Grundkurs Mathematik (Sachsen): Musteraufgabe 2 Teil A (ohne Rechenhilfsmittel)

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1 Grundurs Mathemati (Sachsen): Musteraufgabe Teil A (ohne Rechenhilfsmittel) In den Aufgaben. bis.5 ist von den jeweils fünf Antwortmöglicheiten genau eine richtig. Kreuzen Sie das jeweilige Feld an. x x. Die Funtion f mit f(x) = (x D f ) besitzt nur eine waagerechte Asymptote y A =. zwei waagerechte Asymptoten y A = und y A =. eine senrechte Asymptote xa =. eine waagerechte Asymptote y A = und zwei senrechte Asymptoten x A = und x A =. eine Asymptoten.. Gegeben sind die Funtion f mit f(x) = x + (x D f ), die Funtion g mit g(x) = x + x + (x D g ) und der Punt P ( ; ). Die Graphen der Funtionen f und g haben den Punt P nicht als gemeinsamen Punt. haben im Punt P jeweils einen Extrempunt. schneiden sich senrecht im Punt P. schneiden sich nicht senrecht im Punt P. berühren sich im Punt P.. Der Inhalt der Flächen, die vom Graphen der Funtion f mit f(x) = x (x + ) (x ) und der x-achse vollständig begrenzt werden, beträgt 9 FE 9 FE 6 FE FE 6 FE 07

2 . Gegeben sind die Gerade g mit der Gleichung g: x = + r (r 0) und die 8 5 Ebene E mit E: x = + s + t (s, t 0). Die Gerade g hat mit der Ebene E einen Punt gemeinsam. hat mit der Ebene E unendlich viele Punte gemeinsam. schneidet die Ebene E orthogonal im Punt P ( ; ; ). schneidet die Ebene E orthogonal im Punt P (; 0; ). schneidet die Ebene E nicht orthogonal im Punt P (; 0; )..5 Eine Geldbörse G enthält vier - -Stüce und zwei - -Stüce, eine Geldbörse G enthält drei - -Stüce und drei - -Stüce. Weitere Münzen und Geldscheine befinden sich nicht in den Geldbörsen. Außerdem sind die - und - -Stüce beim Ziehungsvorgang nicht unterscheidbar. Beiden Geldbörsen wird zufällig eine Münze entnommen. Mit welcher Wahrscheinlicheit sind nach der Entnahme die Geldbeträge in beiden Geldbörsen gleich? Gegeben ist die Ebene E: x + y + z =. Erreichbare BE-Anzahl: 5. Geben Sie die Schnittpunte der Ebene E mit den Koordinatenachsen an und stellen Sie die Ebene im Koordinatensystem dar.. Die Ebene E und die Koordinatenebenen begrenzen eine dreiseitige Pyramide. Bestimmen Sie das Volumen dieser Pyramide. Erreichbare BE-Anzahl: Gegeben ist die Funtion f durch y= f(x) = x x (x 0). Durch die 8 Wendetangente w und die Koordinatenachsen wird ein Dreiec bestimmt. Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Wendetangente die Gleichung w: y= x+ hat und berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecs. Erreichbare BE-Anzahl: Ein Glücsrad sei in vier gleich große Setoren unterteilt. Zwei Setoren sind mit der Ziffer 5 und je ein Setor mit der Ziffer bzw. beschriftet. Ein Zufallsexperiment besteht im zweimaligen Drehen des Rades. Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße X: Summe der dabei auftretenden Zahlen. Erreichbare BE-Anzahl: 08

3 Teilaufgabe. Tipps und Hinweise Untersuchen Sie zur Bestimmung senrechter Asymptoten die Funtion auf Polstellen x P. u(x) Beachten Sie dabei: x P ist Polstelle, wenn für die Funtion f(x)= gilt: v(x) v(x P ) = 0 und u(x P ) 0 Untersuchen Sie zur Bestimmung der waagerechten Asymptoten das Verhalten der Funtion im Unendlichen. Teilaufgabe. Untersuchen Sie, ob die Koordinaten des Puntes P die beiden Funtionsgleichungen erfüllen. Wenn ja, dann untersuchen Sie außerdem den Anstieg beider Funtionen an der Stelle x =. Teilaufgabe. Untersuchen Sie die Funtion auf Nullstellen. Beachten Sie bei der Erstellung der Teilintegrale zur Flächenberechnung, dass sich auch Flächenstüce unterhalb der x-achse befinden önnen. Teilaufgabe. Untersuchen Sie die Lagebeziehung von Gerade und Ebene, indem Sie z. B. den Normalenvetor der Ebene mit dem Richtungsvetor der Geraden vergleichen. Untersuchen Sie weiterhin Ebene und Gerade auf gemeinsame Punte oder überprüfen Sie, ob P bzw. P ein gemeinsamer Punt von Ebene und Gerade ist. Teilaufgabe.5 Bestimmen Sie die Geldbeträge in beiden Geldbörsen. Entscheiden Sie, bei welchen Münzentnahmen sich gleiche Beträge ergeben. Berechnen Sie die zugehörige(n) Wahrscheinlicheit(en). Teilaufgabe. Für die Schnittpunte mit den Koordinatenachsen gilt: S x (x; 0; 0), S y (0; y; 0), S z (0; 0; z) Zur Darstellung der Ebene tragen Sie diese drei Punte ins Koordinatensystem ein und verbinden sie miteinander. Teilaufgabe. Nutzen Sie zur Volumenberechnung die Formel V= A G h. Als Grundfläche wählen Sie z. B. die Dreiecsfläche in der x-y-ebene. 09

4 Teilaufgabe Bestimmen Sie den Wendepunt der Funtion f. Für die Wendestelle x W gilt: f ''(x W ) = 0 und f '''(x W ) 0 Erstellen Sie die Gleichung der Wendetangente. Diese verläuft durch den Wendepunt W und ihr Anstieg ist gleich der. Ableitung der Funtion f an der Stelle x W. Sizzieren Sie die Wendetangente in ein Koordinatensystem, marieren Sie sich die gesuchte Fläche und berechnen Sie den Flächeninhalt unter Nutzung der Kathetenlängen. Teilaufgabe Erstellen Sie eine Verteilungstabelle für die Zufallsgröße X Summe der auftretenden Zahlen. Der Erwartungswert berechnet sich mit der Formel: n E(X) = xi P(X = x i) i = 0

5 Lösungen Vorbemerung: Als Lösung ist nur das Kreuz im jeweils richtigen Feld verlangt; im Folgenden sind zusätzlich Rechnungen und Begründungen für die richtige Antwort angegeben.. Richtige Antwort: Kreuz in Feld x u(x) f(x) = = x v(x) Polstellen: v(x P ) = xp = 0 und u(x P ) 0 xp = u( ) = 0 0 senrechte Asymptoten xa x ; P = = u() = 0 0 Verhalten im Unendlichen: ( x x x ) x ± x x ± x ( ) lim = lim = x waagerechte Asymptote y A =. Richtige Antwort: Kreuz in Feld 5 f g = = = + + = = yp 6 8 P ist ein gemeinsamer Punt der Graphen der Funtionen f und g. f'(x) = x g'(x) = 6x + x f' g' = = = 6 + = 8 Die Funtionen f und g haben im Punt P die gleiche Steigung. Somit berühren sich die Graphen beider Funtionen im Punt P.. Richtige Antwort: Kreuz in Feld Nullstellen: f(x N) = 0= x N (xn + ) (xn ) xn = 0 xn = x = 0 A= f(x)dx + f(x)dx 0 N

6 mit f(x) = x(x + ) (x ) f(x) = x x 8x folgt F(x) = x x x 0 A= x x x + x x x A= A= + = = 9. Richtige Antwort: Kreuz in Feld ne = = = ( ) ne a g, also g E 5 5 a g Schnittpuntbestimmung: g= E + r = + s + t + r = + s t 8 + 5r = s+ t = s+ t r = s t r ( ) 5= s+ t 5r = s+ t r 0= 5t+ 5r ( ) = t r 5 = s+ t r 0= 5t+ 5r 70= 70r r = Einsetzen von r in g: S(; 0; ) = P Statt der Schnittpuntberechnung ann man auch prüfen, welcher der Punte P oder P die Ebenen- und die Geradengleichung erfüllt..5 Richtige Antwort: Kreuz in Feld Geldbörse G : + = 0 Geldbörse G : + = 9 Die Geldbeträge sind gleich, wenn man G ein - -Stüc entnimmt und G ein - -Stüc.

7 Für die zugehörige Wahrscheinlicheit gilt: = 6 6. S x (; 0; 0) S y (0; ; 0) S z (0; 0; ) Darstellung der Ebene:. V= AG h mit AG = a b= = 6 und h = V= 6 V= 8 Die Pyramide hat ein Volumen von 8 VE. Wendepunt: f'(x) = x x 8 f''(x) = x f'''(x) = f''(x W) = 0 = xw x = y = f(x ) = W W W f'''() = 0 W(; )

8 Wendetangente w: f'() = = mw und W(; ) in w: y= mwx+ n = + n n = w: y = x + Aussage bestätigt A Flächeninhalt des Dreiecs Nullstelle von w: 0= xn + x N = Damit gilt: A= a b mit a = n = und b= x N = folgt A= A = Sizze: Das Dreiec hat einen Flächeninhalt von FE. Sizze: mit P(5) = P() = P() = X Summe der Augenzahlen beim zweimaligen Drehen des Glücsrades x i Ergebnisse ; ; 5; 5 5; 5 55 P(X = x i ) 6 5 E(X) = E(X) = 7 = + = 5 =