe zur Regelung elastischer Roboter zu Hilfe genommen. Einleitung Im regelungstechnischen Entwurf für komplexe Robotersysteme wir oftmals angenommen, ass er resultierene Algorithmus auf einem einzigen Echtzeitcomputer realisiert weren kann. Dies ist eine Iealorstellung ie in er Praxis oft nur unzureichen erfüllt weren kann. Typische Beispiele hierfür sin mobile Manipulatorsysteme oer humanoie Roboter in enen zur Fortbewegung un zur Manipulation jeweils unterschieliche Rechner orgesehen sin. Die ommunikation er beteiligten Rechner führt abei zu unerwünschten Totzeiten im System, welche im regelungstechnischen Entwurf zu berücksichtigen sin []. Diese Totzeiten können bei sorgfältiger Auslegung urchaus als konstant un klein (im Bereich einiger ms, jeoch nicht als ernachlässigbar, betrachtet weren. Totzeitbehaftete Systeme wuren in er Telepräsenzliteratur ausführlich behanelt. Hierbei weren zwei Manipulatoren über eine ommunikationsstrecke erbunen un ein Benutzer

2 kann urch irekte Interaktion mit einem er Manipulatoren ( Master en entfernten Manipulator ( Slae steuern, sowie mit er entfernten Umgebung interagieren []. In iesem ontext wure in [3] er sogenannte Scattering -Ansatz orgeschlagen, welcher eine passiitätsbasierte Analyse es Telepräsenzsystems ermöglicht [4]. Dieser Ansatz führte in weiterer Folge auf as onzept er sogenannten Wellenariablen (engl. wae ariables welche urch Niemeyer un Slotine eingeführt wuren [5,6]. Eine Erweiterung auf Systeme mit ariabler Totzeit wure in [7] behanelt. Eine weitere Anwenung er Passiitätstheorie im Rahmen er Telepräsenz wure in [8,9] orgestellt, wobei arin auf en Time Domain Passiity -Ansatz on Hannafor un Ryu [0] zurückgegriffen wure. In er Literatur zur kooperatien Regelung erteilter Robotersysteme (siehe zb [,] wir hingehen häufig auf as Problem er Totzeit nicht etailliert eingegangen. In ieser Arbeit wir ein Verfahren orgestellt, in welchem ie Wellenariablen zur koorinierten Regelung eines Robotersystems mit erteilter Rechenarchitektur eingesetzt weren. Das onzept er Wellenariablen wir hierbei aufgrun er engen Verbinung zur Passiität im Falle konstanter Totzeit erwenet. Dies erlaubt en geschlossenen Regelkreis als Rückkopplung passier Teilsysteme zu entwerfen. Entwurfsiee Im Folgenen wir angenommen, ass as betrachtete Robotersystem mit zwei Echtzeitrechnern C# un C# erbunen ist (Bil, links. Die Gruniee zum Reglerentwurf kann nun wie folgt in 3 Schritten formuliert weren (siehe auch Bil, rechts. Auf Computer C# weren irtuelle oorinaten eingeführt, welche sozusagen als Ersatzgröße für ie mit Computer C# erbunenen Gelenkkoorinaten angesehen weren können. Für iese oorinaten wir eine einfache Dynamik ia efiniert, wobei M & =τ τ (,, M einer irtuellen Trägheitsmatrix entspricht. Diese irtuellen oorinaten weren über einen Telepräsenzansatz mit en realen oorinaten gekoppelt. 3 Schließlich muss unter Zuhilfenahme on un ein Nachgiebigkeitsregler auf C# realisiert weren. Hierbei müssen insbesonere ie speziellen Eigenschaften er opplung aus Schritt berücksichtigt weren.

3 Bil : Das linke Bil ereutlicht ie erteile Rechnerarchitektur, währen im rechten Bil er orgeschlagene regelungstechnische Ansatz intuiti argestellt ist. Wellenariablen (Schritt In iesem Abschnitt wir eine kurze Übersicht über as onzept er Wellenariablen gegeben. Weiters wir gezeigt wie ie oben erwähnte opplung zwischen realisiert weren kann. Eine etaillierte Darstellung ist in [5,6] zu finen. un Gegeben sei ein mechanisches System mit er raft F als Eingangsgröße un er Geschwinigkeit x& als Ausgangsgröße. Die Wellenparameter sin ann über ie oorinatentransformation bx + F u = & bx F = & (, (3 b b efiniert, wobei er skalare Entwurfsparameter b als Wellenimpeanz bezeichnet wir. In iesen neuen oorinaten ist ie über F un x& übertragene Leistung urch P + = Fx& = / u / gegeben, woraus man erkennt, ass hineinfließenen Leistung entspricht un / u er in as System / er aus em System hinausfließenen Leistung. Der Nutzen er Wellenariablen liegt nun arin begrünet, ass ein Totzeitglie bezüglich er Wellenariablen ein passies System arstellt, währen ein Totzeitglie bezüglich er Variablen F oer x& natürlich nicht passi wäre. Dies beeutet, ass ein totzeitbehafteter ommunikationskanal in ein passies System transformiert weren kann inem an beien Seiten eine Transformation auf Wellenariablen urchgeführt wir (siehe auch Bil. Zwei weitere Eigenschaften er auf Wellenariablen basierenen ommunikation weren im Folgenen on Interesse sein. Zum einen kann ie Wellentransformation sowohl auf Systeme mit Impeanz- als auch auf Systeme mit Amittanzkausalität angewenet weren. Weiters ist as stationäre Verhalten on Interesse. Hierzu kann gezeigt weren, ass sich

4 ie auf Wellenariablen basierene ommunikation stationär wie eine Steifigkeit = b / T c erhält [4]. Ein einfacher Telepräsenz-Regelungsansatz aus [6] ist in Bil gezeigt. Hierbei ist er passiierte ommunikationskanal mit einem PD-Regler kombiniert. τ = B( & & (4 (,, Die Sollgeschwinigkeit erhält man urch Lösen on ( un (4 zu ( bu + B& + ( &, = ( b + B, (5 Aus ( un (3 ergeben sich ie restlichen Größen in Bil zu τ = b& b (6, u = ( b& +τ / b = ( b& / b (7, (8, τ Bil : Der basic wae teleoperator aus [6] zur Regelung eines Telepräsenzsystems. Nachgiebigkeitsregelung (Schritt 3 Im nächsten Schritt soll nun ein Nachgiebigkeitsregler entworfen weren, welcher auf er oben beschriebenen opplung zwischen un aufbaut un auf Computer C# zu implementieren ist. Das Entwurfsziel ist ein passier Regler, welcher keine Rückkopplung er oorinaten benötigt. Die kartesische Steifigkeit un Dämpfung ist jeoch bezüglich er realen Gelenkwinkel es Roboters un, bzw. bezüglich er kartesischen oorinaten r = f,, geforert. Die gewünschte kartesische Steifigkeit un Dämpfung seien urch un ( D gegeben. Im Folgenen wir or allem ie stationäre Genauigkeit on Interesse sein. Die effektie Steifigkeit es basic wae teleoperators aus Bil ist urch ( w = + c gegeben. In ombination mit er irtuellen Trägheit aus Schritt ähnelt as System aher für kleine Totzeiten einem Roboter mit elastischen Gelenken (siehe Tabelle.

5 w M Abtriebsseitige Position Motorposition Gelenksteifigkeit Motortägheit Tabelle : Analogie zu einem Roboter mit elastischen Gelenken (rechts Dies motiiert ie Anwenung es passiitätsbasierten Reglers aus [5,6]. Es sollte jeoch schon orab arauf hingewiesen weren, ass ie Passiität es Reglers nicht on er oben erwähnten Analogie abhängen wir. Sie ient leiglich einer intuitien physikalischen Anschauung. In [5,6] wure ein Regler orgestellt, welcher sich aus einem Anteil zur Graitationskompensation un einem Anteil zur Realisierung on Steifigkeit un Dämpfung zusammensetzt. Zur Berechnung er Graitationskompensation iente eine uasi-statische Analyse, welche eine Funktion = (, liefert. Diese Funktion wir berechnet inem man ie Ruhelagenbeingung, also as räftegleichgewicht zwischen en auf wirkenen Graitationstermen g(, un er effektien Steifigkeit w(, nach auflöst: Der Regler aus [5,6] ist ann urch g(, = w( (, (9 τ & = g(, ( D(, J(, ( f (, r, τ & gegeben, wobei J (, ie Jacobimatrix zu f (, un r en gewünschten Gleichgewichtspunkt arstellt. Eine Passiitätsanalyse ieses Reglers ist in [5] zu finen. Auf Rechner C# müssen somit ie irtuelle Dynamik ( un ie Regelgesetze (6 un (0 implementiert weren. Auf Rechner C# müssen as PD-Regelgesetz (4, (5 sowie (8 berechnet weren. Es sollte arauf hingewiesen weren, ass alle Teile es Regelungssystems als passie Teilsysteme entworfen wuren. Somit bleibt auch ie Rückkopplung ieser Teilsysteme in er Gesamtynamik passi. Allerings realisiert (0 eine Steifigkeit in Serie zu urch (0 w un ie resultierene Steifigkeit ist 0 0 T (, (, ext = + J 0 J ( w

6 gegeben. larerweise kann ( jeoch auch zur Auslegung er Reglersteifigkeit herangezogen weren. Eliminierung er irtuellen Trägheit Die Einführung er irtuellen Trägheit M ermöglichte eine Analogie zu Robotern mit elastischen Gelenken. Jeoch beeinflusst sie auch ie Gesamtynamik. Im Folgenen wir beschrieben, wie iese irtuelle Trägheit ermieen weren kann. Hierzu muss an er linken Seite es ommunikationsblockes in Bil ie ausalität gewechselt weren. Aus ( erhält man τ, = τ,. Aus (3 erhält man b& τ = b +, Da τ, über (0 on & abhängt müssen iese beien Gleichungen zusammen gelöst weren. Dies führt zu & T ( b + g (, (, + J (, ( r f (, D (, & = ( b + D (, wobei D,, D (, un J (, urch J (, D D (, (, ( f (, = = J = J (, (, T T D J (, J (, D J (, f (, = gegeben sin. Abgesehen on iesen Änerungen hat er Regler ie selbe Struktur wie zuor. Auch ie Passiitätseigenschaften bleiben erhalten [3]. Simulationsstuie Die bisherige Ealuierung es orgeschlagenen Reglers erfolgte urch Simulation eines einfachen planaren Roboters mit 3 Gelenken. Bil zeigt ie Eneffektorkoorinaten (schwarz: x, blau: y, rot: Orientierung für eine Sprungantwort. Im linken Teil ist ie Referenzynamik gezeigt, welche man mit einem klassischen Nachgiebigkeitsregler ohne Systemtotzeit erhält. Im rechten Bil ist as instabile Systemerhalten bei einer Totzeit on 6ms zu sehen. Bil 4 zeigt nun as Ergebnis mit em orgestellten Regler. Wie man sieht wir trotz er Totzeit eine gute Approximation er Referenzynamik erzielt. Weiters ist ie Abweichung er irtuellen oorinaten on gezeigt. Die stationäre Abweichung entspricht hierbei er Steifigkeit w.

7 Bil 3: Das linken Bil zeigt ie Referenzynamik er kartesischen Nachgiebigkeitsregelung ohne Totzeit. Im rechten Bil ist ie Instabilität bei einer Totzeit on 6ms zu sehen. Bil 4: Das linke Bil zeigt ie Dynamik es orgeschlagenen Reglers. Im rechten Bil ist ie Abweichung zwischen un zu sehen. Literaturübersicht [] T. B. Sherian, Space teleoperation through time elay - reiew an prognosis, IEEE Transactions on Robotics an Automation, ol. 9, no. 5, pp , 993. [] D. A. Lawrence, Stability an transparency in bilateral teleoperation, IEEE Transactions on Robotics an Automation, ol. 9, no. 5, pp , 993. [3] R. J. Anerson an M. W. Spong, Bilateral control of teleoperators with time elay, IEEE Transactions on Automatic Control, ol. 34, no. 5, pp , 989. [4] S. Stramigioli, A. an er Schaft, A. Maschke, an B. Melchiorri, Geometric scattering in robotic telemanipulation, IEEE Transactions on Robotics an Automation, ol. 8, no. 4, pp , 00. [5] G. Niemeyer an J.-J. E. Slotine, Stable aaptie teleoperation, IEEE Journal of Oceanographic Engineering, ol. 6, no., pp. 5 6,99.

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