Rechnen mit rationalen Zahlen

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1 Rechnen mit rationalen Zahlen a ist die Gegenzahl von a und ( a) a Subtraktionsregel: Statt eine rationale Zahl zu subtrahieren, addiert man ihre Gegenzahl. ( 8) ( ) ( 8) + ( + ) 8 + 7, (,6) 7, + ( +,6) 7, +,6 10, 9 Klammerregel 1 (Setzen von Klammern): - Setzt man vor die Klammer ein + -Zeichen, so bleiben die Glieder innerhalb der Klammer unverändert. - Setzt man vor die Klammer ein -Zeichen, so muss man bei allen Glieder innerhalb der Klammer ihr Rechenzeichen ändern. a b c + d a + ( b c + d) a b c + d a ( b + c d) Klammerregel (Auflösen von Klammern): - Steht ein + -Zeichen vor der Klammer, kann man die Klammer ohne weiteres weglassen. - Steht ein -Zeichen vor der Klammer, lässt man die Klammer weg und kehrt gleichzeitig alle Rechenzeichen in der Klammer um. [ ] x [ x 4y 7x y] x [ 4x 9y] x + 4x + 9y 9 x + 9y Beispiel: x ( x 4y) ( 7x + y) Beachte: Nach dem Auflösen der inneren Klammer wird (falls möglich) zuerst zusammengefasst. Multiplikationsregel (Divisionsregel): Zwei rationale Zahlen werden multipliziert (dividiert), indem man ihre Beträge multipliziert (dividiert) und dem Produkt (Quotienten) das folgende Vorzeichen gibt: - Ein + -Zeichen, wenn beide Faktoren (Dividend und Divisor) gleiches Vorzeichen, - ein -Zeichen, wenn sie verschiedenes Vorzeichen besitzen. (+ ) (+ 4) + 1; ( 4) ( 7) + 8 ( 7) (+ ) ; (+ ) ( 8) 4 Fachschaft Mathematik des SKG Seite 1

2 Rechnen mit Termen Addition und Subtraktion von Termen Gleichartige Terme werden addiert bzw. subtrahiert, indem man ihre Koeffizienten addiert bzw. subtrahiert und die gemeinsamen Variablen beibehält. ab + ab 8ab c 9c 11c 10 x y z 110x y z 10x y z Ungleichartige Terme können nicht zusammengefasst werden. 9 x + 4y x y 0xy 9a bc + 110xyz Diese Terme können nicht weiter vereinfacht werden! Fasse jeweils die gleichartigen Terme zusammen! 1a + c 17a 10c a 7c 1t z + t 10t z 0,x + yz 1,7 x + 8,4 yz 1q 1,7x + 10,4 yz 1q Aufgaben: 8 ab 4a + 1ab 9a,x z + 1,9 x 6z 0x z 14z 19ab 0,z + 1b a 17y Multiplikation von Termen Bei der Multiplikation von Termen dürfen (nach dem Kommutativgesetz) die Zahlen bzw. Variablen untereinander vertauscht werden. 4 c d 4 c d 4 c d 0cd x 9 x x 9 x 9 x x 7x ( ) ( ) ( ) q pr q pr q q p p r r ( x) ( x) ( x) ( x) ( x) ( x) ( x) 108x q p r 8 Aufgaben: x ( ) xy 4 x y z x yz ( q ) ( 0,z) Fachschaft Mathematik des SKG Seite

3 Lösungsverfahren für Gleichungen Gleichungen, die dieselbe Lösungsmenge besitzen, heißen äquivalent. Eine Umformung, die eine Gleichung in eine äquivalente überführt, heißt Äquivalenzumformung. Äquivalenzumformungen für Gleichungen sind: 1) Addition bzw. Subtraktion derselben Zahl oder des gleichen Vielfachen einer Variablen auf beiden Seiten. a) Multiplikation beider Seiten mit derselben von Null verschiedenen Zahl. b) Division beider Seiten durch dieselbe von Null verschiedene Zahl. zu 1) 6 x + x 6 x x 8 x 4 x 8 zu a) 0, x 4 x 8 zu b) (Fortsetzung des Beispiels zu 1) 4 x 8 : 4 x Lösungsschritte beim Lösen einer Gleichung: Beispielrechnung: Beschreibung: ( 4 x) 4 ( x) x Klammern beseitigen 48 x 1 8 x x Zusammenfassen 48 x 1 11 x + 11 x 48 Ungleichartige Terme trennen 9 x 6 : 9 x allein stellen x 4 für die Grundmenge für die Grundmenge G ergibt sich { 4} G 0 ergibt sich { } L Lösungsmenge bestimmen L (Grundmenge beachten!) Aufgaben: siehe nächste Seite Fachschaft Mathematik des SKG Seite

4 Aufgaben 1. Vereinfache: a) ( 4 x + y) ( x y) b) 10 m + ( m n) ( n m) c) [ 18 ( 14 ) ] d) 4 a ( 6b a) [ 7b ( 6a + b) ( 4a + b) 9a]. Fasse Plus- und Minusglieder in einer Plus- bzw. Minusklammer zusammen und berechne: a) b) 1 x 1y 17x + 8y 1x. Multipliziere: a) ( 7 ) ( 9) ( ) 1 b) ( ) c) ( ) d) ( ) ( ) ( ) ( ) 4. Dividiere: 1, 1 a) ( 1) :( 17) b) :( 1) c) 0, :( 1, ) 1 d) ( ) :. Löse folgende Gleichungen: a) 4 x + 8x 4 8 b) x 1 4 x 1 c) [ ( x 11) + 7] [( x 1) ( 4x) ] 6. Löse folgendes Zahlenrätsel: Wenn man von 8 das 8fache einer Zahl subtrahiert, erhält man die gesuchte Zahl, vermehrt um. 7. Drei Brüder Erik, Felix und Tom sind zusammen 44 Jahre alt. Felix ist 4 Jahre älter als Erik; Tom ist doppelt so alt wie Erik. Wie alt ist Erik? Wie alt sind Felix und Tom? Fachschaft Mathematik des SKG Seite 4

5 Lösungsverfahren für Ungleichungen Ungleichungen, die dieselbe Lösungsmenge besitzen, heißen äquivalent. Eine Umformung, die eine Ungleichung in eine äquivalente überführt, heißt Äquivalenzumformung. Äquivalenzumformungen für Ungleichungen sind: 1) Addition bzw. Subtraktion derselben Zahl oder des gleichen Vielfachen einer Variablen auf beiden Seiten. a) Multiplikation beider Seiten mit derselben positiven Zahl b) Division beider Seiten durch dieselbe positive Zahl. a) Multiplikation beider Seiten mit derselben negativen Zahl, wenn man gleichzeitig das Ungleichheitszeichen umdreht. b) Division beider Seiten durch dieselbe negative Zahl, wenn man gleichzeitig das Ungleichheitszeichen umdreht. Die Grundmenge sei G. ( x ) > 8( 1) + x Ausmultiplizieren Regel 1) x + 10 > 8x 8 8x 10 Regel b) x > 18 : ( ) ACHTUNG: Ungleichheitszeichen!!! x < 6 L ] ; 6[ (alle Zahlen bis ausschließlich 6) Aufgabe: Eine Firma stellt Mischungen verschiedener Nusssorten her. 1 kg Haselnüsse kosten die Firma,0, 1 kg Walnüsse 1,70. Welche Menge Haselnüsse dürfen 100 kg einer Mischung beider Sorten höchstens enthalten, damit 1 kg davon die Firma höchstens 1,94 kostet? Lösung: Menge Haselnüsse in der Mischung: x kg Menge Walnüsse in der Mischung: ( 100 x) kg Preis für 100 kg Mischung: x,0 + ( 100 x) 1,70 Höchstpreis für 100 kg Mischung: 100 1,94 Ansatz:,0 + ( 100 x) 1,70 x 100 1,94 Ausmultiplizieren Regel 1) x, x 1, ; Zusammenfassen x (,0 1,70 ) 4 Ausrechnen Regel b) x 0,60 4 : 0,60 x 40 Antwort: Es dürfen in 100 kg Mischung höchstens 40 kg Haselnüsse sein. Fachschaft Mathematik des SKG Seite

6 Binomische Formeln Multiplikation von Summen Regel: Man multipliziert zwei Summen miteinander, indem man jedes Glied der ersten Summe mit jedem Glied der zweiten Summe (unter Berücksichtigung der Vorzeichen) multipliziert und diese Produkte addiert. ( a + b) ( c + d ) a c + a d + b c + b d Beispiel: ( x + y) ( 4a b c) 1ax bx 1cx + 8ay by Summanden Summanden Aufgaben: 1. 1 z z + 1 z z 1 6 Summanden cy 4 1. (,x y) 4 x, y Die binomischen Formeln Formeln: ( a b) a + ab + b ( a b) a ab + b ( a b)( a b) a b + ( Plusformel ) ( Minusformel ) + ( Plusminusformel ) Beispiel: ( x + y) ( x) + x y + ( y) x + 0xy + 9y Aufgaben: 1 1. x. ( xy z) ( z + xy). ( ) ( + ) 0,1z, 0,1z, Fachschaft Mathematik des SKG Seite 6

7 Umformen von Summen in Produkte 1. Ausklammern gemeinsamer Faktoren aus allen Gliedern Regel 1: Enthalten alle Glieder einer Summe einen gemeinsamen Faktor, so erhält man aus der Summe ein Produkt, indem man den gemeinsamen Faktor mit der Summe der übrigen Faktoren multipliziert. 1) 0ax y + 00ax + 10axy 0ax ( 7xy + x + y ) ) 7 xy 14x z ) b x b x 4 4),1 abc +,8 b 8 ) x ( a b) + y ( a b) 6) ac + ad + bc + bd. Die binomischen Formeln als Zerlegungsformeln Beachte: Bei der Anwendung der Plusformel bzw. der Minusformel genügt es nicht, nur die quadratischen Glieder zu betrachten! 1) 4x + 1xy + 9y ( x) + x y + ( y) ( x + y) ) a + 4b 0ab ) 16x 9y 9 6 4) x + x + 1 ) 9x + 1xy + y 1 a 144 a b 1 b 144 ( a+ b). Hintereinanderausführung: Ausklammern binomische Formel: Beachte: Klammere zunächst soweit wie möglich aus und untersuche erst dann, ob eine binomische Formel anwendbar ist! 4 1) x y 18x y x y ( x 9y ) x y ( x y) ( x + y) ) x 6 x 4 ) 1 u uv + v Fachschaft Mathematik des SKG Seite 7