Das Mathematik-Abitur im Saarland

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1 Informationen zum Abitur Das Mathematik-Abitur im Saarland Sie können Mathematik im Abitur entweder als grundlegenden Kurs (G-Kurs) oder als erhöhten Kurs (E-Kurs) wählen. Die Bearbeitungszeit für die Aufgaben in der Prüfung beträgt: G-Kurs: 3 Stunden, E-Kurs: 5 Stunden. Weitere Informationen finden Sie unter und Wie arbeiten Sie mit dem Buch? Mit «Erfolg im Mathe-Abi Basiswissen» können Sie Ihre mathematischen Grundlagen auffrischen. Dazu befindet sich am Anfang jedes Kapitels eine kurze thematische Übersicht. Die einzelnen Kapitel bauen zwar aufeinander auf, doch ist es nicht zwingend notwendig, das Buch der Reihe nach durchzuarbeiten. Die Aufgaben sind in der Regel nach ihrer Schwierigkeit gestaffelt. Den besten Lerneffekt erreichen Sie, wenn Sie bei Fragen oder Unklarheiten zuerst im Tippteil nachschauen. Die Lösungen mit ausführlichen und verständlichen Lösungswegen bilden den letzten Teil des Übungsbuchs. Hier finden Sie neben den notwendigen Formeln, Rechenverfahren und Denkschritten auch sinnvolle alternative Lösungswege. Checkliste Auf den folgenden Seiten sind die Kapitel des Buchs «Erfolg im Mathe-Abi Basiswissen» aufgelistet, die für Sie im G-Kurs bzw. E-Kurs wichtig sind. Darüber hinaus finden Sie in diesem Heft noch ergänzende Aufgaben zu einigen Kapiteln. Allen Schülerinnen und Schülern, die sich auf das Abitur vorbereiten, wünschen wir viel Erfolg. Helmut Gruber und Robert Neumann 3

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6 Ergänzende Aufgaben 5 Gleichungslehre (Ergänzung) Polynomdivision Um eine Polynomdivision durchführen zu können, brauchen Sie zuerst eine Lösung. Diese findet man durch «systematisches Probieren». Setzen Sie einige einfache Zahlen (±1, ±2,...) in die Gleichung ein und prüfen Sie, ob diese die Gleichung lösen. Zerlegen Sie die Gleichungen in Linearfaktoren, führen Sie dazu Polynomdivisionen durch und bestimmen Sie die Lösungen der Gleichungen: a) x 3 2x 2 5x + 6 = 0 b) x 3 + 3x 2 6x 8 = 0 c) x 3 + 0,5x 2 3,5x 3 = 0 d) x 3 4,5x 2 + 3,5x + 3 = 0 7 Kurvendiskussion (Ergänzung) Verständnis von gebrochenrationalen Funktionen Gebrochenrationale Funktionen können Definitionslücken oder Polstellen besitzen (wenn der Nenner Null ist). Ist der Zähler an dieser Stelle ungleich Null, handelt es sich um eine Polstelle, ist der Zähler auch gleich Null, handelt es sich um eine hebbare Lücke. a) Was ist eine Definitionslücke einer Funktion? b) Charakterisieren Sie eine Polstelle. Welche unterschiedlichen Arten von Polstellen gibt es? c) Welche Fälle gibt es bei gebrochenrationalen Funktionen für das Verhalten der y-werte, wenn x gegen Unendlich geht? Wie kommt es zu einer waagerechten Asymptote y = 0? Wie muss die Funktion aussehen, damit die Asymptote y = 2 ist? Was muss für eine Situation vorliegen, damit eine schräge Asymptote, z.b. y = 2x + 1, entsteht? d) E-Kurs: Was ist eine «hebbare Lücke»? E-Kurs: Ortslinien Eine Ortskurve beschreibt den Verlauf eines speziellen Punktes einer Kurvenschar, z.b. des Hochpunktes oder des Wendepunktes. Um eine Ortslinie zu bestimmen, gehen Sie wie folgt vor: 1. Zuerst wird der spezielle Punkt bestimmt, falls er nicht schon vorliegt, z.b. H ( 4 t t 2). 2. Der x-wert des Punktes wird so umgeformt, dass der Parameter alleine steht: x = 4 t t = 4 x. 3. Der Parameter (in Abhängigkeit von x) wird in den y-wert des Punktes eingesetzt: y = t 2 = ( 4 x ) Durch Ausrechnen erhalten Sie den y-wert in Abhängigkeit von x: y = ( 4 x ) 2 = 16 x 2 und damit die Gleichung der Ortslinie. 8

7 Ergänzende Aufgaben Tipps 5 Gleichungslehre Polynomdivision Die erste Lösung muss durch «systematisches Probieren» bestimmt werden. Meist ist dies eine relativ einfache Lösung, z.b. x 1 = 1. Anschließend wird die Gleichung durch «x minus bekannte Lösung» geteilt. Die Lösungen der dann vorliegenden quadratischen Gleichung können mit der pq- oder abc-formel bestimmt werden. Liegt nach der 1. Polynomdivision immer noch eine Gleichung 3. Grades vor, muss eventuell eine erneute Polynomdivision ausgeführt werden. 7 Kurvendiskussion Verständnis von gebrochenrationalen Funktionen a) Betrachten Sie das Zähler- und das Nennerpolynom der Funktion. Was passiert, wenn der Nenner eine Nullstelle in x 0 besitzt? Was passiert, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner eine Nullstelle in x 0 besitzen? b) Betrachten Sie das Verhalten der y-werte in der Umgebung der Polstelle. c) Betrachten Sie den Grad des Zähler- und des Nennerpolynoms. Führen Sie unter Umständen eine Polynomdivision durch, indem Sie den Zähler durch den Nenner teilen. Betrachten Sie dann die Funktion für x ±. d) Wie könnte man eine Funktion ergänzen, die an einer Stelle eine Definitionslücke hat? E-Kurs: Ortslinien a) - b) Da die Punkte schon gegeben sind, müssen Sie nur die Ortslinien wie angegeben bestimmen. c) - d) Sie müssen zunächst den gesuchten Punkt bestimmen. Hierbei gehen Sie wie bei einer «normalen» Funktion ohne Parameter vor. Beachten Sie: Die Parameter werden beim Ableiten wie Zahlen behandelt! 8 Integralrechnung Uneigentliche Integrale 12 a) Die Fläche wird anfänglich durch die vertikale Gerade x = z mit z > 0 begrenzt. Setzen Sie z als obere Grenze ein und bestimmen Sie A(z). Lassen Sie dann z gehen. b) I) Bestimmen Sie die Grenzen des Integrals und integrieren Sie die Funktion. II) Betrachten Sie das Verhalten der Funktion für x. Welcher Term fällt weg? III) Die Fläche zwischen zwei Kurven wird berechnet, indem man die Funktionsgleichung der unteren Kurve von der der oberen Kurve abzieht und dann integriert. Für die ins Unendliche reichende Fläche setzt man als untere Grenze z ein und bildet dann den Grenzwert lim z A(z).

8 Ergänzende Aufgaben Lösungen 5 Gleichungslehre Polynomdivision 14 a) Die erste Nullstelle wird durch Ausprobieren bestimmt: x 1 = 1. Daher wird die Ausgangsgleichung durch (x 1) geteilt: ( x 3 2x 2 5x + 6 ) : (x 1) = x 2 x 6 (x 3 x 2 ) x 2 5x ( x 2 + x) 6x + 6 ( 6x + 6) 0 Lösen der quadratischen Gleichung x 2 x 6 = 0 mit Hilfe der pq- oder abc-formel ergibt: x 2 = 3 und x 3 = 2. Die Linearfaktorzerlegung der Ausgangsgleichung ist damit: (x 1) (x 3) (x + 2) = 0. Die Lösungsmenge ist L = { 2; 1; 3}. b) Die erste Nullstelle wird durch Ausprobieren bestimmt: x 1 = 1. Daher wird die Ausgangsgleichung durch (x ( 1)), also durch (x + 1) geteilt: ( x 3 + 3x 2 6x 8 ) : (x + 1) = x 2 + 2x 8 (x 3 + x 2 ) 2x 2 6x (2x 2 + 2x) 8x 8 ( 8x 8) 0 Lösen der quadratischen Gleichung x 2 + 2x 8 = 0 mit Hilfe der pq- oder abc-formel ergibt: x 2 = 2 und x 3 = 4. Die Linearfaktorzerlegung der Ausgangsgleichung ist damit: (x + 1) (x 2) (x + 4) = 0. Die Lösungsmenge ist damit: L = { 4; 1; 2}. c) Die erste Nullstelle wird durch Ausprobieren bestimmt: x 1 = 1. Die Ausgangsgleichung wird daher durch (x + 1) geteilt: ( x 3 + 0,5x 2 3,5x 3 ) : (x + 1) = x 2 0,5x 3 (x 3 + x 2 ) 0,5x 2 3,5x ( 0,5x 2 0,5x) 3x 3 ( 3x 3) 0 Lösen der Gleichung x 2 0,5x 3 = 0 mit Hilfe der pq- oder abc-formel ergibt: x 2 = 1,5 und x 3 = 2. Die Linearfaktorzerlegung der Ausgangsgleichung ist damit: (x + 1) (x + 1,5) (x 2) = 0. Die Lösungsmenge ist L = { 1,5; 1; 2}.

9 Lösungen Ergänzende Aufgaben d) Die erste Nullstelle wird durch Ausprobieren bestimmt: x 1 = 2. Die Ausgangsgleichung wird daher durch (x 2) geteilt: ( x 3 4,5x 2 + 3,5x + 3 ) : (x 2) = x 2 2,5x 1,5 (x 3 2x 2 ) 2,5x 2 + 3,5x ( 2,5x 2 + 5x) 1,5x + 3 ( 1,5x + 3) 0 Lösen der Gleichung x 2 2,5x 1,5 = 0 mit Hilfe der pq- oder abc-formel ergibt: x 2 = 3 und x 3 = 0,5. Die Linearfaktorzerlegung der Ausgangsgleichung ist damit: (x 2) (x 3) (x + 0,5) = 0. Die Lösungsmenge ist L = { 0,5; 2; 3}. 7 Kurvendiskussion Verständnis von gebrochenrationalen Funktionen a) Bei einer gebrochenrationalen Funktion bezeichnet eine Definitionslücke eine Stelle, an der das Nennerpolynom gleich Null ist. b) Eine Polstelle an der Stelle x 0 einer gebrochenrationalen Funktion liegt vor, wenn (nach Kürzung aller überzähligen Linearfaktoren) für eine Zahl x 0 das Zählerpolynom ungleich Null ist und das Nennerpolynom gleich Null. Dabei werden die Funktionswerte beliebig groß, wenn man sich x 0 nähert. Es gibt Polstellen mit und ohne Vorzeichenwechsel (VZW). Bei einer Polstelle mit VZW wechselt das Vorzeichen der Funktionswerte, je nachdem, ob man sich von links oder von rechts der Funktion annähert (der eine Ast des Schaubilds geht «nach oben», der andere «nach unten»). Bei einer Polstelle ohne VZW streben die Funktionswerte links und rechts der Polstelle beide nach + bzw.. c) Welche Art einer waagerechten bzw. schrägen Asymptote das Schaubild einer gebrochenrationalen Funktion hat, hängt vom Grad des Zähler- und Nennerpolynoms ab (der Grad ist der höchste Exponent eines Polynoms). Es sind verschiedene Fälle möglich: Grad des Zählerpolynoms < Grad des Nennerp. Asymptote: y = 0 (x-achse) Grad des Zählerpolynoms = Grad des Nennerp. waagerechte Asymptote Grad des Zählerpolynoms = Grad des Nennerp.+1 schräge Asymptote Grad des Zählerpolynoms > Grad des Nennerp.+1 Näherungskurve Der Grad der Näherungskurve ist die Differenz zwischen dem Grad des Zählerpolynoms und dem Grad des Nennerpolynoms. Die Position der waagerechten Asymptote wird durch die Koeffizienten im Zähler und Nen- 15