15.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit
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- Hede Gärtner
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1 5.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit Einführendes Beispiel ( Erhöhung der Sicherheit bei Flugreisen ) Die statistische Wahrscheinlichkeit, dass während eines Fluges ein Sprengsatz an Bord ist, betrage : , also Die statistische Wahrscheinlichkeit, dass während eines Fluges zwei Sprengsätze an Bord sind, betrage : , also Zur Erhöhung der eigenen Sicherheit sollte man also auf jede Flugreise einen eigenen Sprengsatz mitnehmen!? Diese Schlussfolgerung ist offensichtlich unsinnig. Der Fehler liegt in darin, dass eine normale Wahrscheinlichkeit mit einer bedingten Wahrscheinlichkeit verwechselt wird. Derartige Fehler passieren recht häufig. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.3 Folie
2 Baumdiagramm Flugreise ja nein. Sprengsatz an Bord ja nein. Sprengsatz an Bord Die Wahrscheinlichkeit, dass während eines Fluges zwei Sprengsätze an Bord sind, beträgt Unter der Bedingung, dass ein erster Sprengsatz an Bord ist, beträgt die Wahrschein- lichkeit, dass noch ein zweiter Sprengsatz an Bord ist, Bemerkung: p ( Ereignis ) p ( Bedingung ) Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.3 Folie.
3 Definition 6.) Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A unter der Bedingung, dass ein Ereignis B eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B und wird mit p ( A B ) bezeichnet..) Ein Ereignis A heißt unabhängig von einem Ereignis B, wenn p ( A B ) p ( A ) ist. Bemerkungen.) Eine bedingte Wahrscheinlichkeit p ( A B ) kann größer als p ( A ), gleich p ( A ) oder kleiner als p ( A ) sein..) Eine bedingte Wahrscheinlichkeit p ( A B ) kann berechnet werden als Quotient zweier normaler Wahrscheinlichkeiten: p ( A B ) p ( A B ) Ein Ereignis A ist daher genau dann unabhängig von einem Ereignis B, wenn gilt: p ( A ). p ( A B ) ( Diese Formel wird bei Baumdiagrammen benutzt! ) Dann ist auch B unabhängig von A, d.h. A und B sind unabhängig voneinander. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.3 Folie 3
4 Beispiel ( zwei mal Münze werfen ) Wird eine ideale Münze zweimal geworfen, so beträgt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A zwei mal Kopf a.) ohne Bedingung ( als normale Wahrscheinlichkeit ): p ( A ). b.) c.) unter der Bedingung, dass mindestens einmal Kopf geworfen wird: p ( A B ) p ( A B ) 3 3 unter der Bedingung, dass beim ersten Wurf Kopf geworfen wird: zwei mal Münze werfen K Z. Wurf KK KZ ZK ZZ. Wurf Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.3 Folie
5 Beispiel ( zwei mal Münze werfen ) Wird eine ideale Münze zweimal geworfen, so beträgt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A zwei mal Kopf a.) ohne Bedingung ( als normale Wahrscheinlichkeit ): p ( A ). b.) c.) d.) unter der Bedingung, dass mindestens einmal Kopf geworfen wird: p ( A B ) p ( A B ) 3 3 unter der Bedingung, dass beim ersten Wurf Kopf geworfen wird: p ( A B ) p ( A B ) unter der Bedingung, dass mindestens einmal Zahl geworfen wird: p ( A B ) p ( A B ) Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.3 Folie 5
6 Beispiel In einem Dorf wurde zu Beginn des letzten Jahrhunderts die folgende Statistik erstellt: Jahr Geburten Storchennester Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem zufällig ausgewählten Jahr zwischen 900 und 90 mindestens 0 Kinder geboren wurden, beträgt p ( A ) 6. Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem zufällig ausgewählten Jahr zwischen 900 und 90 mindestens 0 Kinder geboren wurden, beträgt unter der Bedingung, dass es in diesem Jahr mindestens 75 Storchennester gab, p ( A B ) p ( A B ) Die Zahl der neugeborenen Kinder ist also abhängig von der Anzahl der Störche! Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.3 Folie 6
7 Beispiel 3 Beim Werfen einer Münze wurde 7 - mal nacheinander Kopf geworfen. Ist die Wahrscheinlichkeit, auch beim 8. Wurf Kopf zu werfen, größer als kleiner als oder gleich? Wenn die Münze nicht ideal ist ( z.b. Zahlseite aus Metall und Kopfseite aus Styropor ) oder nicht ideal geworfen wird ( z.b. wenn sie stets aus geringer Höhe mit der Zahlseite nach unten fallen gelassen wird ), so kann die Wahrscheinlichkeit, auch beim 8. Wurf Kopf zu werden, größer als sein. Wenn die Münze ideal ist und auch ideal geworfen wird, so ist die Wahrscheinlichkeit, auch beim 8. Wurf Kopf zu werfen, gleich einzelnen Würfe unabhängig voneinander sind ). ( sie ist nicht kleiner als, da die Der Zufall hat kein Gedächtnis! Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.3 Folie 7
8 Beispiel Ein Aids - Test habe eine Sensitivität von 99 % ( d.h. bei 00 HIV - positiven Testpersonen ist der Test in 99 Fällen positiv ) und eine Spezifität von 98 % ( d.h. bei 00 HIV - negativen Testpersonen ist der Test in 98 Fällen negativ ). Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Patient, bei dem ist, auch wirklich HIV - positiv? Diese Wahrscheinlichkeit kann mit einem Baumdiagramm bestimmt werden: Aids - Test Testperson positiv Testperson negativ 0,99 0,0 0,0 0,98 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.3 Folie 8
9 Um dieses Baumdiagramm vervollständigen zu können, benötigt man noch die Wahrscheinlichkeit, dass eine Testperson HIV - positiv ist. Für die Bundesrepublik gilt dabei ( Stand Juni 008 ) : Von 8 Millionen Einwohnern sind HIV - positiv. Aids - Test Testperson positiv Testperson negativ 0,99 0,0 0,0 0,98 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.3 Folie 9
10 Aids - Test Testperson positiv Testperson negativ 0,99 0,0 0,0 0,98 Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient, bei dem ist, auch wirklich HIV - positiv ist, beträgt also p ( Patient positiv ) p ( Patient positiv und ) p ( ) p ( A B ) p ( A B ) 59. 0, , % 0, , ! Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 5.3 Folie 0
Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.
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