Rechnen mit Brüchen (1) 6

Transkript

1 Rechnen mit Brüchen (). Erweitern und Kürzen Der Wert eines Bruches ändert sich nicht, wenn entweder Zähler und Nenner mit derselben natürlichen Zahl multipliziert werden: a a m ( a, b, m ) ERWEITERN, b b m oder Zähler und Nenner durch dieselbe natürliche Zahl dividiert werden: a a : m ( a, b, m ; m Teiler von a und von b ) KÜRZEN b b : m Aus Differenz und Summen kürzen nur die Dummen!. Hauptgesetz der Bruchrechnung a a : b für a 0 und b b Divisionszeichen und Bruchstrich sind gleichwertig! 0 0 b für b, aber a ist nicht definiert! 0. Addition und Subtraktion Regel: Brüche werden addiert (subtrahiert), indem man sie zuerst gleichnamig macht (Hauptnenner: kgv der Nenner) und anschließend die Zähler addiert (subtrahiert) und den gemeinsamen Nenner beibehält. Beispiele: Fortsetzung nächste Seite Fachschaft Mathematik des SKG Seite

2 Rechnen mit Brüchen (). Multiplikation Regel: Zwei Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert: a c a c für a, c 0 und b, d b d b d Vor dem Ausmultiplizieren von a c und b d das Kürzen nicht vergessen! Beispiele: 9 9. Division Regel: Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert: a c a d : für a 0 und b, c, d b d b c Die Division zweier Brüche wird damit auf die Multiplikation zweier Brüche zurückgeführt. Beispiele: : 9 9 : 0 0 : 9 9 : 9 Fachschaft Mathematik des SKG Seite

3 Rechnen mit gemischten Zahlen. Umwandeln von unechten Brüchen in gemischte Zahlen + 9 darf nicht mit verwechselt werden!. Umwandeln von gemischten Zahlen in unechte Brüche + +. Addition und Subtraktion Beispiele: Bei der Addition und Subtraktion ist die Verwendung gemischter Zahlen vorteilhaft! Multiplikation und Division Beispiele: Beim Multiplizieren und Dividieren werden gemischte Zahlen in unechte Brüche verwandelt! :! 0 ( : 9 Kürzen) Fachschaft Mathematik des SKG Seite

4 Übungsaufgaben zur Bruchrechnung Fachschaft Mathematik des SKG Seite. Berechne die Terme: a) + + : : b) 9 :. Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichung für G + 0 : 00 : x. Gib die Lösungsmenge der Ungleichung, wie im Beispiel, in der Intervallschreibweise an: < x + < x < x ; L 0

5 Rechnen mit Dezimalbrüchen. Addition und Subtraktion Regel: Dezimalbrüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die Dezimalen gleichen Stellenwerts addiert bzw. subtrahiert. Beispiele:, +,, +,0, 0,, 0,00,,. Multiplikation Regel: Dezimalbrüche werden miteinander multipliziert, indem man zunächst ohne Rücksicht auf das Komma multipliziert. Dann wird das Komma so gesetzt, dass das Ergebnis gleich viele Dezimalen hat wie alle Faktoren zusammen.,,, NR: (Der. Faktor hat zwei Dezimalen, der. Faktor eine Dezimale, folglich muss das Ergebnis + Dezimalen besitzen.). Division Regel : Man dividiert einen Dezimalbruch durch eine natürliche Zahl, indem man wie bei natürlichen Zahlen dividiert und bei Überschreitung des Kommas im Dividenden das Komma auch im Ergebnis setzt. Regel : Da sich der Wert eines Quotienten nicht ändert, wenn man bei Dividend und Divisor das Komma um gleich viele Stellen in die gleiche Richtung verschiebt, kann man die Division durch einen Dezimalbruch auf die Division durch eine natürliche Zahl zurückführen. Beispiele: 9, :, 0,0 : 9,,0 :9 0,0 : 0, 00 : 00 Aufgaben: Führe auf der Rückseite dieses Blattes folgende Rechnungen durch:, +,0,0, 99,, 0,, 0 0,,:,:, 0,:, 0 Fachschaft Mathematik des SKG Seite

6 Zusammenhang von Bruch und Dezimalbruch Wichtige Brüche und Dezimalbrüche 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 9 0, 0, 0, ,0 0, 00 usw , 0, 0, 0, 0, 0, usw ,0 0, 0 0, 0 0, 0 usw Um einen beliebigen Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln, wird entweder der Zähler durch den Nenner dividiert oder (falls möglich) der Bruch auf den Nenner 0, 00, 000,... erweitert. Aufgaben: Verwandle folgende Brüche in Dezimalbrüche und umgekehrt! 0 0, 0, 0,, Berechne: + :9 0, Fachschaft Mathematik des SKG Seite

7 Rauminhalt (Volumen) Einheiten des Rauminhalts Um den Rauminhalt eines Körpers zu bestimmen, wird er mit sogenannten Einheitswürfeln vollständig und lückenlos ausgefüllt. Folgende Würfel werden dabei benutzt: Seitenlänge mm cm dm m km Raumeinheit mm (Kubikmillimeter) cm (Kubikzentimeter) dm l!! (Kubikdezimeter) m (Kubikmeter) km (Kubikkilometer) Die Umrechnungszahl von einer Raumeinheit zur nächstkleineren bzw. nächstgrößeren Raumeinheit ist 000! Weitere Raumeinheiten: hl 00 l (Hektoliter) dl 0, l (Deziliter) cl 0,0 l (Zentiliter) ml 0,00 l cm (Milliliter) Volumen von Quader und Würfel Volumenformeln: V Quader l b h Länge l, Breite b, Höhe h V Quader G h V Würfel a a a a Grundfläche G des Quaders: G l b Seitenlänge a Aus V G h folgt für die Höhe des Quaders h V : G und für die Grundfläche G V : h. Dabei zeigt sich, dass Volumeneinheit : Flächeneinheit Längeneinheit Volumeneinheit : Längeneinheit Flächeneinheit Fachschaft Mathematik des SKG Seite

8 Direkte Proportionalität Wenn bei einer Zuordnung von Größen dem -, -, -,... fachen der einen Größe das -, -, -,... fache der anderen Größe entspricht, dann heißt diese Zuordnung direkte Proportionalität. Fleischmenge x in ga Preis y in DM x y,0,00,0,00,0... Eigenschaften der direkten Proportionalität. Der Graph einer direkten Proportionalität ist eine Ursprungshalbgerade. y in DM 0 x in kg Die Zahlenpaare einer direkten Proportionalität sind quotientengleich. y x,0 DM,00 DM,0 DM DM... k 00 g 00 g 00 g kg (k heißt Proportionalitätsfaktor). Die Gleichung einer direkten Proportionalität hat die Form y m. x DM DM 0 g a 0 g 0, kg, DM kg kg Fachschaft Mathematik des SKG Seite

9 Prozentrechnen Bruchteile gibt man oft in Prozent (... von Hundert) an. Dabei gilt: % ; 00 p % p 00 Häufig vorkommende Prozentsätze sind: % 0 % 0 % % 0 % % 00 % Bruchteil % von 00 DM von 00 DM. 00 DM 0 DM Dabei nennen wir 0 % den Prozentsatz p, 00 DM den Grundwert G und 0 DM den Prozentwert P. Aufgaben:. Berechnung des Prozentwertes P: Berechne % von 00 DM!. Berechnung des Grundwertes G: % eines Geldbetrages sind DM. Berechne den Geldbetrag G!. Berechnung des Prozentsatzes p: Wie viel Prozent von 00 DM sind DM? Fachschaft Mathematik des SKG Seite 9

10 Aufgaben zur Wiederholung (). Wandle um: a) kg ( g) b) h (min, s) c) 0 m dm 0 cm (in m ) d),00dm (gemischte Einheit). Kürze: a) b) 0,, 0, 0, 0, 0,. Ordne der Größe nach: ; ;. a) Rechne günstig: + b) Berechne: c) Berechne:, + 0,. a) Gib folgende gewöhnliche Brüche in Dezimalschreibweise an: 9 ; ; ; b) Gib als gewöhnlichen Bruch an: 0,;,. Berechne: a) : + b) 0,, 0, + 9, +. Bestimme die Lösungsmenge ( G 0 ): a) x, b) x + x + x 0 c) x < (Lösung als Intervall). Frau Ida zahlte 00 monatlich 00,- DM Miete; 99 musste sie,- DM monatlich bezahlen. Berechne, um wie viel Prozent die Miete gestiegen ist! 9. Herr Franz verkauft eine wertvolle Münze über einen Fachhändler. Sie vereinbaren einen bestimmten Preis. Der Fachhändler sagt: Wir wollen mal sehen, was der Käufer dafür zahlen muss. Also, da ist zunächst der Preis der Münze, dazu kommen noch % Provision für meine Vermittlung und danach muss der Käufer ja auch noch % MWSt. zahlen. Da kommen wir insgesamt auf, DM. Wie viel bekommt eigentlich Herr Franz? (Hinweis: Es muss auf den Grundwert zurückgerechnet werden!) Fortsetzung: nächste Seite Fachschaft Mathematik des SKG Seite 0

11 Aufgaben zur Wiederholung () 0. Merlin ( Jahre) ist ein Finanzexperte. Er sagt: Ich lasse mein Geld für mich arbeiten! Eine Maxi-CD im Wert von 0,- DM kann ich mir schon in kurzer Zeit von den Zinsen meines Sparguthabens von 000,- DM (bei dem phänomenalen Zinssatz von %) leisten. Wie lang muss er sparen?. a) Bei einer direkten Proportionalität gilt:, x 0 Berechne x! b) Bei einer umgekehrten Proportionalität gilt:, y 0 Berechne y!. Zeichne mit dem Geodreieck folgende Winkel: ; ; 00 ;. Ein Schwimmbecken ist m lang und 9, m breit. a) Wie viel Wasser enthält es, wenn seine Tiefe,9 m beträgt? b) Um wie viel sinkt der Wasserspiegel, wenn, hl Wasser abfließen? Ausführliche Lösungen erhaltet ihr zu Beginn des neuen Schuljahres. Fachschaft Mathematik des SKG Seite