Mathematik-Dossier 8 Rechnen mit Variablen (angepasst an das Lehrmittel Mathematik 1)
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- Elsa Vogel
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1 Name: Mathematik-Dossier 8 Rechnen mit Variablen (angepasst an das Lehrmittel Mathematik 1) Inhalt: Terme umformen / Rechenregeln mit Variablen Klammerregeln Verbindung von Operationen verschiedener Stufe Distributivgesetz Gleichungen Text in Terme umformen / Wahl der Variablen Ungleichungen Verwendung: Dieses Dossier dient der Repetition und Festigung innerhalb der obgenannten Themen. Es beinhaltet einen kurzen Theorie-Teil, sowie verschiedene Übungen mit unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden. einfache Aufgaben sind mit einem schwierigere Aufgaben sind mit einem gekennzeichnet gekennzeichnet. Die Aufgaben müssen in der Freizeit (oder in der Hausaufgabenstunde) gelöst werden. Sie können jederzeit zur Kontrolle abgegeben werden, die Lösungen können aber auch selbständig verglichen werden. Wichtig: Die Aufgaben erfordern ein konzentriertes Vorgehen. Es ist daher sinnvoll, mindestens während 15 Minuten am Stück daran zu arbeiten, mit Vorteil bearbeitest du ein ganzes Kapitel aufs Mal. Mathematik-Dossier 8 - Rechnen mit Variablen A.Räz Seite 1
2 1. Terme umformen Für das Rechnen mit Variablen ist es von grosser Bedeutung, dass man die vorliegenden Terme vereinfachen und umformen kann. Nur so ist es möglich, dann auch Gleichungen und schwierigere Aufgaben erfolgreich zu lösen. 1.1 Repetition der wichtigsten Rechenregeln mit Variablen Im Dossier zum Thema 2 (Variablen) wurde die Einführung in Algebra bereits gemacht und besprochen. Für die detaillierte Information verweise ich auf das Dossier 2 BC An dieser Stelle möchte ich die wichtigsten Rechenregeln mit Variablen nur noch kurz repetieren. - Variablen können als Dinge oder Einheiten betrachtet werden. Man kann sie als Sorte verstehen. 3a bedeutet also nichts anderes als 3 Äpfel. So kann auch eine einfache Rechnung verstanden werden: 3a + a = 3 Äpfel + ein Apfel = 4 Äpfel. - Terme mit Variablen werden alphabetisch geordnet. Zahlterme kommen am Schluss: o 25b + 8a + 2c 4 = 8a + 25b + 2c 4 - Die Koeffizenten (Vorzahlen) sind durch Multiplikation mit der Variable verknüpft. Das Multiplikationszeichen wird allerdings nicht geschrieben. (6b = 6 b) - Bei Addition und Subtraktion gilt: o Nur gleiche Sorten können miteinander verrechnet werden. Nicht gleiche Sorten können nicht addiert oder subtrahiert werden. Dabei werden eigentlich nur die Koeffizienten miteinander addiert / subtrahiert. Die Sorte wird einfach wieder dazugeschrieben (Denn Äpfel bleiben ja Äpfel) 3a + 6a 4a = ( )a = 5a 4b + 3b + 2c = 7b + 2c (nicht weiter zu vereinfachen) - Bei Multiplikation und Division werden die Variablen einfach durch Multiplikation zusammen verknüpft, die Koeffizienten werden miteinander multipliziert / dividiert o 5c 3x = 5 3 cx = 15cx o 54bc : (9c) = 54:9 (bc:c) = 6b - Achtung: Häufig gehen die folgenden, wichtigen Regeln vergessen: x+x = 2x x x = 0 x x = x 2 x : x = Klammerregeln Wie bis anhin gelten die Regeln für setzen und auflösen von Klammern. Also: Steht vor der Klammer ein Minus, darf man die Klammer nur auflösen, wenn man die Operationszeichen in der Klammer wechselt. also: 1. Beispiel: 7x + (3y x) Klammer auflösen = 7x + 3y x Ordnen (Operatorkonzept) = 7x x + 3y von links nach rechts gleiche Sorten rechnen = 6x + 3y Achtung, Minus vor der Klammer! 2. Beispiel: 2a - (5b a) Klammer auflösen = 2a 5b + a Ordnen (Operatorkonzept) = 2a + a 5b von links nach rechts gleiche Sorten rechnen = 3a 5b Mathematik-Dossier 8 - Rechnen mit Variablen A.Räz Seite 2
3 1.3 Summenverwandlung und Operatorkonzept Natürlich gelten auch in der Algebra alle bisher bekannten Regeln. Ebenso verwenden wir weiterhin alle unsere Hilfsmittel, wie z.b. die Summenverwandlung und das Operatorkonzept. (-5x) - (-4) + (-9) 2x Summenverwandlung = (-5x) (-9) + (-2x) Operatorkonzept, damit etwas Ordnung herrscht = (-5x)+ (-2x) (-9) Assoziativgesetz (zusammengehöriges berechnen) = [(-5x) + (-2x) ] + [ 4 + (-9) ] Klammern ausrechnen = (-7x) + (-5) Summenverwandlung rückgängig = (-7x) 5 einfachst mögliches Resultat. 1.4 Die Verbindung von Operationen verschiedener Stufe Die Gesetze und Vereinbarungen und Regeln gelten wie bis anhin.: Von links nach rechts rechnen aber 1. Klammern zuerst 2. höhere Stufe zuerst.. Punkt vor Strich z.b. 2a + 3a 5b = 2a + 15ab = a ( b) = a (15b + 2) Distributiv (Ausmultiplizieren) und 2 ( 3b + 4) = 2 3b = 6b + 8 TIPP: Das Ausklammern gemeinsamer Faktoren ist sehr oft möglich! 1.5 Erinnerung an das Distributivgesetz Grundregel: c (a + b) = c a + c b Ausmultiplizieren (c auf a und b verteilen) c a + c b = c (a + b) Ausklammern (gemeinsamer Faktor vor die Klammer) schwierigere Anwendung 25 3 (x+5) = 25 3x 15 = (-3x) + 10 (hier steht vor der 3 ein Minus, Klammerregeln gelten!) (3x-6y) : ( -3) = 3x : (-3) 6y : (-3) = (-x) (-2y) =(-x) + 2y Mathematik-Dossier 8 - Rechnen mit Variablen A.Räz Seite 3
4 Aufgaben Distributivgesetz Multiplikation Division Verbindung von Operationen verschiedener Stufe 1. Vereinfache folgende Terme a) 15a : 5 b) 7x 3 c) 8x 3y d) 84xy : 7y e) 12x 3x f) 12x 4xy g) 21x 2 y : 3xy 2. Klammere einen möglichst grossen Faktor aus: a) g b) 72rstu + 48tu c) 27x 2-54x d) mnpr + mopqr e) 58afg - 29f 2 f) wxyz - yz g) 34mn - 51n 3. Multipliziere (rsp. dividiere) aus: a) (63v -1) 4w b) (72v -1) 3w c) (42b - 70a) : (-14) d) (a 2 b ab 2 ) : (ab) e) (ef - fg) : (-f) f) 4x (28-32x) 4. Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich: a) 28 - (32x - 4x) b) (-9ab) - (-11abc) - (27ab) c) 8x - (-15y) - (-13x) + 12y 3y d) 34h : 34 33h e) 4x - ( x) f) 5a (28-32a) g) (-11) (xy - 27) h) (-109) (de) - (-17) (ed) Mathematik-Dossier 8 - Rechnen mit Variablen A.Räz Seite 4
5 i) 68x : 17 j) 48-4(5a + 6) k) 68d : l) (54 - x) - 9x m) 35cd - 7c 4d - 16cd n) 19ef (4d - ef) - 19e 2 f 2 o) (-ds) (-ds) p) (-7ab) (-8) + (-63abc) : (-7c) q) (-11f) - 15 (6f - 7) r) 72x : 8 x s) (-7x) 13y 2 (-2z) t) 13a 5b - (17b 8a) 5. Schreibe zuerst die Rechnung auf und löse dann so weit wie möglich auf: a) Dividiere die Summe von (-36ab) und 12b durch (-12) und multipliziere mit 3. b) Multipliziere die Summe von (-23ab) und (-46cd) mit 3c c) Dividiere die Differenz von 36ab und 12b durch (-12) und multipliziere mit c. d) Subtrahiere von der Summe von (-32a) und 21b die Differenz der beiden Terme. Bemerkungen / Notizen: Mathematik-Dossier 8 - Rechnen mit Variablen A.Räz Seite 5
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